ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ (1+x^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે. $(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છ

Vedclass · Accepted Answer

$3(1+x^2)y = 4x^3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે. $(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે. $y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$. $y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$. $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$. વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$. તેથી,સમીકરણ $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(1+x^2)y = 4x^3$ થાય છે.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો ઉકેલ શોધો.

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે. $(x \neq 0)$

$x > 0$ માટે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો:

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $y' + y = 2(\sin x + \cos x)$ અને $y(0) = 1$ નું સમાધાન કરે,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module