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Question

(C) फलन $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत $[0, \frac{\pi}{2})$ के बराबर होना चाहिए।यहाँ $f

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$(-\infty, \frac{-1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

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(C) फलन $f: R ightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत $[0, \frac{\pi}{2})$ के बराबर होना चाहिए।यहाँ $f(x) = 	an^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[	an^{-1}(x^2 + x + \alpha^2 	ext{ का न्यूनतम मान}), \frac{\pi}{2})$ होगा।द्विघात व्यंजक $x^2 + x + \alpha^2$ का न्यूनतम मान $\frac{4(1)(\alpha^2) - (1)^2}{4(1)} = \alpha^2 - \frac{1}{4}$ है।परिसर $0$ से शुरू हो,इसके लिए $	an^{-1}(\alpha^2 - \frac{1}{4}) = 0$ होना चाहिए।इसका अर्थ है $\alpha^2 - \frac{1}{4} = 0$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm \frac{1}{2}$।अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\alpha$ के मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए ताकि $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ जहाँ $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ एक आच्छादक (onto) फलन हो।

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