TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) रेखाओं के समीकरण $L_1: x+y-1=0$ और $L_2: x-y+1=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $R(0,1)$ प्राप्त होता है।
माना $P$ बिंदु $(1,1)$ है।
$P(1,1)$ से $L_1$ पर लंब की लंबाई $PS = \frac{|1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P(1,1)$ से $L_2$ पर लंब की लंबाई $PQ = \frac{|1-1+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $PS = PQ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,और त्रिभुज $\triangle PSR$ और $\triangle PQR$ क्रमशः $S$ और $Q$ पर समकोण हैं,इसलिए वे सर्वांगसम हैं।
चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $\triangle PSR$ और $\triangle PQR$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $= PQ \times PS = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(C) $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$,$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ का रूपांतरित समीकरण है।
दिए गए रूपांतरण समीकरण:
$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}$ और $\beta=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} y$.
$\alpha$ और $\beta$ के पदों में $x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x=\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$ और $y=\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta$.
$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)^2+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)+5(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)^2-4=0$.
विस्तार और सरलीकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5 \alpha^2+4 \beta^2+\sqrt{3} \alpha \beta-4=0$.
इसकी तुलना $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ से करने पर,हमें $a=5, b=4, c=\sqrt{3}, d=-4$ प्राप्त होता है।
अतः,$c(a+b+d)=\sqrt{3}(5+4-4)=5 \sqrt{3}$.

(D) दी गई रेखा का समीकरण: $x + 2y + 1 = 0$.
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में बदलने पर:
$2y = -x - 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
अतः,$m = -\frac{1}{2}$ और $c = -\frac{1}{2}$.
अभिलंब रूप $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ में बदलने पर:
$x + 2y = -1$ को $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{5}}x + \frac{2}{\sqrt{5}}y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब रूप में $p > 0$ होना चाहिए,इसलिए $-1$ से गुणा करने पर: $-\frac{1}{\sqrt{5}}x - \frac{2}{\sqrt{5}}y = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = 2$.
अब,$\tan^{-1}(\tan \theta + m + c) = \tan^{-1}(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया है $A=(-5,-4)$ और रेखा $L$ की ढाल $\tan \theta$ है। रेखा का प्राचलिक रूप $x = -5 + r \cos \theta$ और $y = -4 + r \sin \theta$ है।
बिंदु $B$,$x+3y+2=0$ पर स्थित है,इसलिए $(-5+r_1 \cos \theta) + 3(-4+r_1 \sin \theta) + 2 = 0$.
$-5 + r_1 \cos \theta - 12 + 3r_1 \sin \theta + 2 = 0 \implies r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies AB = r_1 = \frac{15}{\cos \theta + 3 \sin \theta}$.
बिंदु $C$,$2x+y+4=0$ पर स्थित है,इसलिए $2(-5+r_2 \cos \theta) + (-4+r_2 \sin \theta) + 4 = 0$.
$-10 + 2r_2 \cos \theta - 4 + r_2 \sin \theta + 4 = 0 \implies r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies AC = r_2 = \frac{10}{2 \cos \theta + \sin \theta}$.
दिए गए समीकरण $\frac{100}{AC^2} - \frac{225}{AB^2} = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$ में मान रखने पर:
$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 - (\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$.
$(4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) - (\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) = 4(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$3 \cos^2 \theta - 8 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 4 \cos^2 \theta - 4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 0$.
$(2 \sin \theta + \cos \theta)^2 = 0 \implies 2 \sin \theta = -\cos \theta \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.

(C) माना रेखा की ढाल $m$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = m(x-1)$ है,जिसे $mx - y + (2-m) = 0$ लिखा जा सकता है।
इस रेखा और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$x + (mx + 2 - m) = 4$ $\Rightarrow x(1+m) = m+2$ $\Rightarrow x = \frac{m+2}{m+1}$.
अतः $y = 4 - x = \frac{3m+2}{m+1}$.
बिंदु $P(1, 2)$ और प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी $\frac{\sqrt{6}}{3}$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(\frac{m+2}{m+1} - 1)^2 + (\frac{3m+2}{m+1} - 2)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\frac{\sqrt{1+m^2}}{|m+1|} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{1+m^2}{(m+1)^2} = \frac{2}{3}$.
$3+3m^2 = 2m^2+4m+2 \Rightarrow m^2-4m+1 = 0$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = 2 \pm \sqrt{3}$.
$m = 2+\sqrt{3} = \tan(\frac{5\pi}{12})$ और $m = 2-\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{12})$.
अतः कोण $\frac{\pi}{12}$ और $\frac{5\pi}{12}$ हैं।

(A) दी गई रेखा $x+y-3=0$ की ढाल $m_1 = -1$ है। मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करने पर,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $\frac{m+1}{1-m} = \sqrt{3}$ या $\frac{m+1}{1-m} = -\sqrt{3}$.
स्थिति $1$: $m+1 = \sqrt{3} - \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1+\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2-\sqrt{3}$.
रेखा का समीकरण $y-1 = (2-\sqrt{3})(x-1)$ है।
स्थिति $2$: $m+1 = -\sqrt{3} + \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2+\sqrt{3}$.
रेखा का समीकरण $y-1 = (2+\sqrt{3})(x-1)$ है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है,$ABCD$ एक आयत है।
$AB$ की ढाल $= \frac{-2-1}{3-2} = -3 = m_1$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,$BC$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{3}$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{b - (-2)}{a - 3} = \frac{b+2}{a-3} = \frac{1}{3}$ है।
$3(b+2) = a-3$ $\Rightarrow 3b + 6 = a - 3$ $\Rightarrow a - 3b = 9$ ... $(i)$।
चूंकि $CD \parallel AB$,$CD$ की ढाल $m_3 = m_1 = -3$ है।
बिंदु $C(a, b)$ और $P(3, 4)$ रेखा $CD$ पर स्थित हैं।
$CP$ की ढाल $= \frac{4-b}{3-a} = -3$ है।
$4-b = -3(3-a)$ $\Rightarrow 4-b = -9 + 3a$ $\Rightarrow 3a + b = 13$ ... $(ii)$।
$(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9a + 3b = 39$ ... $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(a - 3b) + (9a + 3b) = 9 + 39$ $\Rightarrow 10a = 48$ $\Rightarrow a = 4.8 = \frac{24}{5}$।
$a = 4.8$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $3(4.8) + b = 13$ $\Rightarrow 14.4 + b = 13$ $\Rightarrow b = -1.4 = -\frac{7}{5}$।
अब,$5a + 10b = 5(\frac{24}{5}) + 10(-\frac{7}{5}) = 24 - 14 = 10$।

(D) माना आयत $ABCD$ है। रेखाएँ $AB: 3x + y - 4 = 0$,$BC: x - ay - 10 = 0$,और $CD: bx + 2y + 9 = 0$ हैं।
चूँकि $AB \parallel CD$,उनके ढाल समान होने चाहिए। $AB$ का ढाल $-3$ है। $CD$ का ढाल $-\frac{b}{2}$ है। अतः,$-\frac{b}{2} = -3 \Rightarrow b = 6$.
चूँकि $AB \perp BC$,उनके ढालों का गुणनफल $-1$ है। $BC$ का ढाल $\frac{1}{a}$ है। अतः,$(-3) \times (\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow a = 3$.
अब,$AB: 3x + y - 4 = 0$ और $CD: 6x + 2y + 9 = 0$,जिसे $3x + y + \frac{9}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समानांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $BC = \frac{|-4 - 9/2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{17/2}{\sqrt{10}} = \frac{17}{2\sqrt{10}}$ है।
रेखा $BC$ का समीकरण $x - 3y - 10 = 0$ है। भुजा $CD$,$AB$ के समानांतर है और $AD$,$BC$ के समानांतर है। दूरी $CD$,समानांतर रेखाओं $AD$ और $BC$ के बीच की दूरी है। चूँकि $AD$,$(1, 2)$ से होकर गुजरती है,दूरी $CD$,बिंदु $(1, 2)$ से रेखा $BC: x - 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$CD = \frac{|1 - 3(2) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 - 6 - 10|}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}}$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= BC \times CD = \frac{17}{2\sqrt{10}} \times \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{17 \times 15}{2 \times 10} = \frac{255}{20} = \frac{51}{4}$.

(C) दिए गए समीकरण $x^2-3|x|+2=0$ और $y^2-3y+2=0$ हैं।
$x^2-3|x|+2=0$ को हल करने पर: $(|x|-2)(|x|-1)=0$,अतः $|x|=2$ या $|x|=1$,जो $x=\pm 2, \pm 1$ देता है।
$y^2-3y+2=0$ को हल करने पर: $(y-2)(y-1)=0$,अतः $y=2, 1$।
ये रेखाएँ शीर्षों के साथ दो वर्ग बनाती हैं:
वर्ग $1$: $A(-1, 1), B(-1, 2), C(-2, 2), D(-2, 1)$।
वर्ग $2$: $A'(2, 1), B'(2, 2), C'(1, 2), D'(1, 1)$।
इन वर्गों के विकर्ण $x+y=k$ और $x-y=k$ जैसी रेखाएँ हैं।
इन विकर्णों द्वारा निर्मित वर्ग $ABCD$ के लिए,भुजाएँ अक्षों के समानांतर या $45^\circ$ पर हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,समीकरण $x+y=3$ और $x-y=-3$ ऐसी रेखाओं को दर्शाते हैं जो ऐसे वर्ग की भुजाएँ बना सकती हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4x + 3y + 2 = 0$ या $4x + 3y = -2$.
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में बदलने के लिए,$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ से विभाजित करें।
चूंकि $p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $-5$ से विभाजित करें: $\frac{-4}{5}x - \frac{3}{5}y = \frac{2}{5}$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{-4}{5}$,$\sin \alpha = \frac{-3}{5}$,और $p = \frac{2}{5}$.
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के लिए,$4x + 3y = -2$ को $\frac{x}{-2/4} + \frac{y}{-2/3} = 1$ के रूप में लिखें।
अतः,$a = \frac{-1}{2}$ और $b = \frac{-2}{3}$.
अब,$\frac{p \sec \alpha}{ab} = \frac{p}{ab \cos \alpha} = \frac{2/5}{(-1/2 \times -2/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{(1/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{-4/15} = \frac{2}{5} \times \frac{-15}{4} = \frac{-3}{2}$.

(A) $A(3,4)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली रेखा $L_1$ का समीकरण:
$y - 4 = 1(x - 3) \implies x - y + 1 = 0$.
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। रेखा $BC$ का समीकरण $2x - y + 4 = 0$ है,अतः इसकी ढाल $m_{BC} = 2$ है।
चूंकि $AB = AC$,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः,आधार के कोण बराबर हैं: $\angle B = \angle C$.
$AC$ (ढाल $m$) और $BC$ (ढाल $2$) के बीच का कोण,$AB$ (ढाल $1$) और $BC$ (ढाल $2$) के बीच के कोण के बराबर है।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right| = \left| \frac{1 - 2}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3}$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{1}{3} \implies m = 7$.
$2) \frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{1}{3} \implies m = 1$.
चूंकि $m = 1$ रेखा $L_1$ $(AB)$ को दर्शाता है,इसलिए $AC$ की ढाल $m = 7$ है।
$A(3,4)$ से गुजरने वाली और $7$ ढाल वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - 4 = 7(x - 3) \implies 7x - y - 17 = 0$.

(A) रेखाएँ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,और $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ बिंदु $A$ पर संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त के अनुसार सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} p & q & r \\ \sin \alpha & \cos \alpha & -r \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $p(0 - r \sin \alpha) - q(0 + r \cos \alpha) + r(-\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$
$-pr \sin \alpha - qr \cos \alpha - r = 0$
चूंकि $r \neq 0$,$-r$ से विभाजित करने पर: $p \sin \alpha + q \cos \alpha + 1 = 0 \Rightarrow p \sin \alpha + q \cos \alpha = -1$ (समीकरण $1$).
रेखाओं के बीच का कोण $\pi / 3$ है।
ढाल $m_1 = -p/q$ और $m_2 = -\tan \alpha$ हैं।
$\tan(\pi / 3) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{-p \cos \alpha + q \sin \alpha}{q \cos \alpha + p \sin \alpha} \right|$.
समीकरण $1$ का उपयोग करने पर,$q \cos \alpha + p \sin \alpha = -1$.
अतः,$| q \sin \alpha - p \cos \alpha | = \sqrt{3}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$p^2 + q^2 = 1 + 3 = 4$.

(D) रेखाओं $L_1: x-y-7=0$ और $L_2: x+y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(6, -1)$ है।
रेखा $L_1$ पर बिंदु $A(x_1, y_1)$ के लिए $PA=3\sqrt{2}$ के साथ,सममित रूप का उपयोग करने पर $A = (9, 2)$ प्राप्त होता है।
रेखा $L_2$ पर बिंदु $B(x_2, y_2)$ के लिए $PB=\sqrt{2}$ के साथ,सममित रूप का उपयोग करने पर $B = (5, 0)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ के साथ सदिश $\vec{OA} = (9, 2)$ और $\vec{OB} = (5, 0)$ हैं।
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{45}{\sqrt{85} \cdot 5} = \frac{9}{\sqrt{85}}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{\sqrt{85}}\right)$।

(C) बिंदु $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण प्राचल रूप में है: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$।
$\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें मिलता है: $\frac{x-3}{\sqrt{3}/2} = \frac{y-4}{1/2} = r$।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ $(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ है।
चूंकि $Q$ रेखा $12x + 5y + 10 = 0$ पर स्थित है,हम $Q$ के निर्देशांक इस समीकरण में रखते हैं:
$12(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$।
$36 + 6\sqrt{3}r + 20 + 2.5r + 10 = 0$।
$66 + (6\sqrt{3} + 2.5)r = 0$।
$66 + (\frac{12\sqrt{3} + 5}{2})r = 0$।
$r = -\frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$।
$PQ$ की लंबाई $|r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$ है।

(B) शीर्ष $O(0,0), A(-3,-1)$ और $B(-1,-3)$ हैं।
$OB$ की ढाल = $\frac{-3-0}{-1-0} = 3$ है।
रेखा $OB$ का समीकरण $y = 3x$ या $3x - y = 0$ है।
चूंकि $AD \perp OB$,$AD$ की ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
$A(-3,-1)$ से गुजरने वाली रेखा $AD$ का समीकरण $y + 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)$ है,जो $x + 3y + 6 = 0$ में सरल हो जाता है।
$OB$ $(y=3x)$ और $AD$ $(x+3y+6=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ ज्ञात करने के लिए:
$x + 3(3x) + 6 = 0$ $\Rightarrow 10x = -6$ $\Rightarrow x = -\frac{3}{5}$।
$y = 3(-\frac{3}{5}) = -\frac{9}{5}$। अतः,$D = (-\frac{3}{5}, -\frac{9}{5})$ है।
बिंदु $P, AD$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{3(-\frac{3}{5}) + 4(-3)}{3+4}, \frac{3(-\frac{9}{5}) + 4(-1)}{3+4} \right) = \left( \frac{-\frac{9}{5} - 12}{7}, \frac{-\frac{27}{5} - 4}{7} \right) = \left( \frac{-69}{35}, \frac{-47}{35} \right)$ है।
रेखा $L, OB$ $(y=3x)$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = 3x + k$ है।
चूंकि $L, P(-\frac{69}{35}, -\frac{47}{35})$ से गुजरती है:
$-\frac{47}{35} = 3(-\frac{69}{35}) + k \Rightarrow k = \frac{-47 + 207}{35} = \frac{160}{35} = \frac{32}{7}$ है।
समीकरण $L: y = 3x + \frac{32}{7}$ $\Rightarrow 7y = 21x + 32$ $\Rightarrow 21x - 7y + 32 = 0$।

(C) बिंदु $(4,1)$ निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $x-y=0$ में परावर्तन: रेखा $y=x$ (या $x-y=0$) में बिंदु $(x,y)$ का परावर्तन $(y,x)$ होता है। अतः,बिंदु $(4,1)$ का परावर्तन $(1,4)$ होगा।
(ii) धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में $2$ इकाई का स्थानांतरण: $x$-निर्देशांक में $2$ जोड़ने पर,हमें $(1+2, 4) = (3,4)$ प्राप्त होता है।
(iii) $X$-अक्ष पर प्रक्षेप: $X$-अक्ष पर बिंदु $(x,y)$ का प्रक्षेप $(x,0)$ होता है। अतः,बिंदु $(3,4)$ का प्रक्षेप $(3,0)$ होगा।
अतः,अंतिम निर्देशांक $(3,0)$ हैं।

(D) $x+2y-19=0$ और $x-2y-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं के निकाय का समीकरण $(x+2y-19) + \lambda(x-2y-3) = 0$ है।
यह $(1+\lambda)x + (2-2\lambda)y - (19+3\lambda) = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(-2,4)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $5$ इकाई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$5 = \frac{|(1+\lambda)(-2) + (2-2\lambda)(4) - (19+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-2\lambda)^2}}$.
$5 = \frac{|-13\lambda - 13|}{\sqrt{5\lambda^2-6\lambda+5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25(5\lambda^2-6\lambda+5) = (-13\lambda-13)^2$.
$125\lambda^2 - 150\lambda + 125 = 169\lambda^2 + 338\lambda + 169$.
$44\lambda^2 + 488\lambda + 44 = 0 \Rightarrow 11\lambda^2 + 122\lambda + 11 = 0$.
$(11\lambda+1)(\lambda+11) = 0$,अतः $\lambda = -1/11$ या $\lambda = -11$.
$\lambda = -1/11$ के लिए: $5x+12y-103=0$. यहाँ $b=12, c=-103$,अतः $5+b+c = -86$.
$\lambda = -11$ के लिए: $5x-12y-7=0$. यहाँ $b=-12, c=-7$,अतः $5+b+c = -14$.

(B) दी गई रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $3x - 4y - 3.5 = 0$।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास $(d)$ है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$।

(C) माना बिंदु $P(3, -1)$ है और रेखा $L: 2x + y - 1 = 0$ है। रेखा $L$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का प्रतिबिंब $P'(x', y')$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - (-1)}{1} = -2 \frac{2(3) + 1(-1) - 1}{2^2 + 1^2}$
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' + 1}{1} = -2 \frac{4}{5} = -\frac{8}{5}$
अतः,$x' = 3 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$
और $y' = -1 - \frac{8}{5} = -\frac{13}{5}$
प्रतिबिंब $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ है।
$A(2, 1)$ और $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ के बीच की दूरी:
$D = \sqrt{(\frac{11}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{\frac{121 + 324}{25}} = \sqrt{\frac{445}{25}} = \sqrt{\frac{89}{5}}$

(B) माना $L_1(x, y) = x+2y-5$ और $L_2(x, y) = 3x-y+1$ है। मूल बिंदु $O(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5 < 0$ और $L_2(0,0) = 1 > 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(K^2, K+1)$ के मूल बिंदु वाले समान क्षेत्र में स्थित होने के लिए,इसे $L_1(K^2, K+1) < 0$ और $L_2(K^2, K+1) > 0$ शर्तों को पूरा करना होगा।
$1$) $L_1(K^2, K+1) = K^2 + 2(K+1) - 5 = K^2 + 2K - 3 < 0$.
$(K+3)(K-1) < 0 \implies K \in (-3, 1)$.
$2$) $L_2(K^2, K+1) = 3K^2 - (K+1) + 1 = 3K^2 - K > 0$.
$K(3K-1) > 0 \implies K \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $K \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$.
चूंकि $K$ एक पूर्णांक है,$K$ के संभावित मान $\{-2, -1\}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ बिंदु $P$ संभव हैं।

(D) रेखाओं के परिवार का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
दी गई शर्त $2a + 3b = 4c$ से,हम इसे $a(\frac{1}{2}) + b(\frac{3}{4}) + c = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,संगामी बिंदु $P$ $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ प्राप्त होता है।
$P(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ से रेखा $x + y + 1 = 0$ पर लंब के पाद $(h, k)$ के लिए:
$\frac{h - 1/2}{1} = \frac{k - 3/4}{1} = -\frac{1/2 + 3/4 + 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{9/4}{2} = -\frac{9}{8}$.
$h = \frac{1}{2} - \frac{9}{8} = -\frac{5}{8}$ और $k = \frac{3}{4} - \frac{9}{8} = -\frac{3}{8}$.
अतः,लंब का पाद $(-\frac{5}{8}, -\frac{3}{8})$ है।

(A) यह दिया गया है कि रेखाएँ $x+3y-9=0$,$4x+5y-1=0$,और $px+qy+10=0$ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -9 \\ 4 & 5 & -1 \\ p & q & 10 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(50 + q) - 3(40 + p) - 9(4q - 5p) = 0$
$50 + q - 120 - 3p - 36q + 45p = 0$
$42p - 35q - 70 = 0$
$7$ से विभाजित करने पर:
$6p - 5q - 10 = 0$
$\Rightarrow 6p - 5q = 10$
रेखा $5x + 6y + 10 = 0$ बिंदु $(q, -p)$ से होकर गुजरती है यदि $5(q) + 6(-p) + 10 = 0$ हो,जो $5q - 6p + 10 = 0$ या $6p - 5q = 10$ में सरल हो जाता है।
यह हमारी प्राप्त शर्त से मेल खाता है। अतः,रेखा $(q, -p)$ से होकर गुजरती है।

(A) समद्विबाहु त्रिभुज की तीसरी भुजा दो समान भुजाओं के कोण समद्विभाजक के लंबवत होती है।
दी गई रेखाएँ $7x-y+3=0$ और $x+y-3=0$ हैं।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{7x-y+3}{\sqrt{50}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$ है।
इसे हल करने पर $x-3y+9=0$ और $3x+y-3=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि तीसरी भुजा इन समद्विभाजकों के लंबवत है,इसका समीकरण $3x+y+k=0$ या $x-3y+k=0$ के रूप में होगा।
बिंदु $(2,-5)$ से गुजरने वाली रेखा के लिए,$x-3y=17$ प्राप्त होता है।

(B) माना $R(h, k)$,$OM$ का मध्य-बिंदु है। माना $M$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं।
चूंकि $R$,$OM$ का मध्य-बिंदु है,हमारे पास $\left(\frac{0+\alpha}{2}, \frac{0+\beta}{2}\right) = (h, k)$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = 2h$ और $\beta = 2k$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $(2h, 2k)$ हैं।
$OM$ की ढाल $m_1 = \frac{2k-0}{2h-0} = \frac{k}{h}$ है।
रेखा $MQ$ (जो रेखा $L$ है) की ढाल $m_2 = \frac{2k-b}{2h-a}$ है।
चूंकि $OM \perp MQ$,उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है:
$\frac{k}{h} \times \frac{2k-b}{2h-a} = -1$
$k(2k-b) = -h(2h-a)$
$2k^2 - bk = -2h^2 + ah$
$2h^2 + 2k^2 - ah - bk = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $2x^2 + 2y^2 - ax - by = 0$ है।

(D) माना दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 4y - 5 = 0$ और $L_2: 4x - 3y - 15 = 0$ हैं। ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ और $m_2 = \frac{4}{3}$ हैं।
चूँकि $m_1 \times m_2 = -1$,रेखाएँ लंबवत हैं।
माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ है। इसका समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ या $mx - y + (2 - m) = 0$ है।
चूँकि $AB = AC$,रेखा $BC$ को $L_1$ और $L_2$ के साथ समान कोण बनाना चाहिए। चूँकि $L_1 \perp L_2$,रेखा $BC$ दोनों रेखाओं के साथ $45^\circ$ का कोण बनाएगी।
ढाल $m$ वाली रेखा और $L_1$ के बीच का कोण $\tan 45^\circ = |\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\frac{4m + 3}{4 - 3m}| = 1$.
स्थिति $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
समीकरण $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = x - 1$ $\Rightarrow x - 7y + 13 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
समीकरण $y - 2 = -7(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + y = 9$ है।
अतः,रेखाएँ $7x + y = 9$ और $x - 7y + 13 = 0$ हैं।

(B) दी गई रेखा $L$ का समीकरण $x-y=0$ है।
चर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x-y=0$ तक की दूरी $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\right|$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$,या $(\alpha-\beta)^2 = 2b^2$ $\ldots(i)$।
$P(\alpha, \beta)$ और $A(2,1)$ के बीच की दूरी $a^2 = (\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2$ $\ldots(ii)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $A(2,1)$ की दूरी $c = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ है,इसलिए $c^2 = 5$।
दी गई शर्त $a = bc$ के अनुसार,$a^2 = b^2c^2 = 5b^2$ $\ldots(iii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर,$(\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2 = 5 \times \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$2(\alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2 - 2\beta + 1) = 5(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta)$।
$2\alpha^2 - 8\alpha + 8 + 2\beta^2 - 4\beta + 2 = 5\alpha^2 + 5\beta^2 - 10\alpha\beta$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\alpha^2 + 3\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 4\beta - 10 = 0$।
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $3x^2 + 3y^2 - 10xy + 8x + 4y - 10 = 0$ है।

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार है कि दो बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ के लिए $PA+PB=3$ है।
$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+135=0$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $1/a$ हैं,जहाँ $a \neq 0$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{1/a} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{a} + ay = 1$ हो जाता है।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $x + a^2y = a$ या $a^2y - a + x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $a$ में द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-1)^2 - 4(y)(x) \geq 0$ है।
$1 - 4xy \geq 0 \Rightarrow 4xy \leq 1$।
एक चर रेखा के लिए,रेखा पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ को $4xy < 1$ को संतुष्ट करना चाहिए (सीमा स्थिति को छोड़कर जहाँ रेखा स्थिर है)।

(A) दिए गए शीर्ष $A=(2,3)$ और $B=(3,-5)$ हैं। मान लीजिए $C=(x, y)$ है।
मान लीजिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{2+3+x}{3} = \frac{5+x}{3} \Rightarrow x = 3h - 5$
$k = \frac{3-5+y}{3} = \frac{y-2}{3} \Rightarrow y = 3k + 2$
चूँकि $C(x, y)$ रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3h - 5) + 4(3k + 2) - 5 = 0$
$9h - 15 + 12k + 8 - 5 = 0$
$9h + 12k - 12 = 0$
$3$ से भाग देने पर,हमें $3h + 4k - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रक $(x, y)$ का बिंदुपथ $3x + 4y - 4 = 0$ है।
इस रेखा की तुलना दी गई रेखा $L \equiv 3x + 4y - 5 = 0$ से करने पर,हम देखते हैं कि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,जिसका अर्थ है कि रेखाएँ समांतर हैं।
इसलिए,बिंदुपथ $L=0$ के समांतर है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2-xy-6x^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$
$2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$
$(y-2x)(2y+3x)=0$
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $x+y=1$,$y-2x=0$ और $2y+3x=0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $x+y=1$ और $y-2x=0$: $y=2x$ को $x+y=1$ में रखने पर $3x=1$,अतः $x=1/3$ और $y=2/3$। शीर्ष: $(1/3, 2/3)$।
$2$. $x+y=1$ और $2y+3x=0$: $y=1-x$ को $2y+3x=0$ में रखने पर $2(1-x)+3x=0$,अतः $2+x=0$,$x=-2$ और $y=3$। शीर्ष: $(-2, 3)$।
$3$. $y-2x=0$ और $2y+3x=0$: मूल बिंदु $(0,0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है। शीर्ष: $(0,0)$।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$।
$G = \left(\frac{1/3+0-2}{3}, \frac{2/3+0+3}{3}\right) = \left(\frac{-5/3}{3}, \frac{11/3}{3}\right) = \left(\frac{-5}{9}, \frac{11}{9}\right)$.

(D) दिया गया समीकरण $(7 x^2-4 x y+8 y^2)^2+(4 x-8 y-32)(7 x^2-4 x y+8 y^2)=0$ है।
$(7 x^2-4 x y+8 y^2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(7 x^2-4 x y+8 y^2)(7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32)=0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि या तो $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ या $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ है।
पहला भाग $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। चूँकि विविक्तकर $B^2-4AC = (-4)^2 - 4(7)(8) = 16 - 224 = -208 < 0$ है,इसलिए ये रेखाएँ काल्पनिक हैं।
दूसरा भाग $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ भी काल्पनिक रेखाओं को दर्शाता है। चूँकि समांतर चतुर्भुज बनाने वाली रेखाएँ वास्तविक नहीं हैं,इसलिए प्रश्न के अनुसार कोई वास्तविक समांतर चतुर्भुज नहीं बनता है। अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) मूल बिंदु $O(0,0)$ को प्रतिच्छेदन बिंदुओं $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा $x + y = \lambda$ का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाकर प्राप्त किया जाता है।
समीकरण: $(\lambda^2 - 2\lambda + 2)x^2 + (-6\lambda + 4)xy + (\lambda^2 - 4\lambda + 2)y^2 = 0$
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(\lambda^2 - 2\lambda + 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$
$2\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 1, 2$.
रेखाएं $x + y - 1 = 0$ और $x + y - 2 = 0$ हैं।
इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|-1 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) $\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $2x^2-y^2=0$ और $x+y-1=0$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$,$(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$,और $(-\sqrt{2}-1, 2+\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
केंद्रक $G = (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ है।
$\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $2x^2-5xy+2y^2=0$ और $7x-2y-12=0$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$,$(4,8)$,और $(2,1)$ प्राप्त होते हैं।
लंबकेंद्र $H$ और $G$ के बीच की दूरी $2\sqrt{29}$ है।

(B) भुजाओं $OA$ और $OC$ का संयुक्त समीकरण $2x^2-y^2=0$ है,जिसका अर्थ है $y^2=2x^2$,या $y=\pm\sqrt{2}x$.
चूंकि $A$ और $C$ रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित हैं,हम $y=\sqrt{2}x$ और $y=-\sqrt{2}x$ को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करके उनके निर्देशांक प्राप्त करते हैं।
$A$ के लिए: $x+\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. अतः $A=(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$.
$C$ के लिए: $x-\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-(1+\sqrt{2})$. अतः $C=(-1-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$.
$D$,$AC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $D=\left(\frac{\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}}{2}, \frac{2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}}{2}\right) = (-1, 2)$.
चूंकि $OABC$ एक समांतर चतुर्भुज है,विकर्ण $OB$ और $AC$ एक-दूसरे को $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए $D$,$OB$ का मध्यबिंदु है। चूंकि $O=(0,0)$,$B=2D=(-2, 4)$.
$\triangle OAC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{0+(\sqrt{2}-1)+(-1-\sqrt{2})}{3}, \frac{0+(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
दूरी $BG = \sqrt{(-2 - (-2/3))^2 + (4 - 4/3)^2} = \sqrt{(-4/3)^2 + (8/3)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) माना रेखा का समीकरण $y = m(x-1)$ है,जिसका अर्थ है $\frac{mx-y}{m} = 1$.
दिया गया वक्र समीकरण $2x^2 + 5y^2 - 7x = 0$ ... $(i)$.
मूल बिंदु और बिंदुओं $A$ तथा $B$ से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को खोजने के लिए समघातीकरण (homogenization) विधि का उपयोग करते हुए:
$2x^2 + 5y^2 - 7x(1) = 0$
$1 = \frac{mx-y}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 + 5y^2 - 7x\left(\frac{mx-y}{m}\right) = 0$
$m$ से गुणा करने पर:
$2mx^2 + 5my^2 - 7mx^2 + 7xy = 0$
$-5mx^2 + 7xy + 5my^2 = 0$.
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $a = -5m$,$2h = 7$,और $b = 5m$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
यहाँ,$a + b = -5m + 5m = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,मूल बिंदु पर रेखाखंड $AB$ द्वारा अंतरित कोण $90^\circ$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(\tan ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha) x^2 - (2 \tan \alpha) xy + (\sin ^2 \alpha) y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(\sin ^2 \alpha) m^2 - (2 \tan \alpha) m + (\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ $m = y/x$ है।
माना $m_1$ और $m_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha}$ और $m_1 m_2 = \frac{\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \cot^2 \alpha$ है।
ढाल का अंतर $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ है।
गणना करने पर,$|m_1 - m_2| = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण $4x^2+6xy+ky^2=0$ $(i)$ और $3x^2-5xy+2y^2=0$ (ii) हैं।
(ii) द्वारा निरूपित रेखाएं $3x^2-3xy-2xy+2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-2y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-2y)(x-y)=0$ हैं।
अतः,रेखाएं $y=x$ और $y=\frac{3}{2}x$ हैं।
यदि रेखा $y=mx$,रेखा $y=m_1x$ के लंबवत है,तो $m = -\frac{1}{m_1}$।
स्थिति $1$: रेखा $y=x$,$(i)$ की एक रेखा के लंबवत है। तो रेखा $y=-x$ को $(i)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$(i)$ में $y=-x$ रखने पर: $4x^2+6x(-x)+k(-x)^2=0$ $\Rightarrow 4-6+k=0$ $\Rightarrow k=2$।
स्थिति $2$: रेखा $y=\frac{3}{2}x$,$(i)$ की एक रेखा के लंबवत है। तो रेखा $y=-\frac{2}{3}x$ को $(i)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$(i)$ में $y=-\frac{2}{3}x$ रखने पर: $4x^2+6x(-\frac{2}{3}x)+k(-\frac{2}{3}x)^2=0$ $\Rightarrow 4-4+\frac{4k}{9}=0$ $\Rightarrow k=0$।
$k$ के संभावित मान $2$ और $0$ हैं।
अंतर का निरपेक्ष मान $|2-0|=2$ है।
अंतर का दोगुना $2 \times 2 = 4$ है।

(C) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण $k x^2+8 x y-3 y^2+2 x-4 y-1=0$ है।
इसके रेखा युग्म होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & -3 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$k(3-4) - 4(-4+2) + 1(-8+3) = 0$
$-k + 8 - 5 = 0 \Rightarrow k = 3$.
$x+y=1$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाने पर:
$3 x^2+8 x y-3 y^2+(2 x-4 y)(x+y) - (x+y)^2 = 0$
$4 x^2+4 x y-8 y^2 = 0 \Rightarrow x^2+x y-2 y^2 = 0$.
यहाँ $A=1, H=1/2, B=-2$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{A+B} \right|$:
$\tan \theta = 3$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ या $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$।

(D) वक्रों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2+gx+c=0$ $(i)$
$x^2+y^2+2fy-c=0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,रेखाओं के समकोण पर होने की शर्त $g^2+4f^2=8c$ प्राप्त होती है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(2y - x - 3)(y - 2x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $2y - x - 3 = 0$ और $y - 2x = 0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $y = 2x$,इसलिए $2(2x) - x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है,इसलिए $\alpha = 1$.
कथन (ii) के लिए,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $y - 2x = 0$ है,जिसकी ढाल $m = 2$ है। अतः $\beta = 2$.
कथन (iii) के लिए,कोणीय द्विभाजक $\frac{2y - x - 3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{y - 2x}{\sqrt{5}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $2y - x - 3 = \pm(y - 2x)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $x + y - 3 = 0$.
स्थिति $2$: $x - y + 1 = 0$.
अचर पद $-3$ और $1$ हैं। मानक रूप लेने पर,$\gamma = -3$.
मानों की तुलना करने पर: $\gamma = -3, \alpha = 1, \beta = 2$.
इसलिए,$\gamma < \alpha < \beta$.

(D) रेखाओं का युग्म $S = 3x^2 - 2kxy + y^2 = 0$ है। रेखा $L = 2x - y - 6 = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = 2x - 6$.
$S=0$ में $y$ का मान रखने पर,$3x^2 - 2kx(2x - 6) + (2x - 6)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $(7 - 4k)x^2 + 12(k - 2)x + 36 = 0$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं। मूल बिंदु $C(0, 0)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = 36$,जिसका अर्थ है $|x_1x_2| |m_1 - m_2| = 72$.
द्विघात समीकरण से,$x_1x_2 = \frac{36}{7 - 4k}$.
साथ ही,$S = ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|} = 2\sqrt{k^2 - 3}$.
क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखने पर: $|\frac{36}{7 - 4k}| \cdot 2\sqrt{k^2 - 3} = 72 \Rightarrow |\sqrt{k^2 - 3}| = |7 - 4k|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2 - 3 = (7 - 4k)^2 = 49 + 16k^2 - 56k$.
$15k^2 - 56k + 52 = 0 \Rightarrow (k - 2)(15k - 26) = 0$.
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k = 2$.
$k = 2$ के लिए,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{k^2 - 3}}{a + b} = \frac{2\sqrt{4 - 3}}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x+y-2=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए:
समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y+1) + (x+y-2) = 2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$.
$x=\frac{1}{2}$ को $x+y-2=0$ में रखने पर,$y=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
$\alpha$ मूल बिंदु $(0,0)$ से $P$ तक की दूरी का वर्ग है:
$\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$\beta$ मूल बिंदु से $L_1$ और $L_2$ पर लंबवत दूरियों का गुणनफल है:
$d_1 = \frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d_2 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\beta = d_1 \times d_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$.
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$.

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $h^2 - ab \geq 0$ हो।
दिए गए समीकरण $(2l-3)x^2 + 2lxy - y^2 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = (2l-3)$,$h = l$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $h^2 - ab \geq 0$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 - (2l-3)(-1) \geq 0$ प्राप्त होता है।
$l^2 + (2l-3) \geq 0$
$l^2 + 2l - 3 \geq 0$
$(l+3)(l-1) \geq 0$।
इस असमिका को हल करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक $l \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$ के लिए अऋणात्मक है,जिसे $l \in R - (-3, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $8x^2 - 14xy + 5y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x - y)(4x - 5y) = 0$।
अतः,दो रेखाएँ $L_2: 2x - y = 0$ और $L_3: 4x - 5y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_1: x - 2y + 3 = 0$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $A(0, 0)$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(5, 4)$ है और $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(1, 2)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(p, q) = (\frac{0+1+5}{3}, \frac{0+2+4}{3}) = (2, 2)$ है।
अतः $p = q$।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-2y+k=0$ और $C_2: x^2+y^2+4x+6y+4=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $c_1(1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2-k}$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $c_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = c_1c_2 = r_1+r_2$ होगी।
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = 5$।
अतः,$5 = \sqrt{2-k} + 3 \Rightarrow k = -2$।
स्पर्श बिंदु $P$,केंद्रों $c_1$ और $c_2$ को जोड़ने वाली रेखा को $r_1:r_2 = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left(\frac{2(-2) + 3(1)}{5}, \frac{2(-3) + 3(1)}{5}\right) = \left(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right)$।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x+6y+13-a^2=0$ और $x^2+y^2-10x-2y+17=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = |a|$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (5, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = 5$ है।
दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
मान रखने पर,$||a| - 3| < 5 < |a| + 3$ प्राप्त होता है।
$5 < |a| + 3$ से $|a| > 2$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
$||a| - 3| < 5$ से $-2 < |a| < 8$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a \in (-8, 8)$।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,$a \in (-8, -2) \cup (2, 8)$।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। दिए गए $Q(0,2)$ और $R(-1,0)$ के लिए,शर्त $PQ = \frac{1}{\sqrt{2}} PR$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2(PQ)^2 = (PR)^2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक रखने पर,$2(x^2 + (y-2)^2) = (x+1)^2 + y^2$।
पदों का विस्तार करने पर: $2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$।
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + 2x + 1 + y^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$।
यह एक वृत्त का समीकरण है।
केंद्र $(-\frac{-2}{2}, -\frac{-8}{2}) = (1, 4)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 4^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ है।
अतः,बिंदुपथ $(1, 4)$ केंद्र और $\sqrt{10}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) वृत्त बिंदुओं $A(3,4)$,$B(3,2)$ और $C(1,4)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड $(x=3)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड $(y=4)$ है,इसलिए $A(3,4)$ पर कोण $90^\circ$ है।
अतः,$BC$ वृत्त का व्यास है।
$BC$ का मध्यबिंदु केंद्र $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$ केंद्र $(2, 3)$ से $(3, 4)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ और $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ हैं।
$x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$ और $r = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(B) $(1,1), (2,-1),$ और $(3,2)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है:
$\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \\ 13 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक को सरल करने पर:
$x^2+y^2-5x-y+4 = 0$
विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं को जाँचने पर,वे वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(C) त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण $2x+3y=10$,$y=x$ और $y=0$ ($X$-अक्ष) हैं।
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $y=x$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $x=0, y=0$. अतः,$B(0,0)$.
$2$. $2x+3y=10$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $2x=10 \Rightarrow x=5$. अतः,$C(5,0)$.
$3$. $2x+3y=10$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन: $2x+3x=10$ $\Rightarrow 5x=10$ $\Rightarrow x=2, y=2$. अतः,$A(2,2)$.
माना परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c=0$.
चूंकि यह $(5,0)$ से गुजरता है,$25+10g=0 \Rightarrow g=\frac{-5}{2}$.
चूंकि यह $(2,2)$ से गुजरता है,$8+4g+4f=0$.
$g=\frac{-5}{2}$ रखने पर: $8+4(\frac{-5}{2})+4f=0$ $\Rightarrow 8-10+4f=0$ $\Rightarrow 4f=2$ $\Rightarrow f=\frac{1}{2}$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, \frac{-1}{2})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-0} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{2}}$.

(D) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$.
तब $u' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \int (2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
अब,$\int x^3 \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}] + K = x^4 [\frac{1}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{8} \log x + \frac{1}{32}] + K$.
$x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C]$ से तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{8}$,और $C = \frac{1}{32}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{8 - 4 + 1}{32} = \frac{5}{32}$.

(A) माना $I = \int x^2 \cdot \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$ लें।
तब $du = 2x dx$ और $v = \int \frac{d(x \tan x)}{(x \tan x+1)^2} = -\frac{1}{x \tan x+1}$.
अतः,$I = x^2 \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) - \int 2x \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x}{x \tan x+1} dx$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$.
माना $t = x \sin x + \cos x$,तो $dt = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{dt}{t} = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \log|x \sin x + \cos x| + C$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = 2$,$B = -1$,और $f(x) = x^2$.
अतः,$f(A+B) = f(2-1) = f(1) = (1)^2 = 1$.

(A) दिया गया है,$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^n$ और $dv = x^m \, dx$.
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^{m+1}}{m+1}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_{m, n} = (\log x)^n \cdot \frac{x^{m+1}}{m+1} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$.
चूंकि $I_{m, n-1} = \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$.

(D) माना $I = \int x[\log (1+x)]^3 dx$.
$\log (1+x) = t$ रखने पर,$1+x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int (e^t - 1) t^3 e^t dt = \int (e^{2t} t^3 - e^t t^3) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int e^{at} t^n dt = \frac{e^{at}}{a} [t^n - \frac{n t^{n-1}}{a} + \frac{n(n-1) t^{n-2}}{a^2} - \dots]$.
$I = \frac{e^{2t}}{2} [t^3 - \frac{3t^2}{2} + \frac{6t}{4} - \frac{6}{8}] - e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$e^t = 1+x$ और $t = \log (1+x)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{(1+x)^2}{16} [8t^3 - 12t^2 + 12t - 6] - (1+x) [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$\frac{(1+x)^2}{16} f(x) + (1+x) g(x)$ से तुलना करने पर,$f(x) = 8t^3 - 12t^2 + 12t - 6$ और $g(x) = -t^3 + 3t^2 - 6t + 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) + g(x) = 7t^3 - 9t^2 + 6t + C = 7(\log (1+x))^3 - 9(\log (1+x))^2 + 6 \log (1+x) + C$.

(D) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$.
माना $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$.
तब $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8} = \frac{(x-1) - 4(x-4)}{(x-1)^5} = \frac{x-1-4x+16}{(x-1)^5} = \frac{-3x+15}{(x-1)^5} = \frac{-3(x-5)}{(x-1)^5}$.
अब,समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx$ पर विचार करें।
हम अंश को $x^2-8x+19 = (x-4)(x-1) - 3(x-5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int e^x \left( \frac{x-4}{(x-1)^4} - \frac{3(x-5)}{(x-1)^5} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = \frac{e^x(x-4)}{(x-1)^4} + C$.
इसकी तुलना $\frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ से करने पर,हमें $l=1$ और $m=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$4l+m = 4(1) + (-4) = 4-4 = 0$.

(A) हमारे पास है,$\int \frac{9x+15}{x^3-6x-9} dx = A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$.
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^3-6x-9 = (x-3)(x^2+3x+3)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{9x+15}{(x-3)(x^2+3x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+D}{x^2+3x+3}$.
$9x+15 = A(x^2+3x+3) + (Bx+D)(x-3)$.
$x=3$ के लिए: $9(3)+15 = A(9+9+3) \Rightarrow 42 = 21A \Rightarrow A=2$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B=0 \Rightarrow B=-2$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $3A-3D=15 \Rightarrow 3(2)-3D=15 \Rightarrow 6-3D=15 \Rightarrow -3D=9 \Rightarrow D=-3$.
अतः,$\int \frac{2}{x-3} dx - \int \frac{2x+3}{x^2+3x+3} dx = 2 \log |x-3| - \log |x^2+3x+3| + C$.
$A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=2, g(x)=x-3, B=-1, f(x)=x^2+3x+3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{(A-B)g(4)}{f(-1)} = \frac{(2 - (-1))(4-3)}{(-1)^2 + 3(-1) + 3} = \frac{3(1)}{1-3+3} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) दिया गया है $f\left(\frac{2 x+3}{3 x+5}\right)=x+4$. मान लीजिए $y = \frac{2 x+3}{3 x+5}$.
तब $y(3x+5) = 2x+3 \Rightarrow 3xy + 5y = 2x+3 \Rightarrow x(3y-2) = 3-5y \Rightarrow x = \frac{3-5y}{3y-2}$.
$f(y) = x+4$ में $x$ का मान रखने पर,$f(y) = \frac{3-5y}{3y-2} + 4 = \frac{3-5y + 12y - 8}{3y-2} = \frac{7y-5}{3y-2}$.
अतः,$f(x) = \frac{7x-5}{3x-2}$.
अब,$\int f(x) dx = \int \frac{7x-5}{3x-2} dx = \int \frac{\frac{7}{3}(3x-2) - 5 + \frac{14}{3}}{3x-2} dx = \int \left( \frac{7}{3} - \frac{1/3}{3x-2} \right) dx$.
$= \frac{7}{3}x - \frac{1}{9} \ln |3x-2| + C$.
$Ax + B \ln |3x-2| + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{7}{3}$ और $B = -\frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$3B - A = 3(-\frac{1}{9}) - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{8}{3}$.

(A) हमें $I = \int e^{-3x}(x^2 + \sin 4x) dx = \int x^2 e^{-3x} dx + \int e^{-3x} \sin 4x dx$ का मूल्यांकन करना है।
पहले भाग के लिए,$u = x^2$ और $dv = e^{-3x} dx$ के साथ खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$\int x^2 e^{-3x} dx = x^2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int x e^{-3x} dx = x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 1 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x}{3} e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}$.
अतः,$\int x^2 e^{-3x} dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x}$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx)$ का उपयोग करते हुए:
$\int e^{-3x} \sin 4x dx = \frac{e^{-3x}}{(-3)^2 + 4^2} (-3 \sin 4x - 4 \cos 4x) = -\frac{e^{-3x}}{25} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = -e^{-3x} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} + \frac{3}{25} \sin 4x + \frac{4}{25} \cos 4x \right) + C$.

(B) दिया गया है कि $I_n = \int \sec^n x \, dx$ है।
$f(x) = 5 I_6 - 4 I_4 = 5 \int \sec^6 x \, dx - 4 \int \sec^4 x \, dx$ है।
$f(x) = \int (5 \sec^4 x \cdot \sec^2 x - 4 \sec^2 x \cdot \sec^2 x) \, dx$ है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \int \{5(1 + \tan^2 x)^2 - 4(1 + \tan^2 x)\} \sec^2 x \, dx$ है।
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$ है।
$f(x) = \int \{5(1 + u^2)^2 - 4(1 + u^2)\} \, du$ है।
$f(x) = \int \{5(1 + u^4 + 2u^2) - 4 - 4u^2\} \, du$ है।
$f(x) = \int (5 + 5u^4 + 10u^2 - 4 - 4u^2) \, du = \int (5u^4 + 6u^2 + 1) \, du$ है।
$f(x) = u^5 + 2u^3 + u = \tan^5 x + 2 \tan^3 x + \tan x$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ है।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^5 + 2(1)^3 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$।

(B) माना $I = \int(3x+2) \sqrt{2x^2+3x+4} dx$.
हम $3x+2 = \lambda(4x+3) + \mu$ लिखते हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर: $3 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$ और $2 = 3\lambda + \mu \Rightarrow \mu = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$I = \frac{3}{4} \int(4x+3) \sqrt{2x^2+3x+4} dx - \frac{1}{4} \int \sqrt{2x^2+3x+4} dx$.
पहला भाग $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} (2x^2+3x+4)^{3/2} = \frac{1}{2} (2x^2+3x+4)^{3/2}$ है।
दूसरा भाग $-\frac{\sqrt{2}}{4} \int \sqrt{x^2 + \frac{3}{2}x + 2} dx = -\frac{\sqrt{2}}{4} \int \sqrt{(x+\frac{3}{4})^2 + \frac{23}{16}} dx$ है।
सूत्र $\int \sqrt{t^2+a^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \sinh^{-1}(\frac{t}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4)^{3/2} - \frac{\sqrt{2}}{4} [\frac{x+3/4}{2}\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} + \frac{23/16}{2} \sinh^{-1}(\frac{x+3/4}{\sqrt{23}/4})] + C$.
सरल करने पर,$I = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4)^{3/2} - \frac{1}{32}(4x+3)\sqrt{2x^2+3x+4} - \frac{23}{64\sqrt{2}} \sinh^{-1}(\frac{4x+3}{\sqrt{23}}) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4) - \frac{1}{32}(4x+3)$ और $A = -\frac{23}{64\sqrt{2}}$.
$f(1) = \frac{1}{2}(2+3+4) - \frac{1}{32}(4+3) = \frac{9}{2} - \frac{7}{32} = \frac{144-7}{32} = \frac{137}{32}$.
अतः,$(f(1), A) = (\frac{137}{32}, -\frac{23}{64\sqrt{2}})$. सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $I = \int \frac{1}{1+k \cos x} d x$. सर्वसमिका $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{1}{1+k\left(\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}\right)} d x = \int \frac{\sec^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)+k-k\tan^2(x/2)} d x = \int \frac{\sec^2(x/2)}{(k+1)-(k-1)\tan^2(x/2)} d x$.
$t = \tan(x/2)$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) d x$,अतः $\sec^2(x/2) d x = 2 dt$.
$I = 2 \int \frac{dt}{(k+1)-(k-1)t^2} = \frac{2}{k-1} \int \frac{dt}{\left(\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}\right)^2 - t^2}$.
मानक समाकलन $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{k-1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{k+1}{k-1}}} \log \left| \frac{\sqrt{\frac{k+1}{k-1}} + t}{\sqrt{\frac{k+1}{k-1}} - t} \right| + C = \frac{1}{\sqrt{k^2-1}} \log \left| \frac{\sqrt{k+1} + \sqrt{k-1} \tan(x/2)}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k-1} \tan(x/2)} \right| + C$.

(D) हमें दिया गया है $I_m = \int x^m \cos n x \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^m$ और $dv = \cos n x \, dx$ लें। तब $du = m x^{m-1} \, dx$ और $v = \frac{\sin n x}{n}$ होगा।
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \int \frac{m x^{m-1} \sin n x}{n} \, dx = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \int x^{m-1} \sin n x \, dx$.
अब,$\int x^{m-1} \sin n x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करें। $u = x^{m-1}$ और $dv = \sin n x \, dx$ लें। तब $du = (m-1) x^{m-2} \, dx$ और $v = -\frac{\cos n x}{n}$ होगा।
$\int x^{m-1} \sin n x \, dx = -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \int \frac{(m-1) x^{m-2} \cos n x}{n} \, dx$.
इस मान को $I_m$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \left( -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \frac{m-1}{n} \int x^{m-2} \cos n x \, dx \right)$.
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2} - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$.
दिए गए समीकरण $I_m = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(x) = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ldots \ln ^m(x)}$
माना $u = \ln(x)$,तब $du = \frac{1}{x} dx$.
समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \frac{du}{u^1 \cdot u^2 \cdot u^3 \cdot \ldots \cdot u^m} = \int \frac{du}{u^{1+2+3+\ldots+m}}$.
योग सूत्र $\sum_{i=1}^{m} i = \frac{m(m+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int u^{-\frac{m(m+1)}{2}} du$.
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ लागू करने पर:
$I = \frac{u^{-\frac{m(m+1)}{2} + 1}}{-\frac{m(m+1)}{2} + 1} + C = \frac{u^{\frac{2 - m^2 - m}{2}}}{\frac{2 - m^2 - m}{2}} + C$.
घातांक का गुणनखंड करने पर: $2 - m^2 - m = -(m^2 + m - 2) = -(m+2)(m-1) = (m+2)(1-m)$.
अतः,$I = \frac{u^{\frac{(m+2)(1-m)}{2}}}{\frac{(m+2)(1-m)}{2}} + C$.
इसे दिए गए रूप $\frac{(\ln x)^K}{K} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = \frac{(m+2)(1-m)}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2K = (m+2)(1-m)$.

(C) माना $I_n = \int_0^1 e^x(x-1)^n dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$. माना $u = (x-1)^n$ और $dv = e^x dx$. तब $du = n(x-1)^{n-1} dx$ और $v = e^x$.
$I_n = [e^x(x-1)^n]_0^1 - n \int_0^1 e^x(x-1)^{n-1} dx = (0 - (-1)^n) - n I_{n-1} = (-1)^{n+1} - n I_{n-1}$.
$n=1$ के लिए: $I_1 = (-1)^2 - 1 I_0 = 1 - \int_0^1 e^x dx = 1 - (e-1) = 2-e$.
$n=2$ के लिए: $I_2 = (-1)^3 - 2 I_1 = -1 - 2(2-e) = -1 - 4 + 2e = 2e-5$.
$n=3$ के लिए: $I_3 = (-1)^4 - 3 I_2 = 1 - 3(2e-5) = 1 - 6e + 15 = 16-6e$.
इस मान की तुलना दिए गए मान $16-6e$ से करने पर,हमें $n=3$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{4+5 \sin x}$ है।
प्रतिस्थापन $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{dx}{4 + 5 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{4(1+\tan^2(x/2)) + 10 \tan(x/2)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{4 \tan^2(x/2) + 10 \tan(x/2) + 4}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,अतः $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$ है।
जब $x=0, t=0$; और जब $x=\pi/2, t=1$ है।
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{4t^2 + 10t + 4} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{t^2 + \frac{5}{2}t + 1}$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2 + \frac{5}{2}t + 1 = (t + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16} + 1 = (t + \frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2$ है।
$I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t + \frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2(3/4)} \ln \left| \frac{t + 5/4 - 3/4}{t + 5/4 + 3/4} \right|_0^1$ है।
$I = \frac{1}{3} \left[ \ln \left| \frac{t + 1/2}{t + 2} \right| \right]_0^1 = \frac{1}{3} \left[ \ln \left( \frac{3/2}{3} \right) - \ln \left( \frac{1/2}{2} \right) \right]$ है।
$I = \frac{1}{3} [ \ln(1/2) - \ln(1/4) ] = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{1/2}{1/4} \right) = \frac{1}{3} \ln 2$ है।

(A) माना $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$x-3 = 2t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करें,जिससे $x=3+2t$ और $dx=2dt$ प्राप्त होता है।
जब $x=3, t=0$ और जब $x=5, t=1$.
$I = \int_0^1 (2t)^3 (5-(3+2t))^5 (2dt) = \int_0^1 8t^3 (2-2t)^5 (2dt) = 16 \times 2^5 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.
$I = 512 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.
बीटा फलन $\int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $m-1=3 \implies m=4$ और $n-1=5 \implies n=6$.
$I = 512 \times \frac{3! \times 5!}{9!} = 512 \times \frac{6 \times 120}{362880} = 512 \times \frac{720}{362880} = 512 \times \frac{1}{504} = \frac{512}{504} = \frac{64}{63}$.

(B) दिया गया है,$f(x)=\sin ^6 x+\cos ^6 x+2 \sin ^3 x \cos ^3 x = (\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2$.
हमें $I=\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin ^2 2 x}{f(x)} d x$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए,$\sin ^2 2x = 4 \sin ^2 x \cos ^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{4 \sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2} d x$.
अंश और हर को $\cos ^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{4 \tan ^2 x \sec ^2 x}{(\tan ^3 x+1)^2} d x$.
माना $t = \tan ^3 x$,तो $dt = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x dx$,जिसका अर्थ है $\tan ^2 x \sec ^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{4 \cdot (dt/3)}{(t+1)^2} = \frac{4}{3} \int_0^1 (t+1)^{-2} dt$.
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{-1}{t+1} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3}$.

(C) माना $I = \int_{-5}^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$. चूँकि फलन $f(x) = x^4(25-x^2)^{5/2}$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$.
प्रतिस्थापन $x = 5 \sin \theta$ लेने पर,$dx = 5 \cos \theta d\theta$. जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=5, \theta=\pi/2$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (5 \sin \theta)^4 (25 - 25 \sin^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (25 \cos^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (5^5 \cos^5 \theta) (5 \cos \theta) d\theta = 2 \times 5^{10} \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^6 \theta d\theta$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{3 \times 15}{3840} \times \frac{\pi}{2} = 5^{10} \times \frac{45}{3840} \pi = 5^{10} \times \frac{3}{256} \pi = \frac{3(5^{10}) \pi}{256}$.

(B) हमें दिया गया है,$I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$।
$x = a \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = a$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a^n \sin^n \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta d\theta = a^n \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta$।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,सम $n$ के लिए $\int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)\dots(1)}{n(n-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2}$।
$I_8 = a^8 \int_0^{\pi/2} \sin^8 \theta d\theta = a^8 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$।
$I_4 = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta d\theta = a^4 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$।
इसलिए,$\frac{I_8}{I_4} = \frac{a^8 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} = a^4 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{48} a^4$।

(D) माना $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{4}$ और $b = \frac{\pi}{2}$,हमें $a+b-x = \frac{3\pi}{4} - x$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(\frac{3 \pi}{4} - x - \frac{3 \pi}{8}\right)}}$
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(\frac{3 \pi}{8} - x\right)}}$
चूँकि $\sin(\theta) = -\sin(-\theta)$,इसलिए $\sin(\frac{3\pi}{8} - x) = -\sin(x - \frac{3\pi}{8})$.
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{-\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)} \, dx}{e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)} + 1} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3(1 + e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)})}{1 + e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} \, dx$
$2I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} 3 \, dx = 3[x]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = 3(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 3(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4}$
$I = \frac{3\pi}{8}$

(C) कथन $(A)$ के लिए: हम जानते हैं कि $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$।
पहले समाकलन में,$x = -t$ रखने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x = -a, t = a$ और जब $x = 0, t = 0$।
अतः,$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$।
इस प्रकार,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: निश्चित समाकलन के लिए प्रतिस्थापन नियम के अनुसार यदि $x = g(u)$ है,तो $dx = g'(u) du$ होता है। सीमाएँ $a$ से $b$ बदलकर $g^{-1}(a)$ से $g^{-1}(b)$ हो जाती हैं।
$(R)$ में दिया गया सूत्र $\int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$ गलत है क्योंकि दाईं ओर समाकलन की सीमाएँ $g^{-1}(a)$ और $g^{-1}(b)$ होनी चाहिए,न कि $g(a)$ और $g(b)$। अतः,$(R)$ असत्य है।

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:
$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.
माना $t = 1+x^2$,तब $dt = 2x dx$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.
$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.
समाकलन सूत्र $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ का उपयोग करने पर:
$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.
अतः,$y = \frac{4}{e}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\right]$ है।
इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n} \sum_{r=1}^n \sin \left(\frac{r \pi}{2 n}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
यहाँ,$x = \frac{r\pi}{2n}$ रखने पर,जहाँ $dx = \frac{\pi}{2n}$,अभिव्यक्ति $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ बन जाती है।
समाकलन की सीमाएँ $r=0$ के लिए $x = 0$ और $r=n$ के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ हैं।
अतः,समाकल $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ हो जाता है।
समाकलन का मान: $[-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -(0 - 1) = 1$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ है।
इसे $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ में विभाजित किया जा सकता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $[\tan^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ प्राप्त होता है।
$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

(B) दी गई सीमा को योग के रूप में लिखा जा सकता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(n+3r)^{3/2}} \right]$
अंश और हर को क्रमशः $n^{5/2}$ और $n^{3/2}$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{1}{(1+2r/n)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3r/n)^{3/2}} \right]$
यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकलन में परिवर्तित हो जाता है:
$\int_0^1 \left( \frac{1}{(1+2x)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3x)^{3/2}} \right) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$= \left[ \frac{(1+2x)^{-3/2}}{-3/2 \times 2} - \frac{(1+3x)^{-1/2}}{-1/2 \times 3} \right]_0^1$
$= \left[ -\frac{1}{3(1+2x)^{3/2}} + \frac{2}{3(1+3x)^{1/2}} \right]_0^1$
$0$ और $1$ सीमाओं पर मूल्यांकन करने पर:
$= \left( -\frac{1}{3(3)^{3/2}} + \frac{2}{3(4)^{1/2}} \right) - \left( -\frac{1}{3(1)^{3/2}} + \frac{2}{3(1)^{1/2}} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{2}{6} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right)$
$= -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

(B) दिया गया है,$\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$.
कोसाइन श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin(nx/2) \cos((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$.
अतः,$A(x) = 2 \sin(nx/2) \cos((n+1)x/2)$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$A(x) = \sin(\frac{2n+1}{2}x) - \sin(x/2)$.
अब,$\int_0^\pi A(x) dx = \int_0^\pi (\sin(\frac{2n+1}{2}x) - \sin(x/2)) dx$.
$= [-\frac{2}{2n+1} \cos(\frac{2n+1}{2}x) + 2 \cos(x/2)]_0^\pi$.
$= (-\frac{2}{2n+1} \cos(\frac{2n+1}{2}\pi) + 2 \cos(\pi/2)) - (-\frac{2}{2n+1} \cos(0) + 2 \cos(0))$.
चूंकि $\cos(\frac{2n+1}{2}\pi) = 0$ और $\cos(\pi/2) = 0$:
$= 0 - (-\frac{2}{2n+1} + 2) = \frac{2}{2n+1} - 2 = \frac{2 - 4n - 2}{2n+1} = \frac{-4n}{2n+1}$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - 2C_2 - 3C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 0 & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = \sin x \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \sin x \cdot \frac{1}{2} \sin x \right) = \sin x \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \sin^2 x \right) = \frac{1}{6} (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = \frac{\sin 3x}{6}$.
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin 3x}{6} \right) = \frac{3 \cos 3x}{6} = \frac{\cos 3x}{2}$.
हमें $I = \int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\cos 3x}{2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$I = \left[ \frac{-\cos 3x}{18} + \frac{\sin 3x}{6} \right]_0^{\pi / 2}$.
$I = \left( \frac{-\cos(3\pi/2)}{18} + \frac{\sin(3\pi/2)}{6} \right) - \left( \frac{-\cos(0)}{18} + \frac{\sin(0)}{6} \right)$.
$I = \left( 0 - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{1}{18} + 0 \right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{-3 + 1}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $(x-2)^2+(y-a)^2=b^2$ $(i)$
चूंकि यहाँ दो प्राचल $a$ और $b$ हैं,इसलिए हम दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-2) + 2(y-a)y' = 0$
$(x-2) + (y-a)y' = 0$ (ii)
(ii) से,$(y-a) = -\frac{x-2}{y'}$
इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-2)^2 + \left(-\frac{x-2}{y'}\right)^2 = b^2$
$(x-2)^2 \left(1 + \frac{1}{(y')^2}\right) = b^2$
$(x-2)^2 \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) = b^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-2) \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) + (x-2)^2 \left(\frac{2y'y'' \cdot (y')^2 - ((y')^2+1) \cdot 2y'y''}{(y')^4}\right) = 0$
इस अवकल समीकरण में द्वितीय अवकलज $y''$ शामिल है,इसलिए कोटि $m = 2$ है।
उच्चतम अवकलज $y''$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए घात $n = 1$ है।
अतः,$m^2+n = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)$.
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2$.
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+y^2}=C x e^{\tan ^{-1} x}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \cdot 2y \frac{dy}{dx} = C \left( e^{\tan ^{-1} x} + x e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right)$
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = C e^{\tan ^{-1} x} \left( 1 + \frac{x}{1+x^2} \right)$
चूँकि $C e^{\tan ^{-1} x} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} \left( \frac{1+x^2+x}{1+x^2} \right)$
$\frac{xy}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}(1+x+x^2)}{1+x^2}$
$xy(1+x^2) dy = (1+y^2)(1+x+x^2) dx$
$xy(1+x^2) dy - (1+y^2)(1+x+x^2) dx = 0$

(D) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x} + x^2$ है $(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y + xy' = ae^x - be^{-x} + 2x$ (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' + y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$
$2y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$ (iii)
$(i)$ से,$ae^x + be^{-x} = xy - x^2$ है।
इस मान को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$xy'' + 2y' = (xy - x^2) + 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xy'' + 2y' - xy + x^2 - 2 = 0$

(B) दिया गया वक्रों का कुल: $y = ae^{4x} + be^{-x}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4ae^{4x} - be^{-x}$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16ae^{4x} + be^{-x}$ ... (iii)
अचर $a$ और $b$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरणों $(i)$,(ii) और (iii) को हल करने पर:
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$y + \frac{dy}{dx} = 5ae^{4x} \implies ae^{4x} = \frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})$
$(i)$ को $4$ से गुणा करके उसमें से (ii) घटाने पर:
$4y - \frac{dy}{dx} = 5be^{-x} \implies be^{-x} = \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
इन मानों को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16[\frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})] + \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{16y}{5} + \frac{16}{5}\frac{dy}{dx} + \frac{4y}{5} - \frac{1}{5}\frac{dy}{dx} = 4y + 3\frac{dy}{dx}$
अतः,अवकल समीकरण $f = \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$ है।
$\frac{df}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,$f$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y) = \frac{d^3y}{dx^3} - 3\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx}$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = ax^2 + bx + c$.
यहाँ,स्वेच्छ अचरों (arbitrary constants) की संख्या $3$ $(a, b, c)$ है।
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष बार-बार अवकलन करेंगे।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है।

(B) दिया गया है $y=e^{ax}(\cos bx+\sin bx)$।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx}=ae^{ax}(\cos bx+\sin bx)+e^{ax}(-b\sin bx+b\cos bx) = ay+be^{ax}(\cos bx-\sin bx)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + b[ae^{ax}(\cos bx-\sin bx) + e^{ax}(-b\sin bx-b\cos bx)]$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a[be^{ax}(\cos bx-\sin bx)] - b^2e^{ax}(\sin bx+\cos bx)$।
$be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ और $e^{ax}(\cos bx+\sin bx) = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a(\frac{dy}{dx}-ay) - b^2y$।
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0$।
$\frac{d^2y}{dx^2}-K\frac{dy}{dx}+Ly=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K=2a$ और $L=a^2+b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$L+bK = a^2+b^2+b(2a) = a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$।

(A) दिया गया समीकरण $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ है।
दो स्वेच्छ अचरों $l$ और $m$ को विलुप्त करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करते हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2lx + 2myy^{\prime} - (1 + y^{\prime}) = 0 \ldots (ii)$
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2l + 2m(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y^{\prime \prime} = 0 \ldots (iii)$
हमारे पास $l, m, -1$ में तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली है:
$l(x^2) + m(y^2) + (-1)(x+y) = 0$
$l(2x) + m(2yy^{\prime}) + (-1)(1+y^{\prime}) = 0$
$l(2) + m(2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime})) + (-1)(y^{\prime \prime}) = 0$
$l, m, -1$ के लिए एक गैर-तुच्छ हल प्राप्त करने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & -(x+y) \\ 2x & 2yy^{\prime} & -(1+y^{\prime}) \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & -y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$
तीसरे स्तंभ को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \\ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$

(C) दिया गया समीकरण: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$
समीकरणों $7x - 3y - 7 = 0$ और $3x - 7y - 3 = 0$ को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ प्राप्त होता है।
$x = 1 + u$ और $y = 0 + v = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = du$ और $dy = dv$ होगा।
समीकरण $(i)$ में रखने पर: $(7u - 3v)du + (3u - 7v)dv = 0$ $\ldots(ii)$
यह एक समघातीय समीकरण है। $u = tv$ रखने पर,$du = t dv + v dt$ होगा।
समीकरण $(ii)$ में रखने पर: $(7tv - 3v)(t dv + v dt) + (3tv - 7v)dv = 0$
$(7t - 3)(t dv + v dt) + (3t - 7)dv = 0$
$(7t^2 - 7)dv + v(7t - 3)dt = 0$
$\int \frac{dv}{v} + \int \frac{7t - 3}{7(t^2 - 1)} dt = 0$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{7t - 3}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - 1} + \frac{5}{t + 1}$
$\ln |v| + \frac{1}{7} [2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1|] = C_1$
$7 \ln |v| + 2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1| = C_2$
$\ln |v^7 (t - 1)^2 (t + 1)^5| = C_2$
$t = u/v$ रखने पर: $v^7 (u/v - 1)^2 (u/v + 1)^5 = C$
$(u - v)^2 (u + v)^5 = C$
$u = x - 1$ और $v = y$ रखने पर: $(x - y - 1)^2 (x + y - 1)^5 = C$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-2y+1)dy - (3x-6y+2)dx = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x-6y+2}{x-2y+1} = \frac{3(x-2y)+2}{(x-2y)+1}$
माना $v = x-2y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx})$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx}) = \frac{3v+2}{v+1}$
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{6v+4}{v+1} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{6v+4}{v+1} = \frac{v+1-6v-4}{v+1} = \frac{-5v-3}{v+1}$
$\int \frac{v+1}{-5v-3} dv = \int dx$
$-\frac{1}{5} \int \frac{5v+5}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} \int \frac{(5v+3)+2}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} [v + \frac{2}{5} \ln|5v+3|] = x + C_1$
$v = x-2y$ रखने पर: $-\frac{1}{5}(x-2y) - \frac{2}{25} \ln|5(x-2y)+3| = x + C_1$
$-\frac{2}{25} \ln|5x-10y+3| = x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1 = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1$
$\ln|5x-10y+3|^{-2/25} = \frac{6x-2y}{5} + C_1$
$|5x-10y+3|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot e^{C_1}$
$|5(x-2y+\frac{3}{5})|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_2$
$|x-2y+\frac{3}{5}|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_3$
$\left|x-2y+\frac{3}{5}\right|^{2/25} \cdot e^{\frac{1}{5}(6x-2y)} = C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर,$(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy - x dy + dy = x dx + y dx + dx$.
पदों को समूहित करने पर: $(y+1) dy - x dy = (x+1) dx + y dx$.
दोनों पक्षों में $x dy$ जोड़ने पर: $(y+1) dy = (x+1) dx + (y dx + x dy)$.
गुणन नियम $d(xy) = y dx + x dy$ का उपयोग करने पर,$(y+1) dy = (x+1) dx + d(xy)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (y+1) dy = \int (x+1) dx + \int d(xy)$.
इससे $\frac{(y+1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} + xy + C_1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर: $(y+1)^2 = (x+1)^2 + 2xy + 2C_1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = -2C_1$.
माना $C = -2C_1$,अतः $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$
वज्र-गुणन करने पर: $(3x+2y-7)dy = (2x-3y+4)dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(3x+2y-7)dy - (2x-3y+4)dx = 0$
$(3xdy + 3ydx) + (2ydy - 2xdx) - 7dy - 4dx = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $3d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 7dy - 4dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3d(xy) + \int d(y^2) - \int d(x^2) - \int 7dy - \int 4dx = \int 0$
$3xy + y^2 - x^2 - 7y - 4x = C$
$-1$ से गुणा करने पर: $x^2 - y^2 - 3xy + 4x + 7y + C = 0$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$.
माना $v = x+y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v-3}{v-7}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v-3}{v-7} + 1 = \frac{v-3+v-7}{v-7} = \frac{2v-10}{v-7} = \frac{2(v-5)}{v-7}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-7}{v-5} dv = \int 2 dx$.
$\int \frac{(v-5)-2}{v-5} dv = 2x + C$.
$\int (1 - \frac{2}{v-5}) dv = 2x + C$.
$v - 2 \ln |v-5| = 2x + C$.
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 2 \ln |x+y-5| = 2x + C$.
$y-x-C = 2 \ln |x+y-5|$.
$\ln |x+y-5|^2 = y-x-C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $(x+y-5)^2 = e^{y-x-C} = C' e^{y-x}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) d x + x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y = x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) d y - y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right) d x$
$dx$ और $dy$ के पदों को समूहित करने पर: $[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)] d x = [x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)] d y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
$y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} d v = 2 \frac{d x}{x}$
$\int (\tan v - \frac{1}{v}) d v = 2 \int \frac{d x}{x}$
$\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
$\log |\frac{\sec v}{v}| = \log |C_1 x^2| \Rightarrow \frac{\sec v}{v} = C_1 x^2$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C_1 x^2 \Rightarrow \frac{\sec(y/x)}{y} = C_1 x \Rightarrow \sec(y/x) = C_1 x y$
अतः,$\frac{1}{\cos(y/x)} = C_1 x y \Rightarrow \cos(y/x) = \frac{1}{C_1 x y} = \frac{C}{x y}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$
$x dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.
$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.
दिया है कि $x=\sqrt{3}$ पर $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.
$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$
$x$ से भाग देने पर $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$।
व्यापक हल: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$
$y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$
$\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$
$y(2) = 4$ दिया गया है,इसलिए $x = 2$ और $y = 4$ रखने पर:
$\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,विशिष्ट हल है: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$।
$f(4)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 4$ रखने पर:
$f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y + (h+7k+3)}{3X+5Y + (3h+5k+9)}$ प्राप्त होता है।
इसे समघातीय बनाने के लिए,हम $h+7k+3=0$ और $3h+5k+9=0$ रखते हैं।
इन रैखिक समीकरणों को हल करने पर,$h=-3$ और $k=0$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y}{3X+5Y}$ बन जाता है।
माना $Y = vX$,तब $\frac{d Y}{d X} = v + X \frac{d v}{d X}$ होगा।
$v + X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v}{3+5v} \Rightarrow X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v - 3v - 5v^2}{3+5v} = \frac{-5v^2+4v+1}{3+5v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{5v+3}{5v^2-4v-1} dv = -\int \frac{1}{X} dX$।
समाकलन करने पर,हमें $v$ और $X$ के बीच संबंध प्राप्त होता है।
अंत में $v = \frac{Y}{X} = \frac{y}{x+3}$ और $X = x+3$ रखने पर,व्यापक हल $(y-x+3)^4 = c|5y+x-3|$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि उप-स्पर्शरेखा की लंबाई $\frac{y}{dy/dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{y}{dy/dx} = x + 7y^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + 7y^2}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 7y^2}{y} = \frac{x}{y} + 7y$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 7y$ है।
समाकलन गुणक (integrating factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 7y \cdot \frac{1}{y} dy + C$।
$\frac{x}{y} = \int 7 dy + C = 7y + C$।
$x = 7y^2 + Cy$।
अतः,$7y^2 + Cy - x = 0$,जो $f(x, y) = 7y^2 + cy - x$ के अनुरूप है।

(A) दी गई शर्त $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ है,जहाँ $x \in (2, 5)$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = -2 x^2$,जहाँ $y = f(x)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} d x} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x^2} \right) = -2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2} = -2 x + C$,जिससे $f(x) = -2 x^3 + C x^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{f(5)}{f(2)} = 1$,इसलिए $f(5) = f(2)$ है।
$x = 5$ और $x = 2$ रखने पर: $-2(125) + C(25) = -2(8) + C(4)$।
$-250 + 25 C = -16 + 4 C$।
$21 C = 234 \Rightarrow C = \frac{234}{21} = \frac{78}{7}$।
अतः,$f(x) = -2 x^3 + \frac{78}{7} x^2$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ है।
$(1+y^2) dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t e^t dt = t e^t - e^t$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^t(t - 1) + C$.
$t = \tan^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर,$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + C$.
$e^{\tan^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \tan^{-1} y - 1 + C e^{-\tan^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ है।
$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \cot x$ और $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ है।
समीकरण को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$ है।
शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ का उपयोग करने पर,$0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$,जिससे $C = -\frac{e^\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान रखने पर,$y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$।

(A) दिया गया व्यापक हल: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a+b(y')^2+b y y''=0$.
प्रथम अवकलज से,$a = -b y y' / x$. इस मान को दूसरे अवकलज समीकरण में रखने पर:
$-b y y' / x + b(y')^2 + b y y'' = 0$.
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ मानते हुए): $-y y' / x + (y')^2 + y y'' = 0$.
$x$ से गुणा करने पर: $x y y'' + x (y')^2 - y y' = 0$.
इस अवकल समीकरण की कोटि $\alpha = 2$ और घात $\beta = 1$ है।
इन मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण $\alpha x^2+\beta y^2=1$ में रखने पर,हमें $2 x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है।
मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$.
$x \cos x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{\sec x}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x + \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\sec x}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln(x)} = e^{\ln(x \sec x)} = x \sec x$.
हल इस प्रकार है: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$.
मान रखने पर: $y(x \sec x) = \int \frac{\sec x}{x} \cdot (x \sec x) dx + C$.
$x y \sec x = \int \sec^2 x dx + C$.
$x y \sec x = \tan x + C$.
अतः,$x y \sec x - \tan x = C$.