વિકલ સમીકરણ (y^2-x^2) dx = xy dy (x neq 0) નો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$. આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y

Vedclass · Accepted Answer

$2x^2 \log |x| + y^2 + 2cx^2 = 0$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$. આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$. ચલનું અલગીકરણ કરતા: $v dv = -\frac{1}{x} dx$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$. $\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$. $v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$. $2x^2$ વડે ગુણતા: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$. ગોઠવતા: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$. $-c$ ને નવા અચળાંક $C$ તરીકે લેતા,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $(y^2-x^2) dx = xy dy$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

આદેશ $x=vy$ નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણને ચલ વિભાજનની રીત દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરે છે?

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

નીચેનામાંથી કયું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે?

દર્શાવો કે વક્રોનું કુળ જેના માટે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ છે,તે $x^{2}-y^{2}=c x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=1$ છે. તો $|(y(2))^3-12y(2)|$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module