TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) परवलय का सामान्य समीकरण $PF^2 = e^2 PM^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ परवलय के लिए $e=1$ होता है।
दिए गए समीकरण $4[(x-a)^2+(y-b)^2]=(\alpha x+\beta y+7)^2$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{2}\right)^2$
$PF^2 = PM^2$ के रूप में लाने के लिए,रेखा के समीकरण को सामान्यीकृत करने पर:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \cdot \frac{\alpha^2+\beta^2}{4}$
इसके परवलय होने के लिए उत्केंद्रता $e=1$ होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि गुणांक $\frac{\alpha^2+\beta^2}{4} = 1^2$ है।
अतः,$\alpha^2+\beta^2=4$।

(C) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 8$।
संबंध $a^2e^2 = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$a^2 - b^2 = 8$।
$b^2 = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,$a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $(a - 4)(a + 2) = 0$ को हल करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है (क्योंकि $a > 0$)।
अतः $b^2 = 2(4) = 8$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$16$ से गुणा करने पर,$x^2 + 2y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यह $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{b^2} = 1$ $(i)$।
नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$ अर्थात $a^2 e^2 = 16$।
संबंध $b^2 = a^2 - a^2 e^2$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2 - 16$।
समीकरण $(i)$ में $b^2$ का मान रखने पर: $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{a^2 - 16} = 1$।
सरल करने पर $a^4 - 44a^2 + 288 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(a^2 - 36)(a^2 - 8) = 0$।
$b^2 > 0$ होने के कारण $a^2 = 36$।
अतः,$e^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$,अर्थात $e = \frac{2}{3}$।

(A) चूंकि दिए गए दीर्घवृत्त की नाभियाँ $Y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है।
माना अभीष्ट समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 > b^2$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c) = (0, \pm 1)$ हैं,जिसका अर्थ है $c = 1$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = \sqrt{5}$ है,इसलिए $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ और $a^2 = \frac{5}{4}$ है।
संबंध $c^2 = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$1 = \frac{5}{4} - b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$।
$a^2$ और $b^2$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{5/4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $4x^2 + \frac{4y^2}{5} = 1$ या $20x^2 + 4y^2 = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $(x, y)$ से नाभि की दूरी,बिंदु से नियता की दूरी की $e$ गुना होती है: $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = \frac{1}{2} \frac{|3x+4y-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{1}{4} \frac{(3x+4y-5)^2}{25}$.
$100(x^2-2x+1+y^2-4y+4) = (3x+4y-5)^2$.
$100(x^2+y^2-2x-4y+5) = 9x^2+16y^2+25+24xy-30x-40y$.
$100x^2+100y^2-200x-400y+500 = 9x^2+16y^2+24xy-30x-40y+25$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $91x^2+84y^2-24xy-170x-360y+475=0$.

(D) माना कि अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,केंद्र से प्रत्येक नाभि की दूरी $ae$ है,इसलिए दूरियों का योग $2ae = 8\sqrt{6} \Rightarrow ae = 4\sqrt{6}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 96$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $a^2 - b^2 = 96 \quad (i)$ प्राप्त होता है।
वह सबसे छोटा आयत जिसमें दीर्घवृत्त स्थित है,उसकी भुजाएँ $2a$ और $2b$ हैं। अतः $4ab = 80$ $\Rightarrow ab = 20$ $\Rightarrow a^2b^2 = 400 \quad (ii)$ है।
सर्वसमिका $(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2$ का उपयोग करने पर,$(a^2+b^2)^2 = (96)^2 + 4(400) = 10816$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$a^2+b^2 = 104 \quad (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2a^2 = 200 \Rightarrow a^2 = 100$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से $(i)$ को घटाने पर,$2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$ है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=12$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः $12=16(1-e^2)$,जिससे $1-e^2=\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $e^2=\frac{1}{4}$ और $e=\frac{1}{2}$ है।
नाभीय जीवा के लिए उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ होने पर,शर्त $\tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{e-1}{e+1}$ होती है।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{6}$ है।
$\tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1/2 - 1}{1/2 + 1} = \frac{-1/2}{3/2} = -\frac{1}{3}$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{1}{3}$,जिससे $\tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\theta}{2} = -\frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $\theta = -\frac{\pi}{3}$।
इसलिए,$\tan \theta = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a=\sqrt{2}$ और $b=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $(A)$ के लिए,$y=0$ रखें: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. अतः,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए,$x=0$ रखें: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. अतः,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
माना $M(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
माना $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को बिंदु $A(5 \sec \theta, 0)$ पर काटती है।
रेखा $y=x$ के सापेक्ष $A(5 \sec \theta, 0)$ का प्रतिबिंब $A^{\prime} = (0, 5 \sec \theta)$ है।
$AA^{\prime}$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 5 \sec \theta (x + y) = 0$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त सदैव बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की किसी भी स्पर्श रेखा पर नाभियों से खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $b^2$ होता है।
दिया गया है कि गुणनफल $9$ है,इसलिए $b^2 = 9$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \frac{-3}{4}x + 3\sqrt{2}$ है।
इसे मानक समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ से तुलना करने पर,जहाँ $m = \frac{-3}{4}$,हमें $3\sqrt{2} = \sqrt{a^2(\frac{-3}{4})^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$18 = a^2(\frac{9}{16}) + 9$।
दोनों पक्षों से $9$ घटाने पर,$9 = \frac{9a^2}{16}$,जिससे $a^2 = 16$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2+y^2=2$,जिसे $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=2$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $x+2y+k=0$ है,जिसका अर्थ है $y=-\frac{1}{2}x-\frac{k}{2}$।
इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,$m=-\frac{1}{2}$ और $c=-\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
मान रखने पर: $(-\frac{k}{2})^2 = (1)(-\frac{1}{2})^2 + 2$।
$\frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$।
$k^2=9$,इसलिए $k=\pm 3$। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=3$ है।
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{3}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1}-\frac{b^2y}{y_1}=a^2-b^2$ होता है।
$a^2=1, b^2=2, x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, y_1=1$ रखने पर:
$\frac{1 \cdot x}{1/\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot y}{1} = 1-2$।
$\sqrt{2}x - 2y = -1$,जो सरल होकर $\sqrt{2}x-2y+1=0$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा $y = mx + c$ वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।
वृत्त के लिए स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = 16(1 + m^2)$ है।
दीर्घवृत्त के लिए स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = 25m^2 + 9$ है।
दोनों को बराबर करने पर:
$16(1 + m^2) = 25m^2 + 9$
$16 + 16m^2 = 25m^2 + 9$
$9m^2 = 7$
$m^2 = \frac{7}{9}$.
चूंकि $m = \tan \theta$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{7}{9}$।
सूत्र $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(B) माना उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+c$ है।
वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए,स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = r^2(1+m^2)$ है,जहाँ $r^2=4$ है। अतः,$c^2 = 4(1+m^2)$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है,जहाँ $a^2=25$ और $b^2=2$ है। अतः,$c^2 = 25m^2 + 2$।
$c^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$4(1+m^2) = 25m^2 + 2$
$4 + 4m^2 = 25m^2 + 2$
$21m^2 = 2$ $\Rightarrow m^2 = \frac{2}{21}$ $\Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}$।
$m^2$ का मान $c^2 = 4(1+m^2)$ में रखने पर:
$c^2 = 4(1 + \frac{2}{21}) = 4(\frac{23}{21}) = \frac{92}{21}$।
अतः,$c = \pm \sqrt{\frac{92}{21}} = \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}x \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$ है।
$\sqrt{21}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{21}y = \pm \sqrt{2}x \pm 2\sqrt{23}$।
व्यवस्थित करने पर $\sqrt{2}x - \sqrt{21}y + 2\sqrt{23} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ है। यहाँ $a^2=16$ और $b^2=12$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{12}{16}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 2, \pm 3)$ हैं।
$(2, 3)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1$ है,जो $\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ में सरल हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $(8, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर काटती है।
समरूपता के कारण,चार स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके शीर्ष $(\pm 8, 0)$ और $(0, \pm 4)$ हैं।
इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times (\frac{1}{2} \times 8 \times 4) = 64$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए अंतःखंड $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ हैं।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ और $k = \frac{1}{2\sin\theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin\theta = \frac{1}{2k}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण: $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$.
चूंकि $P(1, k)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$x=1$ रखने पर:
$9(1)^2+4k^2-18(1)+16k-11=0$
$4k^2+16k-20=0$
$k^2+4k-5=0$
$(k+5)(k-1)=0$.
$k>0$ होने के कारण,$k=1$ है। अतः $P(1, 1)$ है।
दीर्घवृत्त का मानक रूप:
$9(x-1)^2+4(y+2)^2 = 36$
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$.
यहाँ $a^2=4$ और $b^2=9$,अतः $b>a$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
नियताएँ: $y+2 = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$.
$P(1, 1)$ से नियताओं की दूरी:
$d_1 = |1 - (-2 + \frac{9}{\sqrt{5}})| = |3 - \frac{9}{\sqrt{5}}| = \frac{9}{\sqrt{5}} - 3$.
$d_2 = |3 + \frac{9}{\sqrt{5}}|$.
न्यूनतम दूरी $\frac{9}{\sqrt{5}} - 3$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a_1^2 = \frac{144}{25}$ और $b_1^2 = \frac{81}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm a_2 e_2, 0) = (\pm 4 e_2, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4 e_2 = 3$,इसलिए $e_2 = \frac{3}{4}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a_2^2} = 1 - \frac{b^2}{16}$ होता है।
$e_2 = \frac{3}{4}$ रखने पर,$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,जिसका अर्थ है कि $b^2 = 7$।

(D) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
$2ae = 16$ में $e = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें $2a(\sqrt{2}) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 12$ दी गई है,इसलिए $a = 6$ है।
चूंकि बिंदु $(8, 2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\frac{8^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$a = 6$ रखने पर:
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-4x+2y+c=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-2)^2 - (y-1)^2 = 3-c$ प्राप्त होता है।
माना $a^2 = 3-c$ है। समीकरण $\frac{(x-2)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{a^2} = 1$ हो जाता है।
इस आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है।
नाभि $x = 2 \pm ae = 2 \pm \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \pm \sqrt{2a^2}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई नाभि $S(2+2\sqrt{2}, k)$ से,$\sqrt{2a^2} = 2\sqrt{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 = 3-c$,इसलिए $4 = 3-c$,जिससे $c = -1$ प्राप्त होता है।
नियता $x = 2 \pm \frac{a}{e} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \pm \sqrt{2}$ है।
नाभि $x = 2+2\sqrt{2}$ के निकटतम नियता $x = 2+\sqrt{2}$ है,जो दी गई शर्त के अनुरूप है।
अतः,$c = -1$।

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $p^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2}$ और $q^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{p^2} + \frac{y^2}{q^2} = 1$ है।
$p^2$ और $q^2$ के मान रखने पर,हमें $\frac{x^2 a^2}{a^2+b^2} + \frac{y^2 b^2}{a^2+b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2 + b^2$ हो जाता है।
रेखाओं का युग्म $x^2 - y^2 = 0$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $y^2 = x^2$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y^2 = x^2$ रखने पर: $a^2 x^2 + b^2 x^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$(a^2 + b^2) x^2 = a^2 + b^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ है।
चूँकि $y^2 = x^2$ है,इसलिए $y = \pm 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$ हैं।
ये बिंदु $s = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ भुजा वाले एक वर्ग का निर्माण करते हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल = $s^2 = 2^2 = 4$ वर्ग इकाइयाँ।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
बिंदु $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ है।
दिया है $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$। अतः,$\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$।
दो समीकरण:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,$(1)$ को $\sin \theta$ से और $(2)$ को $\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
अतः,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$।

(D) एक आयताकार अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्षों के समानांतर होते हैं,इसलिए इसका समीकरण $(x - h)(y - k) = c$ के रूप में होता है।
चूंकि दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु अतिपरवलय का केंद्र होता है,इसलिए $(h, k) = (1, 1)$ है।
अतः,समीकरण $(x - 1)(y - 1) = c$ है।
चूंकि अतिपरवलय $(3, 2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $(3 - 1)(2 - 1) = c$ $\Rightarrow 2 \times 1 = c$ $\Rightarrow c = 2$।
$c = 2$ को समीकरण में रखने पर,हमें $(x - 1)(y - 1) = 2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$xy - x - y + 1 = 2$ मिलता है,जो सरल होकर $xy = x + y + 1$ हो जाता है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $\frac{\alpha x}{a^2} - \frac{\beta y}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $\frac{\alpha x}{16} - \frac{\beta y}{9} = 1$ या $9\alpha x - 16\beta y - 144 = 0$ है।
इसे दी गई रेखा $3x - 16y + 48 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{9\alpha}{3} = \frac{-16\beta}{-16} = \frac{-144}{48}$.
$3\alpha = \beta = -3$.
इस प्रकार,$\alpha = -1$ और $\beta = -3$.
अतः,$\alpha - \beta = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

(C) हमारे पास समीकरण हैं:
$x^2+y^2=a^2$ $\dots(i)$
$xy=b^2$ $\dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$x = \frac{b^2}{y}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{b^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{b^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$y^2$ से गुणा करने पर:
$b^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + b^4 = 0$
यह $y$ में चतुर्थ घात का समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1, y_2, y_3, y_4$ हैं।
बहुपद समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $y_1 y_2 y_3 y_4$ अचर पद और मुख्य गुणांक के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$y_1 y_2 y_3 y_4 = \frac{b^4}{1} = b^4$.

(C) हमारे पास है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \left(x^2+\pi x+2\pi\right)}{x^2}$
चूंकि $\cos(2\pi + \theta) = \cos \theta$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \left(x^2+\pi x\right)}{x^2}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x^2+\pi x}{2}\right)}{x^2}$
$= 2 \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ \frac{\sin \left(\frac{x^2+\pi x}{2}\right)}{\frac{x^2+\pi x}{2}} \right]^2 \times \left( \frac{x^2+\pi x}{2} \right)^2 \times \frac{1}{x^2}$
$= 2 \times 1^2 \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x+\pi)^2}{4x^2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \pi^2 = \frac{\pi^2}{2}$

(C) हम जानते हैं कि छोटे $x$ के लिए,$\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \tan^{-1} x$ होता है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4+x^3+x^2}{(\tan^{-1} x)(\tan^{-1} x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x^2+x+1)}{(\tan^{-1} x)^2}$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = 1$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि जब $x \rightarrow 0$ हो,तब $(\tan^{-1} x)^2 \approx x^2$।
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x^2+x+1)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^2+x+1) = 0^2+0+1 = 1$.

(B) हम $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \frac{2\theta^5}{15} + \dots$ और $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2}) \approx \frac{\theta^2}{2}$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं।
हर $(1 - \cos 4x)^2 \approx (\frac{(4x)^2}{2})^2 = 64x^4$ है।
अंश $x(4x + \frac{(4x)^3}{3} + \dots) - 2x(2x + \frac{(2x)^3}{3} + \dots) = 16x^4$ है।
अतः,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{16x^4}{64x^4} = \frac{1}{4}$ है।

(D) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (1-\cos x)}{\sin ^4 x}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1-\cos (1-\cos x)}{(1-\cos x)^2} \times \left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^2 \times \left(\frac{x}{\sin x}\right)^4$
जैसे $x \rightarrow 0$,$(1-\cos x) \rightarrow 0$.
मानक सीमा $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times (1)^4$
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{8}$

(C) मान लीजिए $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$.
जैसे ही $x \rightarrow k$,पद $[x] - [x/k]$ पूर्णांक मान लेता है।
विशेष रूप से,$k$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए,$[x] = k$ और $[x/k] = 1$ (चूंकि $k \geq 2$)।
अतः,पद $2 \pi ([x] - [x/k])$ $\pi$ का एक सम गुणज है,मान लीजिए $2 \pi m$।
इसलिए,$\sin(2 \pi m - x) = \sin(-x) = -\sin x$।
सीमा $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\sin x + \sin k}{x - k}$ बन जाती है।
$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\cos x}{1} = -\cos k$।

(C) दिया गया सीमा व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} \right] = k$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2} \right] = k$
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$' Hospital नियम लागू करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [(1+x) \log (1+x) - x]}{\frac{d}{dx} [x^2]} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[1 \cdot \log (1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] - 1}{2x} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x) + 1 - 1}{2x} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{2x} = k$
$\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = k$
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$,इसलिए $k = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$।
अतः,$12k = 12 \times \frac{1}{2} = 6$।

(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in R^{+}$ के लिए $f(x) > 0$ है।
हमें दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$ है।
चूंकि $f$ एक वर्धमान फलन है,किसी भी $x > 0$ के लिए,हमारे पास असमिका है:
$3x < 6x < 9x$
$\Rightarrow f(3x) < f(6x) < f(9x)$
पूरी असमिका को $f(3x)$ (जो धनात्मक है) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(3x)}{f(3x)} < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
अब,सभी पक्षों पर $x \rightarrow \infty$ की सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq 1$
सैंडविच प्रमेय (Sandwich Theorem) द्वारा,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} = 1$.

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ को $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समूह $A$ को समूह $B$ से अधिक सुसंगत होने के लिए,$A$ का विचरण गुणांक $B$ के विचरण गुणांक से कम होना चाहिए।
अतः,$CV_A < CV_B$।
मान रखने पर,$\frac{\sigma_A}{\bar{x}} < \frac{\sigma_B}{\bar{y}}$।
यहाँ $\sigma_A = 2$ और $\sigma_B = 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2}{\bar{x}} < \frac{3}{\bar{y}}$।
असमिका को $\frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\bar{y}}{\bar{x}} < \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करते हैं और माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{60}{10} = 6$
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{32}{10} = 3.2$

(B) हमारे पास है,$\text{माध्य} = 6$.
$\frac{8+9+6+5+x+4+6+5}{8} = 6$
$\Rightarrow 43+x = 48$ $\Rightarrow x = 5$.
अतः,डेटा सेट $8, 9, 6, 5, 5, 4, 6, 5$ है।
प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_i = 48$ और वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 64 + 81 + 36 + 25 + 25 + 16 + 36 + 25 = 308$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{308}{8} - (6)^2 = 38.5 - 36 = 2.5$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58$ है।

(C) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य बिंदु $x_i$ की गणना करते हैं और फिर आवश्यक योग ज्ञात करते हैं:

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0$-$5$	$4$	$2.5$	$10$	$25$
$5$-$10$	$1$	$7.5$	$7.5$	$56.25$
$10$-$15$	$10$	$12.5$	$125$	$1562.5$
$15$-$20$	$3$	$17.5$	$52.5$	$918.75$
$20$-$25$	$2$	$22.5$	$45$	$1012.5$
कुल	$N=20$		$\Sigma f_i x_i = 240$	$\Sigma f_i x_i^2 = 3575$

प्रसरण $\sigma^2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{1}{N} \Sigma f_i x_i\right)^2$
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{3575}{20} - \left(\frac{240}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - (12)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - 144 = 34.75$

(C) प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
माध्य $(\bar{x}) = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $(\alpha) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$.
प्रसरण $(\beta) = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2}{5} - (5.6)^2 = \frac{4 + 9 + 25 + 49 + 121}{5} - 31.36 = \frac{208}{5} - 31.36 = 41.6 - 31.36 = 10.24$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (2.72, 10.24)$ है।

(C) माना $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का प्रसरण $\sigma^2$ है।
प्रसरण के गुणधर्म के अनुसार,$\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ होता है।
कथन $(A)$ के लिए,$a = 4$ और $b = 0$ रखने पर,$\text{Var}(4x) = 4^2 \text{Var}(x) = 16 \sigma^2$ प्राप्त होता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,सही गुणधर्म $\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ है। दिया गया कथन $\text{Var}(y) = a \text{Var}(x) + b$ गलत है। अतः,$(R)$ असत्य है।

(D) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f} = \frac{336}{42} = 8$
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f|x - \bar{x}|}{N}$
$\Sigma f|x - \bar{x}| = (3 \times 7) + (3 \times 5) + (4 \times 3) + (14 \times 1) + (7 \times 1) + (4 \times 3) + (3 \times 5) + (4 \times 7) = 124$
$\therefore \text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{124}{42} \approx 2.95$

(A) प्रथम $5$ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 = 208$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{208}{5} - (\frac{28}{5})^2} = \sqrt{\frac{1040 - 784}{25}} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$.
विचरण गुणांक $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{16/5}{28/5} \times 100 = \frac{16}{28} \times 100 = \frac{4}{7} \times 100 = \frac{400}{7}$.

(B) दिया गया है,$n = 100$,$\bar{x} = 40$,और $\sigma = 5.1$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $(5.1)^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\sum x_i^2 = (26.01 + 1600) \times 100 = 162601$.
इस योग में गलत प्रेक्षण $50$ शामिल है। सही योग प्राप्त करने के लिए,हम गलत मान का वर्ग घटाएंगे और सही मान का वर्ग जोड़ेंगे:
सही $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
सही $\sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.

(B) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान $(x_i)$ निकालते हैं और फिर $\Sigma f_i x_i$ और $\Sigma f_i x_i^2$ की गणना करते हैं।
यहाँ,$N = \Sigma f_i = 70$ और $\Sigma f_i x_i = 1470$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{1470}{70} = 21$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{42150}{70} - (21)^2$ है।
$\sigma^2 = 602.14 - 441 = 161.14$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,प्रसरण $161.1$ है।

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु $(x_i)$ की गणना करते हैं और फिर आवश्यक योग प्राप्त करते हैं:

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0-6$	$10$	$3$	$30$	$90$
$6-12$	$8$	$9$	$72$	$648$
$12-18$	$6$	$15$	$90$	$1350$
$18-24$	$4$	$21$	$84$	$1764$
$24-30$	$2$	$27$	$54$	$1458$
कुल	$N = 30$	-	$\Sigma f_i x_i = 330$	$\Sigma f_i x_i^2 = 5310$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{\Sigma f_i x_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{5310}{30} - \left(\frac{330}{30}\right)^2$
$\sigma^2 = 177 - (11)^2$
$\sigma^2 = 177 - 121 = 56$.

(B) दिए गए अवलोकन $2, 7, 5, 6, 4, 3, 11, 17, 8$ हैं।
सबसे पहले,समांतर माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 7 + 5 + 6 + 4 + 3 + 11 + 17 + 8}{9} = \frac{63}{9} = 7$.
अब,प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष विचलन $d_i = |x_i - \bar{x}|$ की गणना करें:
$|2 - 7| = 5, |7 - 7| = 0, |5 - 7| = 2, |6 - 7| = 1, |4 - 7| = 3, |3 - 7| = 4, |11 - 7| = 4, |17 - 7| = 10, |8 - 7| = 1$.
विचलन का योग $\Sigma d_i = 5 + 0 + 2 + 1 + 3 + 4 + 4 + 10 + 1 = 30$.
माध्य विचलन ($M$.$D$.) = $\frac{\Sigma d_i}{N} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(C) दिए गए मानक विचलन $\sigma_x = 5$ और $\sigma_y = 6$ हैं,जहाँ $n = 100$ अवलोकन हैं।
$\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})^2 = n \sigma_x^2 = 100 \times 25 = 2500$.
$\sum_{i=1}^{100}(y_i-\bar{y})^2 = n \sigma_y^2 = 100 \times 36 = 3600$.
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 600$.
मान लीजिए $z_i = x_i - y_i$. तो $\bar{z} = \bar{x} - \bar{y}$.
$Z$ का प्रसरण $\sigma_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100}(z_i - \bar{z})^2$ है।
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2$.
वर्ग का विस्तार करने पर: $\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [\sum(x_i - \bar{x})^2 + \sum(y_i - \bar{y})^2 - 2 \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})]$.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [2500 + 3600 - 2(600)] = \frac{1}{100} [6100 - 1200] = \frac{4900}{100} = 49$.
अतः,$\sigma_z = \sqrt{49} = 7$.

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $2k$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$S_1 = \frac{(2k)^2 - 1}{12} = \frac{4k^2 - 1}{12}$।
प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$S_2 = \frac{k^2 - 1}{12}$।
अतः,अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4k^2 - 1}{k^2 - 1} = \frac{4(k^2 - 1) + 3}{k^2 - 1} = 4 + \frac{3}{k^2 - 1}$।
चूंकि $k > 1$,$k^2 - 1 > 0$। जैसे $k \to 1^+$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to \infty$,और जैसे $k \to \infty$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to 0$।
अतः,$4 + \frac{3}{k^2 - 1} \in (4, \infty)$।

(B) सबसे पहले,हम संचयी आवृत्ति $(cf)$ और कुल आवृत्ति $(N)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$f_i$	$cf$
$6$	$4$	$4$
$12$	$7$	$11$
$18$	$9$	$20$
$24$	$18$	$38$
$30$	$15$	$53$
$36$	$10$	$63$
$42$	$5$	$68$

यहाँ,$N = 68$,जो एक सम संख्या है। माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th}$ और $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ प्रेक्षणों का औसत है,अर्थात $34^{th}$ और $35^{th}$ प्रेक्षण।
संचयी आवृत्ति को देखने पर,$34^{th}$ और $35^{th}$ दोनों प्रेक्षण $x_i = 24$ वाले वर्ग में आते हैं।
अतः,$\text{Median} = 24$।
अब,हम माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना सूत्र $\text{MD}(\text{Median}) = \frac{\sum f_i |x_i - \text{Median}|}{N}$ का उपयोग करके करते हैं:
$\sum f_i |x_i - 24| = 4|6-24| + 7|12-24| + 9|18-24| + 18|24-24| + 15|30-24| + 10|36-24| + 5|42-24|$
$= 4(18) + 7(12) + 9(6) + 18(0) + 15(6) + 10(12) + 5(18)$
$= 72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90 = 510$
$\text{MD}(\text{Median}) = \frac{510}{68} = 7.5$.

(C) माना कुल अवलोकनों की संख्या $n$ है।
दिया गया है कि $\frac{n}{4}$ अवलोकन $a$ हैं,$\frac{n}{4}$ अवलोकन $-a$ हैं,$\frac{n}{4}$ अवलोकन $b$ हैं,और $\frac{n}{4}$ अवलोकन $-b$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\frac{n}{4}(a - a + b - b)}{n} = 0$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $ab = \frac{\frac{n}{4}(a^2 + (-a)^2 + b^2 + (-b)^2)}{n} - 0$.
$ab = \frac{a^2 + a^2 + b^2 + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
$2ab = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 2ab = 0$.
$(a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b$.

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = \frac{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin(A-B)$.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$.
चूँकि $A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ और $B = 90^{\circ}-A$,अतः $\sin B = \cos A$ है।
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{1} = 1$.

(A) दिया है,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$.
हम इसे $\cos A \cos B + \sin A \sin B - \sin A \sin B + \sin A \sin B \sin C = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\cos(A - B) - \sin A \sin B(1 - \sin C) = 1$ में सरल हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $1 - \cos(A - B) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2(\frac{A - B}{2}) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ मिलता है।
चूंकि दो गैर-ऋणात्मक पदों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $\sin(\frac{A - B}{2}) = 0$ और $\sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$.
इसका अर्थ है $A = B$ और $\sin C = 1$ (क्योंकि त्रिभुज में $\sin A, \sin B \neq 0$)।
अतः,$C = 90^{\circ}$ और $A = B = 45^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$a : b : c = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : 1 : \sqrt{2}$.

(C) $A_1 = \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$ और $B_1 = 4 \hat{i}-3 \hat{k}$ से गुजरने वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $r = A_1 + \lambda(B_1 - A_1)$ है।
$B_1 - A_1 = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,$L_1: r = (\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$.
$A_2 = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $B_2 = 2 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k}$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण $r = A_2 + \mu(B_2 - A_2)$ है।
$B_2 - A_2 = \hat{i} - 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
अतः,$L_2: r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}-6 \hat{j}-4 \hat{k})$.
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $D = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ है।
$a_2 - a_1 = 4\hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = -20\hat{i} + 10\hat{j} - 20\hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = 30$.
$(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = 40$.
$D = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.

(B) दो विषम रेखाओं $r = a_1 + t b_1$ और $r = a_2 + s b_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$b_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$a_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $b_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$a_2 - a_1 = (3 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-6)) - \hat{j}(4 - 12) + \hat{k}(-2 - 6) = 12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \sqrt{12^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64 + 64} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$ है।
अदिश गुणनफल $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}) = 48 + 8 + 32 = 88$ है।
अतः,$d = \frac{88}{4\sqrt{17}} = \frac{22}{\sqrt{17}}$।

(A) दिया गया समीकरण $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ है।
द्विघात रूप का गुणनखंड करने पर,हमें $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y + 6 z) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समतल $P_1: x + 2 y - 2 z = 0$ और $P_2: 2 x - 3 y + 6 z = 0$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{|-16|}{3 \times 7} = \frac{16}{21}$.
अतः,न्यून कोण $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}\right)$ है।

(A) $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ और $C(3,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \\ 1-0 & 0-0 & 1-2 \\ 3-0 & 1-0 & 1-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z-2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(0 - (-1)) - y(-1 - (-3)) + (z-2)(1 - 0) = 0$
$x(1) - y(2) + (z-2)(1) = 0$
$x - 2y + z - 2 = 0$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
$XY$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_1 = \langle 0, 0, 1 \rangle$ है। समतलों के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| |\vec{n}_1|} = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
अतः,$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$XZ$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_2 = \langle 0, 1, 0 \rangle$ है। समतलों के बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार है: $\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}| |\vec{n}_2|} = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \sqrt{1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
अतः,$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$.
इसलिए,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.

(C) दी गई दोनों रेखाएँ $a=\hat{i}+\hat{j}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से होकर गुजरती हैं और क्रमशः $b_1=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b_2=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर हैं। इन रेखाओं को समाहित करने वाला समतल बिंदु $a=\hat{i}+\hat{j}$ से होकर गुजरता है और सदिश $n = b_1 \times b_2$ के लंबवत है।
अभिलंब सदिश $n$ की गणना:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
समतल का सदिश समीकरण $r \cdot n = a \cdot n$ है।
$r \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -3 + 3 + 0 = 0$.
$-3$ से विभाजित करने पर,हमें $r \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) समतल $OAB$ का समीकरण सारणिक रूप द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 1-0 & 3-0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$ ... $(i)$
समतल $ABC$ का समीकरण:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1)(1) - (y-2)(5) + (z-1)(-3) = 0 \Rightarrow x - 1 - 5y + 10 - 3z + 3 = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$ ... $(ii)$
समतलों $5x - y - 3z = 0$ और $x - 5y - 3z + 12 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25 + 1 + 9} \sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,बिंदु $(1, 1, 1)$ और लंब के पाद $(1, 3, 5)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
$\vec{n_1} = (1-1, 3-1, 5-1) = (0, 2, 4)$।
हम इसे सरल करके $\vec{n_1} = (0, 1, 2)$ लिख सकते हैं।
बिंदु $(1, 3, 5)$ से गुजरने वाले समतल $\pi_1$ का समीकरण $0(x-1) + 1(y-3) + 2(z-5) = 0$ है,जो $y + 2z - 13 = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $\pi_2$ के लिए,यह बिंदुओं $A(2, 2, -1), B(3, 4, 2), C(3, 3, 0)$ से गुजरता है।
सदिश $\vec{AB} = (1, 2, 3)$ और $\vec{AC} = (1, 1, 1)$ समतल $\pi_2$ पर स्थित हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(1-2) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$\vec{n_2} = (-1, 2, -1)$।
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-1) + (1)(2) + (2)(-1) = 0 + 2 - 2 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) समतलों $\pi_1 = 0$ और $\pi_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतलों का मान रखने पर:
$(2x + 6y + 4z - 7) + \lambda(x - y - 2z - 2) = 0$
$(2 + \lambda)x + (6 - \lambda)y + (4 - 2\lambda)z - (7 + 2\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि यह समतल,समतल $x + y + 2z - 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होगा।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, 6 - \lambda, 4 - 2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ हैं।
$(2 + \lambda)(1) + (6 - \lambda)(1) + (4 - 2\lambda)(2) = 0$
$2 + \lambda + 6 - \lambda + 8 - 4\lambda = 0$
$16 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
समीकरण $(i)$ में $\lambda = 4$ रखने पर:
$(2 + 4)x + (6 - 4)y + (4 - 8)z - (7 + 8) = 0$
$6x + 2y - 4z - 15 = 0$.

(C) समतल बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $\vec{a}$) से गुजरता है और सदिश $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के समानांतर है।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ है।
समतल का अभिलंब रूप में समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = \vec{a} \cdot \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{n}$ का मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ होता है,इसलिए समीकरण $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ हो जाता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और दो समतलों,जिनके अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ हैं,के लंबवत समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x+1 & y-6 & z-2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+1)(4-6) - (y-6)(2-6) + (z-2)(3-6) = 0$
$-2(x+1) + 4(y-6) - 3(z-2) = 0$
$-2x - 2 + 4y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z - 20 = 0$ या $2x - 4y + 3z + 20 = 0$
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, -1, 1)$ और समतल $2x - 4y + 3z + 20 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|2(1) - 4(-1) + 3(1) + 20|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|2 + 4 + 3 + 20|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अंतःखंड हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(2, 3, 5)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \implies b = 9$
$\frac{c}{3} = 5 \implies c = 15$
इन मानों को समतल के अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$
सरल करने के लिए,समीकरण को $6, 9, 15$ के लघुत्तम समापवर्त्य $90$ से गुणा करने पर:
$15x + 10y + 6z = 90$.

(A) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है। आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ आदि हैं।
$d_1$ $XY$-समतल के उस फलक का विकर्ण है जो मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है। इस फलक के शीर्ष $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ हैं। मूल बिंदु से न गुजरने वाला विकर्ण $(a, 0, 0)$ और $(0, b, 0)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है,अर्थात $AE$।
$d_1$ की दिशा का सदिश $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
$d_2$ समतल $\Pi_2$ (जो $b$ दूरी पर $ZX$ समतल के समानांतर है) का विकर्ण है जो $d_1$ के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। समतल $\Pi_2$ में बिंदु $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ शामिल हैं। $d_1$ (जो $A(a, 0, 0)$ से शुरू होता है) के साथ उभयनिष्ठ बिंदु वाला विकर्ण $AD$ है,जहाँ $D$ बिंदु $(0, 0, c)$ है।
दी गई आकृति के अनुसार,$d_1$ $AE$ है और $d_2$ $AD$ है।
सदिश $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$।
सदिश $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$।
$|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$।
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$।
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$।

(C) रेखा $r = a + \lambda b$ के रूप में है,जहाँ $a = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल $r \cdot n = d$ के रूप में है,जहाँ $n = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है,इसके लिए $b \cdot n$ की गणना करें: $b \cdot n = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ है।
चूँकि $b \cdot n = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ की गणना करें।
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ की गणना करें।
सूत्र में मान रखने पर: $D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ है।
समतल $\pi$ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित होता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
रेखा समतल पर स्थित है और $\vec{b}$ के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} = \vec{n} \times \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a}$ का उपयोग करते हुए।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (0)(1) + (-2)(2) = -1 - 4 = -5$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
अतः,$\vec{v} = -5(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - 6(-\hat{i}-2 \hat{k}) = -5\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{k} + 6\hat{i} + 12\hat{k} = \hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$.
नोट: दिशा सदिश को $-1$ से गुणा करने पर $-\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} + \lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$ है।

(C) समतल का समीकरण $r = b + c + x(a - b) + y(c + a) = (x + y)a + (1 - x)b + (1 + y)c$ है $\ldots(i)$.
रेखा का समीकरण $r = a + t(b - c) = a + tb - tc$ है $\ldots(ii)$.
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए $a, b, c$ के अतलीय होने के कारण हम उनके गुणांकों की तुलना करते हैं:
$x + y = 1$ $\ldots(iii)$
$1 - x = t$ $\ldots(iv)$
$1 + y = -t$ $\ldots(v)$
समीकरण $(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर,$2 - x + y = 0$,अर्थात $x - y = 2$ $\ldots(vi)$.
$(iii)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर,$2x = 3$,इसलिए $x = \frac{3}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर,$y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ को $(iv)$ में रखने पर,$t = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु $r = a + t(b - c) = a - \frac{1}{2}(b - c) = a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.
इसकी तुलना $la + mb + nc$ से करने पर,$l = 1, m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}$.
अंत में,$3l + 4m + 2n = 3(1) + 4(-\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) = 3 - 2 + 1 = 2$.

(B) बिंदुओं $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ से गुजरने वाले समतल $\Pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \\ 1-0 & -2+5 & 5+1 \\ -3-0 & 5+5 & 0+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x & y+5 & z+1 \\ 1 & 3 & 6 \\ -3 & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(3-60) - (y+5)(1+18) + (z+1)(10+9) = 0$
$-57x - 19(y+5) + 19(z+1) = 0$
$-19$ से विभाजित करने पर:
$3x + y + 5 - z - 1 = 0 \Rightarrow 3x + y - z + 4 = 0$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$ है।
रेखा $L$,सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}}$ है।
रेखा $L$ पर $\hat{n}$ के प्रक्षेप की लंबाई $|\hat{n} \cdot \hat{u}|$ है:
$|\hat{n} \cdot \hat{u}| = \left| \left( \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}} \right) \cdot \left( \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}} \right) \right|$
$= \left| \frac{3(1) + 1(5) + (-1)(-6)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{62}} \right| = \left| \frac{3 + 5 + 6}{\sqrt{682}} \right| = \frac{14}{\sqrt{682}}$.

(B) मान लीजिए $l, m, n$ क्रमशः $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ हैं।
बिंदु $A(p, 7, -6), B(2, 5, -4), C(1, 4, -3)$ हैं।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ को $\vec{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{AB} = (2-p)\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (1-2)\hat{i} + (4-5)\hat{j} + (-3+4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = k\vec{BC}$,इसलिए $\frac{2-p}{-1} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1} = 2$.
अतः,$2-p = -2 \implies p = 4$.
बिंदु $(-p, p, p+1) = (-4, 4, 5)$ है।
रेखा $L$,$B(2, 5, -4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = (-1, -1, 1)$ है।
समतल में रेखा $L$ और बिंदु $P(-4, 4, 5)$ स्थित हैं।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{PB} \times \vec{v}$ है।
$\vec{PB} = (2 - (-4))\hat{i} + (5 - 4)\hat{j} + (-4 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 9\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -9 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-8(x-2) + 3(y-5) - 5(z+4) = 0$ है।
$-8x + 3y - 5z = 19$.
$19$ से विभाजित करने पर,$-\frac{8}{19}x + \frac{3}{19}y - \frac{5}{19}z = 1$.
यहाँ $a = -\frac{8}{19}, b = \frac{3}{19}, c = -\frac{5}{19}$.
$p(a+b+c) = 4 \times (\frac{-8+3-5}{19}) = 4 \times (\frac{-10}{19}) = -\frac{40}{19}$.

(A) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-7}{2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(4, 2, 7)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 1, 2)$ हैं।
चूंकि रेखा समतल $ax+by+z=7$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P(4, 2, 7)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$a(4) + b(2) + 7 = 7$
$4a + 2b = 0$
$2a + b = 0 \quad \dots(i)$
साथ ही,रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(1)(a) + (1)(b) + (2)(1) = 0$
$a + b + 2 = 0$
$a + b = -2$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $A(1, 2, 0)$ और $B(2, 1, 1)$ हैं।
समतल का समीकरण $x+y+z=3$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
$A$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}) + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1+\lambda, 2+\lambda, \lambda)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(1+\lambda) + (2+\lambda) + \lambda = 3$,जिससे $3\lambda + 3 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = 0$। इस प्रकार,$P = (1, 2, 0)$।
$B$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2+\mu, 1+\mu, 1+\mu)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(2+\mu) + (1+\mu) + (1+\mu) = 3$,जिससे $3\mu + 4 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\mu = -\frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$Q = (2-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जहाँ योग अधिकतम $7$ है:
योग $= 2: (1,1)$ ($1$ परिणाम)
योग $= 3: (1,2), (2,1)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 1+2+3+4+5+6 = 21$.
अतः,$x = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
$y$ के लिए,एक बार फेंकने पर $7$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है। $7$ का योग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
जब $n$ बार फेंका जाता है,तो कम से कम एक बार $7$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता $y = 1 - q^n = 1 - (\frac{5}{6})^n$ है।
हमें $y > x$ चाहिए,इसलिए $1 - (\frac{5}{6})^n > \frac{7}{12} \Rightarrow (\frac{5}{6})^n < \frac{5}{12}$.
$n=1$ के लिए: $\frac{5}{6} \approx 0.833 > 0.416$
$n=2$ के लिए: $\frac{25}{36} \approx 0.694 > 0.416$
$n=3$ के लिए: $\frac{125}{216} \approx 0.578 > 0.416$
$n=4$ के लिए: $\frac{625}{1296} \approx 0.482 > 0.416$
$n=5$ के लिए: $\frac{3125}{7776} \approx 0.401 < 0.416$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(C) माना कि बम के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ है।
अतः,बम के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
माना $n$ गिराए गए बमों की संख्या है। यदि कम से कम $2$ हिट हों तो लक्ष्य नष्ट हो जाता है।
माना $X$ हिट की संख्या है। हम $P(X \geq 2) \geq 0.99$ चाहते हैं।
यह $1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \geq 0.99$ के बराबर है।
$P(X = 0) + P(X = 1) \leq 0.01 = \frac{1}{100}$।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$।
${}^{n}C_{0} (\frac{3}{4})^{0} (\frac{1}{4})^{n} + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4})^{1} (\frac{1}{4})^{n-1} \leq \frac{1}{100}$।
$\frac{1 + 3n}{4^{n}} \leq \frac{1}{100} \Rightarrow 4^{n} \geq 300n + 100$।
$n = 5$ के लिए: $4^{5} = 1024$ और $300(5) + 100 = 1600$। ($1024 < 1600$,गलत)।
$n = 6$ के लिए: $4^{6} = 4096$ और $300(6) + 100 = 1900$। ($4096 \geq 1900$,सही)।
अतः,बमों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(B) माना $S = \{1, 2, \ldots, 100\}$ है। कुल अवयवों की संख्या $100$ है।
माना $A$ वह घटना है कि संख्या $2$ से विभाज्य है। $A$ के अवयव $\{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ हैं। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 50$ है।
माना $B$ वह घटना है कि संख्या $3$ या $5$ से विभाज्य है। हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
$A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $\{1, 2, \ldots, 100\}$ में हैं और $2$ से विभाज्य हैं तथा ($3$ से विभाज्य हैं या $5$ से विभाज्य हैं)।
इसका अर्थ है कि संख्याएँ $6$ या $10$ से विभाज्य हैं।
$100$ तक $6$ से विभाज्य संख्याएँ: $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ हैं।
$100$ तक $10$ से विभाज्य संख्याएँ: $\lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$ हैं।
$6$ और $10$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ (अर्थात $30$ से विभाज्य): $\lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cap B) = 16 + 10 - 3 = 23$ है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{23}{50}$ है।

(C) पहले इक्के के आने से पहले ठीक $5$ पत्ते निकाले जाने की प्रायिकता का अर्थ है कि पहले $5$ पत्ते इक्के नहीं हैं और $6$ठा पत्ता एक इक्का है।
$P = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{4}{47}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$P = \frac{4}{49} \times \left( \frac{46 \times 45 \times 44}{52 \times 51 \times 50} \right) = \frac{4}{49} \times \left( \frac{23 \times 3 \times 11}{13 \times 17 \times 5} \right)$
यहाँ,अभाज्य गुणनखंड $p_1=23, p_2=11, p_3=3$ और $p_4=13, p_5=17, p_6=5$ हैं।
अतः,$\max \{p_i\} = 23$ और $\min \{p_i\} = 3$.
इसलिए,$\max \{p_i\} - \min \{p_i\} = 23 - 3 = 20$.

(B) दिया गया है कि एक निष्पक्ष सिक्के को $K$ बार उछाला जाता है,$X$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करती है।
दिया है $P(X=4) = P(X=6)$।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=r) = {}^K C_r p^r q^{K-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^K C_4 (\frac{1}{2})^K = {}^K C_6 (\frac{1}{2})^K$
${}^K C_4 = {}^K C_6$
चूंकि ${}^n C_x = {}^n C_y$ का अर्थ है $n = x + y$ (जब $x \neq y$),हमें $K = 4 + 6 = 10$ प्राप्त होता है।
$p = q = \frac{1}{2}$ वाले द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता $P(X=r)$ माध्य मान पर अधिकतम होती है।
$n = 10$ के लिए,अधिकतम प्रायिकता $r = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ पर होती है।

(B) यहाँ $n = 2000$ और $p = 0.001$ है।
पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए,प्राचल $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$ है।
$X$ व्यक्तियों को प्रतिक्रिया होने की प्रायिकता $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2}$
इनका योग: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$।
अतः,$P(X > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2}$।

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ तीन स्वतंत्र घटनाएं हैं जिनकी प्रायिकताएं $P_1, P_2, P_3$ हैं।
इसकी प्रायिकता कि कोई भी घटना घटित न हो,$P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 \cap \bar{E}_3) = (1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)$ है।
कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी घटित न हो}) = 1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
स्वतंत्र घटनाओं $A, B, C$ के लिए,उनके संघ (union) की प्रायिकता समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)] + P(A \cap B \cap C)$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$,आदि। अतः,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$. अतः,$(R)$ सत्य है।
चूंकि $(R)$ में दिया गया सूत्र $(A)$ में परिणाम प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) माना $E$ पासे पर $3$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{4, 5, 6\}$ हैं।
$P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
माना $F$ संख्या $5$ प्राप्त करने की घटना है। $P(F) = \frac{1}{6}$.
माना $S$ संख्या $\leq 3$ प्राप्त करने की घटना है। $P(S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अंतिम प्रयास में $5$ प्राप्त करने की संभावनाएं:
$1$. पहला प्रयास $5$ हो: प्रायिकता $= \frac{1}{6}$.
$2$. पहला प्रयास $\leq 3$ और दूसरा $5$ हो: प्रायिकता $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$.
$3$. पहले दो प्रयास $\leq 3$ और तीसरा $5$ हो: प्रायिकता $= (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{6}$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{6}(\frac{1}{2})^2 + \dots$
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/2} = \frac{1}{3}$.

(C) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 13\}$ है। इसमें $7$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ और $6$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ हैं।
माना $E$ वह घटना है कि चुनी गई दो संख्याओं का योग सम है। यह तब होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों या दोनों संख्याएँ सम हों।
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
योग के सम होने के कुल तरीके = $21 + 15 = 36$.
माना $A$ वह घटना है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं। हमें $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A \cap E$ वह घटना है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं,$n(A \cap E) = 21$.
अतः,$P(A|E) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

(C) हमारे पास है,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)$.
$\therefore P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
अब,$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1/12}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow P(E_2) = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6}$.
$\therefore P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
अब,$P(E_1 | \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(\bar{E}_2)}$.
$= \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{3-1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$.

(B) दिया गया है कि $P(A) = \frac{4}{9}$ और $P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{7}$ है।
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$ होता है।
इसलिए,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B})$.
मान रखने पर,$P(A \cap B) = \frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{28 - 27}{63} = \frac{1}{63}$.
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P\left(\frac{B}{A}\right)$ की परिभाषा के अनुसार $P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
मान रखने पर,$P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{\frac{1}{63}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{63} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{7 \times 4} = \frac{1}{28}$.

(C) दिया गया है: $P(X)=\frac{1}{3}$,$P(X|Y)=\frac{1}{2}$,और $P(Y|X)=\frac{2}{5}$।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$।
अतः,$P(X \cap Y) = P(Y|X) \times P(X) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$।
अब,$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)}$।
इसका अर्थ है $P(Y) = 2 \times \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि व्यक्ति बीमारी से पीड़ित है और $E_2$ वह घटना है कि व्यक्ति बीमारी से पीड़ित नहीं है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि नैदानिक परीक्षण सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 0.5 \% = 0.005$
$P(E_2) = 99.5 \% = 0.995$
$P(A|E_1) = 0.95$
$P(A|E_2) = 0.10$
हमें $P(E_1|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \times P(A|E_1)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.005 \times 0.95}{(0.005 \times 0.95) + (0.995 \times 0.10)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.00475 + 0.0995}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.10425} = \frac{475}{10425} \approx 0.0455$

(A) दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$।
चूँकि $E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$।
मान लीजिए $P(E_2) = x$। तब $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2}x$।
सूत्र $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + x - \frac{x}{2}$
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$
$x = \frac{1}{3}$। अतः,$P(E_2) = \frac{1}{3}$। $(A \rightarrow III)$
अब,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$। $(B \rightarrow IV)$
$P(\bar{E}_2 | E_1) = 1 - P(E_2 | E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$। $(C \rightarrow I)$
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। $(D \rightarrow II)$
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(C) दिया गया है कि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(E_r) = \frac{1}{1+r}$ है।
सबसे पहले,हम प्रत्येक $r$ के लिए पूरक घटना $\bar{E}_r$ की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:
$P(\bar{E}_r) = 1 - P(E_r) = 1 - \frac{1}{1+r} = \frac{r}{1+r}$.
कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी घटना न हो})$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कोई भी घटना न होने की प्रायिकता उनके पूरक की प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P(\text{कोई नहीं}) = P(\bar{E}_1) \times P(\bar{E}_2) \times \cdots \times P(\bar{E}_n)$.
मान रखने पर:
$P(\text{कोई नहीं}) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \cdots \times \left(\frac{n}{n+1}\right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है जहाँ प्रत्येक पद का अंश पिछले पद के हर के साथ कट जाता है:
$P(\text{कोई नहीं}) = \frac{1}{n+1}$.
अतः,कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता है:
$1 - P(\text{कोई नहीं}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ क्रमशः बक्से $A, B, C, D$ चुनने की घटनाएं हैं। मान लीजिए $F$ वह घटना है कि चुना गया फ्यूज दोषपूर्ण है।
$P(E_1) = \frac{5000}{11000} = \frac{5}{11}, P(E_2) = \frac{3000}{11000} = \frac{3}{11}, P(E_3) = \frac{2000}{11000} = \frac{2}{11}, P(E_4) = \frac{1000}{11000} = \frac{1}{11}$.
दोषपूर्ण फ्यूज चुनने की सशर्त प्रायिकताएं हैं:
$P(F|E_1) = \frac{3}{100}, P(F|E_2) = \frac{2}{100}, P(F|E_3) = \frac{1}{100}, P(F|E_4) = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि दोषपूर्ण फ्यूज बॉक्स $D$ से आया है,$P(E_4|F) = \frac{P(E_4)P(F|E_4)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(F|E_i)}$ है।
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}{\frac{5}{11} \times \frac{3}{100} + \frac{3}{11} \times \frac{2}{100} + \frac{2}{11} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}$.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{15}{1100} + \frac{6}{1100} + \frac{2}{1100} + \frac{1}{2200}} = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{30+12+4+1}{2200}} = \frac{1}{47}$.

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र बिना अनुमान लगाए उत्तर देता है,और $E_2$ वह घटना है कि छात्र अनुमान लगाकर उत्तर देता है। दिया गया है $P(E_2) = 3/7$,इसलिए $P(E_1) = 1 - 3/7 = 4/7$.
माना $A$ वह घटना है कि कम से कम $3$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए गए हैं।
$E_1$ के लिए (बिना अनुमान लगाए),सफलता की प्रायिकता $p = 2/3$ है। द्विपद वितरण $B(4, 2/3)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A|E_1) = \binom{4}{3} (2/3)^3 (1/3)^1 + \binom{4}{4} (2/3)^4 = 4 \cdot (8/27) \cdot (1/3) + 16/81 = 32/81 + 16/81 = 48/81 = 16/27$.
$E_2$ के लिए (अनुमान लगाकर),सफलता की प्रायिकता $p = 1/2$ है। द्विपद वितरण $B(4, 1/2)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A|E_2) = \binom{4}{3} (1/2)^4 + \binom{4}{4} (1/2)^4 = 5/16$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,हमें $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ ज्ञात करना है।
$P(E_1|A) = \frac{(4/7) \cdot (16/27)}{(4/7) \cdot (16/27) + (3/7) \cdot (5/16)} = \frac{64/189}{64/189 + 15/112} = \frac{1024}{1429}$.

(A) औसत आगमन दर,$\lambda$,$240 \text{ वाहन/घंटा} = \frac{240}{3600} \text{ वाहन/सेकंड} = \frac{1}{15} \text{ वाहन/सेकंड}$ है।
$t = 30 \text{ सेकंड}$ के समय अंतराल के लिए,अपेक्षित आगमन संख्या $\mu = \lambda t = \frac{1}{15} \times 30 = 2$ है।
पॉइसन वितरण के अनुसार,$n$ आगमन की प्रायिकता $P(n) = \frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!}$ है।
हमें दो से अधिक वाहनों के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(n > 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$।
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
$P(1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
$P(2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
इन प्रायिकताओं का योग: $P(n \leq 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$।
अतः,$P(n > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$।

(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ है,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) = 1$ है।
$k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n} = k \left( \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots \right) = 1$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=1$,और $r=\frac{1}{3}$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-1/3} + \frac{1 \cdot (1/3)}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{2} + \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ है।
अतः,$k \cdot \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$ है।
हमें $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k \cdot \frac{0+1}{3^0} = k \cdot 1 = \frac{4}{9}$ है।
$P(X=1) = k \cdot \frac{1+1}{3^1} = k \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ है।
$P(X < 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$ है।

(A) मान लीजिए $A_i$ $(i=1, 2, 3, 4)$ वह घटना है कि कलश में $i+1$ सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दो सफेद गेंदें निकाली जाती हैं।
हमें $P(A_4 | B)$ ज्ञात करना है।
चूंकि चारों घटनाएं $A_1, A_2, A_3, A_4$ समान रूप से संभावित हैं,इसलिए $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{4}$ है।
$P(B | A_i)$ वह प्रायिकता है कि कलश में $i+1$ सफेद गेंदें होने पर दो सफेद गेंदें निकाली जाती हैं।
$P(B | A_1) = \frac{^2C_2}{^5C_2} = \frac{1}{10}$.
$P(B | A_2) = \frac{^3C_2}{^5C_2} = \frac{3}{10}$.
$P(B | A_3) = \frac{^4C_2}{^5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B | A_4) = \frac{^5C_2}{^5C_2} = 1$.
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(A_4 | B) = \frac{P(A_4) P(B | A_4)}{\sum_{i=1}^4 P(A_i) P(B | A_i)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{10}{10} \right)} = \frac{1}{\frac{20}{10}} = \frac{1}{2}$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $B_1, B_2, B_3$ चुनने की घटनाएँ हैं।
थैले चुनने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (परिणाम $2, 3, 5$ के लिए)
$P(E_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (परिणाम $4, 6$ के लिए)
$P(E_3) = \frac{1}{6}$ (परिणाम $1$ के लिए)
मान लीजिए $G$ हरी गेंद निकालने की घटना है। सशर्त प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(G|E_1) = \frac{3}{2+3+2} = \frac{3}{7}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3+2+2} = \frac{2}{7}$
$P(G|E_3) = \frac{2}{2+2+3} = \frac{2}{7}$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(G) = P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)$
$P(G) = \left(\frac{3}{6} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{6} \times \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{2}{7}\right)$
$P(G) = \frac{9}{42} + \frac{4}{42} + \frac{2}{42} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$

(B) जब $2n$ निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $2^{2n}$ होती है।
$2n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(r) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{r}$।
चितों की संख्या पटों की संख्या के बराबर तब होती है जब चितों की संख्या ठीक $n$ हो।
ठीक $n$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(n) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि चितों की संख्या पटों की संख्या के बराबर न हो,$1 - P(n)$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}}$ है।

(C) मान लीजिए कि $n=4$ के नमूने में दोषपूर्ण बोल्ट की संख्या $X$ है। बोल्ट के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = 20\% = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
अतः,बोल्ट के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि चयन यादृच्छिक है,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=4$ और $p=\frac{1}{5}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $2$ से कम बोल्ट के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = {}^4C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = {}^4C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{5} \times \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
इसलिए,$P(X < 2) = \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{512}{625} = 0.8192$.

(C) यह द्विपद बंटन (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ परीक्षणों की संख्या $n = 3$ है।
सफलता को पासे पर $1$ या $6$ प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
द्विपद बंटन के लिए,प्रसरण का सूत्र $Var(X) = npq$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Var(X) = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है।
तब हेड न प्राप्त करने की प्रायिकता $1-p$ है।
व्यक्ति विषम संख्या के उछाल में खेल जीतता है यदि पहला हेड $1, 3, 5, \dots$ उछाल पर आता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है: $p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \dots = 3/4$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = p$ और $r = (1-p)^2$:
$\frac{p}{1-(1-p)^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{1-(1-2p+p^2)} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{2p-p^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{2-p} = \frac{3}{4}$
$4 = 6 - 3p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$.
यदि $5$ सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं,तो सभी $5$ सिक्कों पर हेड आने की प्रायिकता $p^5 = (2/3)^5 = 32/243$ है।

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
घटना $E$ में $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
घटना $F$ में $4$ से छोटी संख्याएँ हैं,इसलिए $F = \{1, 2, 3\}$.
अतः $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
प्रायिकता $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(B) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $p(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
$x$ का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $p(x)$ अधिकतम है,हम अनुपात $\frac{p(x)}{p(x-1)}$ की जाँच करते हैं।
$\frac{p(x)}{p(x-1)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x / x!}{e^{-\lambda} \lambda^{x-1} / (x-1)!} = \frac{\lambda}{x}$।
$p(x)$ के अधिकतम होने के लिए,हमें $\frac{p(x)}{p(x-1)} \geq 1$ और $\frac{p(x+1)}{p(x)} \leq 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $\frac{\lambda}{x} \geq 1 \implies x \leq \lambda$ और $\frac{\lambda}{x+1} \leq 1 \implies x+1 \geq \lambda$।
अतः,मोड $x$ शर्त $\lambda - 1 \leq x \leq \lambda$ को संतुष्ट करता है।
दिया गया है $\lambda = 3.725$,इसलिए $3.725 - 1 \leq x \leq 3.725$,जिसका अर्थ है $2.725 \leq x \leq 3.725$।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x$ का वह मान जो $p(x)$ को अधिकतम करता है,$3$ है।

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum P(X=x_i) = 1$.
$0.1 + 0.15 + 0.3 + 0.25 + k + k = 1$
$0.8 + 2k = 1 \implies 2k = 0.2 \implies k = 0.1$.
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ और $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$1$	$0.1$	$0.1$	$0.1$
$2$	$0.15$	$0.3$	$0.6$
$3$	$0.3$	$0.9$	$2.7$
$4$	$0.25$	$1.0$	$4.0$
$5$	$0.1$	$0.5$	$2.5$
$6$	$0.1$	$0.6$	$3.6$
कुल	$1.0$	$3.4$	$13.5$

प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 13.5 - (3.4)^2 = 13.5 - 11.56 = 1.94$.

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रसरण (variance) प्राचल $\lambda$ के बराबर होता है। दिया गया है कि प्रसरण $3$ है,इसलिए $\lambda = 3$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ द्वारा दिया जाता है।
पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता $P(X=r)$ अधिकतम होती है जब $r = \lfloor \lambda \rfloor$ यदि $\lambda$ एक पूर्णांक नहीं है,और यदि $\lambda$ एक पूर्णांक है तो यह $r = \lambda$ और $r = \lambda - 1$ पर दो अधिकतम मान लेती है।
यहाँ,$\lambda = 3$ है,जो एक पूर्णांक है।
इसलिए,$P(X=r)$ का मान $r = 3$ और $r = 3 - 1 = 2$ पर अधिकतम है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$r=2$ और $r=3$ दोनों मान्य हैं,लेकिन चूंकि विकल्पों में $r=2$ दिया गया है,इसलिए यह एक सही मान है।

(A) दिया गया है कि प्रयोग $n = 5$ बार किया जाता है। मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है। द्विपद वितरण का माध्य $np$ है और प्रसरण $npq$ है।
दिया गया है $np - npq = \frac{5}{9}$।
$n = 5$ रखने पर: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$।
चूँकि $1 - q = p$,हमें $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p = \frac{1}{3}$।
अतः,$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अधिकतम दो सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$।
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$।
$P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$।

(B) प्रति पृष्ठ त्रुटियों की संख्या पॉइसन वितरण का पालन करती है,जहाँ पैरामीटर $\lambda = \frac{60}{600} = 0.1$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{e^{-0.1} (0.1)^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि एक पृष्ठ पर अधिकतम दो त्रुटियाँ हों,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X=0) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^0}{0!} = e^{-0.1}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^1}{1!} = 0.1 e^{-0.1}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^2}{2!} = \frac{0.01}{2} e^{-0.1} = 0.005 e^{-0.1}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \le 2) = e^{-0.1} (1 + 0.1 + 0.005) = e^{-0.1} (1.105) = e^{-0.1} \left(\frac{1105}{1000}\right) = e^{-0.1} \left(\frac{221}{200}\right) = \frac{1}{e^{0.1}} \left(\frac{221}{200}\right)$.