MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$,जिसका अर्थ है $\cot A = \cot B = \cot C$।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$,अतः त्रिभुज समबाहु है।
$a = \frac{1}{\sqrt{6}}$ दिया गया है,समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{24} = \frac{1}{8 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(B) माना $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
$b+c=11k$ $(i)$,$c+a=12k$ $(ii)$,$a+b=13k$ $(iii)$.
$(i), (ii), (iii)$ को जोड़ने पर,$2(a+b+c)=36k$,अतः $a+b+c=18k$ $(iv)$.
$(iv)$ से,$a=7k, b=6k, c=5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A+\cos B+\cos C = \frac{1}{5}+\frac{19}{35}+\frac{5}{7} = \frac{51}{35}$.

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,अतः $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$।
व्यंजक $E = \frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A$ है।
$E = \frac{a}{c} (2 \sin C \cos C) + \frac{c}{a} (2 \sin A \cos A)$।
$\sin C = ck$ और $\sin A = ak$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{a}{c} (2 ck \cos C) + \frac{c}{a} (2 ak \cos A) = 2ak \cos C + 2ck \cos A$।
$E = 2k (a \cos C + c \cos A)$।
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) $b = a \cos C + c \cos A$ का उपयोग करने पर:
$E = 2kb = 2 \sin B$।
चूंकि $B = 60^{\circ}$,इसलिए $E = 2 \sin 60^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi-B$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$
$= 2ac \cos B$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
यह मान रखने पर:
$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$.

(B) माना $\triangle PQR$ के शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ हैं जो क्रमशः भुजाओं $a, b, c$ के संगत हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$.
अतः,$h_1 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{a}$,$h_2 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{b}$,और $h_3 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{c}$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$.
इसलिए,$a = 2R \sin P$,$b = 2R \sin Q$,और $c = 2R \sin R$.
चूँकि $\sin P, \sin Q, \sin R$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $a, b, c$ भी समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।
$a, b, c$ को $h_1, h_2, h_3$ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{h_1}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}, \frac{h_2}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}, \frac{h_3}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।

(A) माना त्रिभुज के कोण $4x, x$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,जहाँ $a$ सबसे लंबी भुजा है जो $120^{\circ}$ के सम्मुख है।
तब $a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ और $c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे लंबी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$।

(A) $\triangle ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle C = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ और $\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ समीकरण $a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ के मूल हैं,मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) = -\frac{b_1}{a_1}$।
मूलों का गुणनफल: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{B}{2}\right) = \frac{c_1}{a_1}$।
सूत्र $\tan \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \frac{\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right)}{1 - \tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\frac{b_1}{a_1}}{1 - \frac{c_1}{a_1}}$।
$1 = \frac{-b_1}{a_1 - c_1}$।
$a_1 - c_1 = -b_1$,जिसका अर्थ है कि $a_1 + b_1 = c_1$।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, a+1, a+2$ हैं जहाँ $a \in \mathbb{N}$। माना इन भुजाओं के सम्मुख कोण क्रमशः $A, B, C$ हैं,ताकि $A < B < C$। दिया गया है $C = 2A$।
ज्या (Sine) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{a+2} = k$।
अतः,$\sin C = k(a+2)$ और $\sin A = ka$।
चूँकि $C = 2A$,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,जिसका अर्थ है $k(a+2) = 2(ka) \cos A$,इसलिए $\cos A = \frac{a+2}{2a}$।
कोज्या (Cosine) नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{(a+1)^2 + (a+2)^2 - a^2}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a^2+6a+5}{2(a^2+3a+2)}$।
$\cos A$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{a+2}{2a} = \frac{(a+1)(a+5)}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a+5}{2(a+2)}$।
$(a+2)^2 = a(a+5) \Rightarrow a^2+4a+4 = a^2+5a$।
$a = 4$।
अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के कोण $4x, x,$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ},$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin 120^{\circ}} = \frac{b}{\sin 30^{\circ}} = \frac{c}{\sin 30^{\circ}} = k$।
अतः,$a = k \sin 120^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$,और $c = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$।
सबसे बड़ी भुजा $a$ है ($120^{\circ}$ के सम्मुख भुजा)।
परिमाप $a + b + c = k(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = k(\frac{\sqrt{3}+2}{2})$ है।
सबसे बड़ी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{k \frac{\sqrt{3}}{2}}{k \frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ होगा।

(B) माना भुजाएँ $n, n+1, n+2$ हैं। सबसे छोटी भुजा $n$ है और सबसे बड़ी भुजा $n+2$ है। उनके सम्मुख कोण क्रमशः $A$ और $C$ हैं। दिया है $C = 2A$।
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{n} = \frac{\sin C}{n+2} = \frac{\sin 2A}{n+2} \Rightarrow \cos A = \frac{n+2}{2n}$।
कोज्या नियम (cosine rule) से,$\cos A = \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2 - n^2}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n+5}{2(n+2)}$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{n+2}{2n} = \frac{n+5}{2(n+2)}$ $\Rightarrow (n+2)^2 = n(n+5)$ $\Rightarrow n^2+4n+4 = n^2+5n$ $\Rightarrow n=4$।
अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

(D) दिए गए परिपथ का प्रतीकात्मक रूप $(p \vee \sim q \vee \sim r) \wedge (p \vee (q \wedge r))$ है।
वितरण नियम लागू करने पर,हमें $p \vee [(\sim q \vee \sim r) \wedge (q \wedge r)]$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,यह $p \vee [\sim (q \wedge r) \wedge (q \wedge r)]$ बन जाता है।
पूरक नियम लागू करने पर,हमें $p \vee F$ प्राप्त होता है।
अंत में,तत्समक नियम द्वारा,यह $p$ में सरल हो जाता है।
अतः,परिपथ केवल स्विच $S_1$ वाले परिपथ के समतुल्य है।

(C) दिया गया है कि $n = 50$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 16$ और प्रसरण $\sigma^2 = 256$ है।
$\text{माध्य} = \frac{\sum x_i}{n}$ $\Rightarrow 16 = \frac{\sum x_i}{50}$ $\Rightarrow \sum x_i = 800$.
$\text{प्रसरण} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - (16)^2$.
$256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 256$ $\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{50} = 512$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 25600$.
हमें $(x_i - 5)^2$ का माध्य ज्ञात करना है।
$\text{नया माध्य} = \frac{\sum (x_i - 5)^2}{50} = \frac{\sum (x_i^2 - 10x_i + 25)}{50}$.
$= \frac{\sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25}{50} = \frac{25600 - 10(800) + 25(50)}{50}$.
$= \frac{25600 - 8000 + 1250}{50} = \frac{18850}{50} = 377$.

(C) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग अंतराल ($C$.$I$.) के लिए मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-6$ के लिए,$x_1 = \frac{0+6}{2} = 3$
$6-12$ के लिए,$x_2 = \frac{6+12}{2} = 9$
$12-18$ के लिए,$x_3 = \frac{12+18}{2} = 15$
अब,$\sum f_i$,$\sum f_i x_i$,और $\sum f_i x_i^2$ की गणना करें:
$\sum f_i = 2 + 4 + 6 = 12$
$\sum f_i x_i = (2 \times 3) + (4 \times 9) + (6 \times 15) = 6 + 36 + 90 = 132$
$\sum f_i x_i^2 = (2 \times 3^2) + (4 \times 9^2) + (6 \times 15^2) = (2 \times 9) + (4 \times 81) + (6 \times 225) = 18 + 324 + 1350 = 1692$
प्रसरण $V(X)$ इस प्रकार है:
$V(X) = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - \left( \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \right)^2$
$V(X) = \frac{1692}{12} - \left( \frac{132}{12} \right)^2$
$V(X) = 141 - (11)^2$
$V(X) = 141 - 121 = 20$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$.

(C) दिया गया है,$\text{Mean} = 5$ और $\text{S.D.} = 2$।
डेटा $3, 5, 7, a, b$ के लिए जहाँ $n=5$ है:
$\text{Mean} = \frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$
$\Rightarrow 15+a+b = 25$
$\Rightarrow a+b = 10$ ... $(i)$
प्रसरण (Variance) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\text{Var} = \text{S.D.}^2 = 2^2 = 4$:
$\text{Var} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{Mean})^2$
$4 = \frac{3^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{5} - 5^2$
$4 = \frac{9+25+49+a^2+b^2}{5} - 25$
$29 = \frac{83+a^2+b^2}{5}$
$145 = 83 + a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 = 62$ ... $(ii)$
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$।
$10^2 = 62 + 2ab$
$100 - 62 = 2ab$
$38 = 2ab \Rightarrow ab = 19$।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 10x + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) जब डेटा के प्रत्येक मान को $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो प्रसरण $\lambda^2$ से गुणा हो जाता है।
अतः,नया प्रसरण $= \lambda^2 \cdot \sigma_x^2$ होगा।

(B) $5$ से बड़ी पहली छह अभाज्य संख्याएँ $7, 11, 13, 17, 19, 23$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{7+11+13+17+19+23}{6} = \frac{90}{6} = 15$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{(7-15)^2 + (11-15)^2 + (13-15)^2 + (17-15)^2 + (19-15)^2 + (23-15)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{(-8)^2 + (-4)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (4)^2 + (8)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{64 + 16 + 4 + 4 + 16 + 64}{6} = \frac{168}{6} = 28$.

(D) माना कि मूल प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_6$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = \lambda^2 \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$\lambda = 3$ और $\sigma^2 = 16$ है।
अतः,नया प्रसरण:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 16$
$\sigma'^2 = 9 \times 16$
$\sigma'^2 = 144$

(C) दिया है $n=50$,$\bar{x}=16$,और $\sigma_x^2=256$.
सूत्र $\sigma_x^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर,$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 256 \implies \frac{1}{50} \sum x_i^2 = 512 \implies \sum x_i^2 = 25600$.
हमें $(x_i-5)^2$ का माध्य ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} (x_i-5)^2$ है।
योग का विस्तार करने पर: $\sum (x_i^2 - 10x_i + 25) = \sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25$.
चूंकि $\bar{x} = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$,इसलिए $\sum x_i = 50 \times 16 = 800$.
अतः,$\sum (x_i-5)^2 = 25600 - 10(800) + 50(25) = 25600 - 8000 + 1250 = 18850$.
अभीष्ट माध्य $= \frac{18850}{50} = 377$.

(B) प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$ है।
यहाँ,$n = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 1 + k}{4} = \frac{k}{4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{1}{4} [(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2] - (\frac{k}{4})^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
हर को हटाने के लिए समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$80 - 8 = 3k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(A) मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है।
$\therefore$ $x_{i}$ का मानक विचलन $= (x_{i}-2)$ का मानक विचलन।
माना $y_{i} = x_{i}-2$. तब $n = 20$ के लिए $\sum y_{i} = 20$ और $\sum y_{i}^2 = 100$ है।
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{\frac{\sum y_{i}^2}{n} - \left(\frac{\sum y_{i}}{n}\right)^2}$.
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{\frac{100}{20} - \left(\frac{20}{20}\right)^2}$.
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{5 - 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$x$ का मानक विचलन $2$ है।

(D) पद $x_i = (i-1)d$ हैं,जहाँ $i=1, 2, \ldots, n$.
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (i-1)d = \frac{d}{n} \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)d}{2}$.
$\sum x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (i-1)^2 d^2 = d^2 \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = d^2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{d^2(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)^2 d^2}{4}$.
$\sigma^2 = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{2n-1}{3} - \frac{n-1}{2} \right] = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{4n-2-3n+3}{6} \right] = \frac{d^2(n-1)(n+1)}{12} = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$.

(D) प्रथम $N$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{N^2-1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N = 2n$ है।
सूत्र में $N = 2n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{(2n)^2-1}{12}$
$\sigma^2 = \frac{4n^2-1}{12}$

(B) $\triangle ABC$ में,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
दी गई शर्त के अनुसार,$a = 2b$ और $A - B = 60^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ} + B$.
ज्या नियम में मान रखने पर:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$B = 30^{\circ}$.
तब $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $5x - 12y + 39 = 0$ और $5x - 12y + 78 = 0$ हैं।
चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -12$,$c_1 = 39$,और $c_2 = 78$ है।
$d = \left| \frac{39 - 78}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{-39}{\sqrt{169}} \right| = \frac{39}{13} = 3$ इकाई।
चूँकि वर्ग की दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए वर्ग की भुजा $s = 3$ इकाई है।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = 3^2 = 9$ वर्ग इकाई है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(-2,3)$,$B(6,-1)$,और $C(4,3)$ हैं। माना $F(x,y)$ परिकेंद्र है। परिकेंद्र शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $FA^2 = FB^2 = FC^2$ है।
$FA^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2$
$FB^2 = (x-6)^2 + (y+1)^2$
$FC^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$FA^2 = FC^2$ को बराबर करने पर:
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$(x+2)^2 = (x-4)^2$
$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16$
$12x = 12 \implies x = 1$
$FA^2 = FB^2$ को बराबर करने पर:
$(1+2)^2 + (y-3)^2 = (1-6)^2 + (y+1)^2$
$9 + y^2 - 6y + 9 = 25 + y^2 + 2y + 1$
$18 - 6y = 26 + 2y$
$-8 = 8y \implies y = -1$
अतः,परिकेंद्र के निर्देशांक $(1,-1)$ हैं।

(A) बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है।
$x$-अंतःखंड (बिंदु $P$) $(1 - \frac{2}{m}, 0)$ है और $y$-अंतःखंड (बिंदु $Q$) $(0, 2 - m)$ है।
चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होना चाहिए,हम अंतःखंडों के परिमाण पर विचार करते हैं। प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज बनाने के लिए $m$ ऋणात्मक होना चाहिए। मान लीजिए $m = -k$ जहाँ $k > 0$ है।
अंतःखंड $P = (1 + \frac{2}{k}, 0)$ और $Q = (0, 2 + k)$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{2}{k}) \times (2 + k) = \frac{1}{2} (4 + k + \frac{4}{k}) = 2 + \frac{k}{2} + \frac{2}{k}$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{k}{2} + \frac{2}{k} \ge 2 \sqrt{\frac{k}{2} \times \frac{2}{k}} = 2$ है।
समानता तब होती है जब $\frac{k}{2} = \frac{2}{k} \implies k^2 = 4 \implies k = 2$ है।
चूंकि $m = -k$ है,इसलिए ढाल $m = -2$ है।

(B) माना शीर्ष $A(1, 2)$ है और आधार $BC$ रेखा $2x - y - 1 = 0$ पर स्थित है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब $AD$,बिंदु $(1, 2)$ से रेखा $2x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$AD = \left| \frac{2(1) - (2) - 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{2 - 2 - 1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,लंब $AD$ और भुजा की लंबाई $s$ के बीच संबंध $AD = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{5}} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$s = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

(C) $S$,$QR$ का मध्यबिंदु है $= \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$.
$PS$ की ढाल $= \frac{2-1}{2-\frac{13}{2}} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$.
रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{2}{9}$ है।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$ है।
$9(y + 1) = -2(x - 1)$ $\Rightarrow 9y + 9 = -2x + 2$ $\Rightarrow 2x + 9y + 7 = 0$.
$X$-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}$.
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $9y + 7 = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{9}$.
अतः,अंतःखंड $-\frac{7}{2}$ और $-\frac{7}{9}$ हैं।

(D) दिया गया है कि $\angle A, \angle B, \angle C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$.
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दिया गया है $a = 10$ और $b = 9$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)c}$.
$\frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c} \Rightarrow 10c = c^2 + 19$.
$c^2 - 10c + 19 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$.
चूंकि $b=9$ दूसरी सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $c$ सबसे छोटी भुजा होनी चाहिए। अतः,$c = 5 - \sqrt{6}$.

(C) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-3, 0)$,$Q(0, 0)$ और $R(3, 3\sqrt{3})$ हैं।
$QP$ ऋणात्मक $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$QR$ की ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $QR$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
कोण $\angle PQR$,$QP$ और $QR$ के बीच का कोण है,जो $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक इस कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है,प्रत्येक $60^{\circ}$ का।
समद्विभाजक धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
समद्विभाजक की ढाल $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$(1,3)$ और $(5,1)$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।
चूंकि अन्य दो शीर्ष रेखा $y=2x+c$ पर स्थित हैं,इसलिए मध्यबिंदु $(3,2)$ भी इस रेखा पर स्थित होगा।
$y=2x+c$ में $(3,2)$ रखने पर,$2 = 2(3) + c$,जिससे $c = -4$ प्राप्त होता है।
अन्य दो शीर्षों वाली रेखा का समीकरण $y=2x-4$ है।
माना एक शीर्ष के निर्देशांक $(x, 2x-4)$ हैं।
चूंकि आयत की आसन्न भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए एक शीर्ष पर मिलने वाली भुजाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ होता है।
दिए गए शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। माना अन्य शीर्ष $B(x, 2x-4)$ और $D$ हैं। $AB$ की ढाल $\frac{2x-7}{x-1}$ है।
$BC$ की ढाल $\frac{2x-5}{x-5}$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,इसलिए $(\frac{2x-7}{x-1})(\frac{2x-5}{x-5}) = -1$ है।
$(2x-7)(2x-5) = -(x-1)(x-5)$
$4x^2 - 24x + 35 = -x^2 + 6x - 5$
$5x^2 - 30x + 40 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
$(x-4)(x-2) = 0$
अतः $x=4$ या $x=2$ है।
यदि $x=4$,तो $y=4$ है। यदि $x=2$,तो $y=0$ है।
शीर्ष $(4,4)$ और $(2,0)$ हैं।
इस प्रकार,एक शीर्ष $(2,0)$ है।

(B) रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि रेखा $(1, 3)$ बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
हमें $b = 3a$ दिया गया है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{3a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2$.
चूंकि $b = 3a$ है,इसलिए $b = 3(2) = 6$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ और $b = 6$ को अंतःखंड रूप में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$.
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$3x + y = 6$.

(C) रेखा का अंतःखंड रूप समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \left| \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$A = \frac{1}{a}$,$B = \frac{1}{b}$,और $C = -1$ मान रखने पर,$p = \left| \frac{-1}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} \right|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$।

(D) माना दी गई रेखा $L: 3x + y + 4 = 0$ है। $L$ की ढाल $m = -3$ है।
रेखाओं $L_1$ और $L_2$ की ढाल क्रमशः $m_1 = \frac{3}{4}$ और $m_2$ है।
चूंकि बिंदु $A(2, 5)$ से रेखा $L$ तक $L_1$ और $L_2$ के अनुदिश मापी गई दूरी समान है,इसलिए $L_1$ और $L_2$ द्वारा रेखा $L$ के साथ बनाए गए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ के लिए $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ या $\tan \theta_1 = -\tan \theta_2$ होगा।
दो रेखाओं जिनकी ढाल $m$ और $m'$ है,के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + mm'} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$L_1$ के लिए: $\tan \theta = \left| \frac{-3 - 3/4}{1 + (-3)(3/4)} \right| = \left| \frac{-15/4}{1 - 9/4} \right| = \left| \frac{-15/4}{-5/4} \right| = 3$.
$L_2$ के लिए: $\left| \frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} \right| = 3$.
स्थिति $1$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = 3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = 3 - 9m_2$ $\Rightarrow 8m_2 = 6$ $\Rightarrow m_2 = \frac{3}{4}$ (यह $L_1$ ही है)।
स्थिति $2$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = -3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = -3 + 9m_2$ $\Rightarrow 10m_2 = 0$ $\Rightarrow m_2 = 0$.
अतः,$L_2$ की ढाल $0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+4y^2+3x+6y-4=0$ है।
इसे $(x+2y)^2+3(x+2y)-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = x+2y$,तो $t^2+3t-4=0$।
$(t+4)(t-1)=0$,अतः $(x+2y+4)(x+2y-1)=0$।
दो समांतर रेखाएँ $L_1: x+2y+4=0$ और $L_2: x+2y-1=0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $\lambda = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = \frac{|4-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
अतः,$\lambda^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$।

(C) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p = 7$ और कोण $\alpha = 120^{\circ}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos 120^{\circ} + y \sin 120^{\circ} = 7$
चूँकि $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$ और $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$x(-\frac{1}{2}) + y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 7$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$-x + \sqrt{3}y = 14$
पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x - \sqrt{3}y + 14 = 0$

(A) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$,$2x - y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 2x_1 - 5$ है।
रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ से बिंदु $P(x_1, y_1)$ की दूरी $d = \left|\frac{3x_1 + 4y_1 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\right| = 1$ है।
$y_1 = 2x_1 - 5$ को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\left|\frac{3x_1 + 4(2x_1 - 5) - 5}{5}\right| = 1$
$\left|\frac{11x_1 - 25}{5}\right| = 1$
$11x_1 - 25 = 5$ या $11x_1 - 25 = -5$
स्थिति $1$: $11x_1 = 30 \implies x_1 = \frac{30}{11}$. अतः $y_1 = \frac{5}{11}$.
स्थिति $2$: $11x_1 = 20 \implies x_1 = \frac{20}{11}$. अतः $y_1 = \frac{-15}{11}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{30}{11}, \frac{5}{11}\right)$ और $\left(\frac{20}{11}, \frac{-15}{11}\right)$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रेखाओं का युग्म होने के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
समीकरण की तुलना करने पर $a=2, h=2, b=-p, g=2, f=q/2, c=1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$.
$-2p + 4q - q^2/2 + 4p - 4 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर: $q^2 - 8q - 4p + 8 = 0$.
$q$ के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए:
$D = (-8)^2 - 4(1)(8 - 4p) = 32 + 16p = 16(2 + p)$.
$2 + p$ एक पूर्ण वर्ग $k^2$ होना चाहिए।
$p \in [-5, 5]$ के लिए,$2 + p$ का मान $-3$ से $7$ के बीच है।
इस सीमा में पूर्ण वर्ग $0, 1, 4$ हैं।
$2 + p = 0 \Rightarrow p = -2$.
$2 + p = 1 \Rightarrow p = -1$.
$2 + p = 4 \Rightarrow p = 2$.
अतः,$p$ के संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 2\}$ हैं।
कुल संख्या $3$ है।

(A) रेखा $3x + 2y - 8 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{2}$ है।
माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की ढाल $m$ है जो दी गई रेखा के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + mm_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3/2)}{1 + m(-3/2)} \right|$
$1 = \left| \frac{2m + 3}{2 - 3m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2 - 3m)^2 = (2m + 3)^2$
$4 - 12m + 9m^2 = 4m^2 + 12m + 9$
$5m^2 - 24m - 5 = 0$
चूंकि रेखाएं मूल बिंदु से गुजरती हैं,उनका समीकरण $y = mx$ है,इसलिए $m = \frac{y}{x}$।
सहायक समीकरण में $m = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$5(\frac{y}{x})^2 - 24(\frac{y}{x}) - 5 = 0$
$x^2$ से गुणा करने पर:
$5y^2 - 24xy - 5x^2 = 0$
अतः,संयुक्त समीकरण $5x^2 + 24xy - 5y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) तीन रेखाओं $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ और $a_3 x + b_3 y + c_3 = 0$ के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & 3 \\ 3 & 3 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$k(k^2 - 9) - 2(2k - 9) + 2(6 - 3k) = 0$
$k^3 - 9k - 4k + 18 + 12 - 6k = 0$
$k^3 - 19k + 30 = 0$
गुणनखंड करने पर,$(k - 2)$ एक गुणनखंड प्राप्त होता है:
$(k - 2)(k^2 + 2k - 15) = 0$
$(k - 2)(k + 5)(k - 3) = 0$
अतः $k$ के संभावित मान $k_1 = 2$,$k_2 = -5$ और $k_3 = 3$ हैं।
योग $\sum k_i = 2 + (-5) + 3 = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि तीसरे शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
चूंकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसलिए $G$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right)$
यहाँ $A(3, 1, 4)$,$B(-4, 5, -3)$ और $G(-1, 2, 1)$ दिए गए हैं:
$-1 = \frac{3 - 4 + x}{3} \implies -3 = -1 + x \implies x = -2$
$2 = \frac{1 + 5 + y}{3} \implies 6 = 6 + y \implies y = 0$
$1 = \frac{4 - 3 + z}{3} \implies 3 = 1 + z \implies z = 2$
अतः,तीसरा शीर्ष $C$ $(-2, 0, 2)$ है।

(D) माना शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $A(x_A, y_A, z_A)$,$B(x_B, y_B, z_B)$ और $C(x_C, y_C, z_C)$ के लिए केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ होते हैं।
दिया है $A(1,4,2)$,$C(5,-7,1)$ और $G\left(\frac{4}{3}, 0, \frac{-2}{3}\right)$,अतः:
$\frac{1+x_1+5}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow 6+x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{4+y_1-7}{3} = 0 \Rightarrow y_1-3 = 0 \Rightarrow y_1 = 3$
$\frac{2+z_1+1}{3} = \frac{-2}{3} \Rightarrow 3+z_1 = -2 \Rightarrow z_1 = -5$
अतः,$B = (-2, 3, -5)$ है।
भुजा $BC$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}\right)$ होगा।
मध्य बिंदु $= \left(\frac{-2+5}{2}, \frac{3-7}{2}, \frac{-5+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, -2\right)$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{\tan 3x - 1}{\tan 3x + 1} = \sqrt{3}$ है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan 3x - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan 3x \tan(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{3}$.
अतः,$\tan(3x - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{3})$.
व्यापक हल के लिए,$3x - \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
$3x = n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{7\pi}{12}$.
$x = \frac{n\pi}{3} + \frac{7\pi}{36}$.
$x = \frac{n\pi}{p} + \frac{7\pi}{q}$ से तुलना करने पर,$p = 3$ और $q = 36$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{p}{q} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^2 \theta - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - \sin ^2 \theta) - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\sin ^2 \theta + 2 \sin \theta - \frac{5}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$4 \sin ^2 \theta + 8 \sin \theta - 5 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$4 \sin ^2 \theta + 10 \sin \theta - 2 \sin \theta - 5 = 0$
$2 \sin \theta(2 \sin \theta + 5) - 1(2 \sin \theta + 5) = 0$
$(2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 5) = 0$
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -\frac{5}{2}$.
चूँकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,$\sin \theta = -\frac{5}{2}$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ है।
$\theta = \frac{n \pi}{A} + (-1)^n \frac{\pi}{B}$ से तुलना करने पर,$A = 1$ और $B = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = 1 + 6 = 7$.

(C) दिया गया समीकरण: $3 \sec^2 \theta = 2 \operatorname{cosec} \theta$
$\Rightarrow \frac{3}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow \frac{3}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow 3 \sin \theta = 2 - 2 \sin^2 \theta$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$
चूँकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$।
$\sin \theta = \sin \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$।

(A) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया गया समीकरण: $\sec x + \tan x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
चूंकि $\sin x = -1$ होने पर $\cos x = 0$ हो जाता है,जो अपरिभाषित है,इसलिए $1 + \sin x \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $(1 + \sin x)$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2(1 - \sin x)$
$\Rightarrow 1 = 2 - 2 \sin x$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2 \pi)$ में,हल $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया है: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[2(1 - \sin x) - 1] = 0$
चूंकि $\sin x = -1$ का अर्थ है $\cos x = 0$,जो $\tan x$ और $\sec x$ को अपरिभाषित बनाता है,इसलिए $1 + \sin x \neq 0$ है।
अतः,$2(1 - \sin x) - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 - 2 \sin x - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$[0, 2 \pi]$ अंतराल में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5 \pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हलों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin 7 \theta + \sin \theta + \sin 4 \theta = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 3 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta (2 \cos 3 \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए,$n = 1, 2, 3$,अतः $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\cos 3 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3} \implies 3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए:
यदि $n=0$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
यदि $n=1$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}$.
हल $\theta \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{8 \pi}{9}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $= 6$.

(C) दिया गया है: $\cos x + \cos y - \cos (x + y) = \frac{3}{2}$
सूत्र $\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ और $\cos (x+y) = 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - (2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$4 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 4 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$
माना $t = \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)$। तब $4t^2 - 4t \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$।
चूंकि $t$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(-4 \cos \left(\frac{x-y}{2}\right))^2 - 4(4)(1) \geq 0$
$16 \cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) - 16 \geq 0$
$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) \geq 1$
चूंकि $\cos^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1$ होना चाहिए।
अतः $\frac{x-y}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = y$।

(C) दिया गया समीकरण: $8 \cos^2 \theta + 14 \cos \theta + 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8 \cos^2 \theta + 10 \cos \theta + 4 \cos \theta + 5 = 0$
$\therefore 2 \cos \theta (4 \cos \theta + 5) + 1 (4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore (2 \cos \theta + 1)(4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -\frac{5}{4}$
चूँकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos \theta = -\frac{5}{4}$ संभव नहीं है।
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \frac{4\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ है।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=x-\frac{5}{x^5}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int \left(x - 5x^{-5}\right) dx$
$f(x) = \frac{x^2}{2} - 5 \left( \frac{x^{-4}}{-4} \right) + c$
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + c$
दिया गया है $f(1) = 4$,$x=1$ रखने पर:
$4 = \frac{1^2}{2} + \frac{5}{4(1)^4} + c$
$4 = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + c$
$4 = \frac{2+5}{4} + c$
$4 = \frac{7}{4} + c$
$c = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16-7}{4} = \frac{9}{4}$
अतः,$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4x^4} + \frac{9}{4}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(1+\cos y) dx - \sin y(1+\sin x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\cos x(1+\cos y) dx = \sin y(1+\sin x) dy$
$\frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$
माना $u = 1+\sin x$,तब $du = \cos x dx$।
माना $v = 1+\cos y$,तब $dv = -\sin y dy$,अर्थात $\sin y dy = -dv$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{u} du = \int -\frac{1}{v} dv$
$\ln|u| = -\ln|v| + \ln|c|$
$\ln|1+\sin x| = -\ln|1+\cos y| + \ln|c|$
$\ln|1+\sin x| + \ln|1+\cos y| = \ln|c|$
$\ln|(1+\sin x)(1+\cos y)| = \ln|c|$
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$(1+\sin x)(1+\cos y) = c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
माना $u = 1-y^2$,तब $du = -2y dy$,इसलिए $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} (2u^{1/2}) = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
यह वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ $h = -C$,$k = 0$,और $r = 1$ है।
अतः,त्रिज्या $1$ इकाई स्थिर है और केंद्र $(-C, 0)$ $X$-अक्ष पर चर है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$.
यह प्राप्त होता है: $\tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(x) + C$,जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan^{-1}(y) - \tan^{-1}(x) = C$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर: $\tan^{-1}(\frac{y-x}{1+xy}) = C$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\frac{y-x}{1+xy} = \tan(C)$.
माना $\tan(C) = c$,जहाँ $c$ एक नया स्थिरांक है।
अतः,$y-x = c(1+xy)$.

(A) दिया गया समीकरण: $\log(x+y) = 2xy$ $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ $(ii)$
$x=0$ पर,$(i)$ से: $\log(0+y) = 2(0)y \implies \log(y) = 0 \implies y = e^0 = 1$।
$x=0$ और $y=1$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
अतः,$x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$।
इससे $\log|y + 3| = x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 2$ दी गई है,इसलिए $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$\log|2 + 3| = 0 + C \implies C = \log 5$।
अतः,समीकरण $\log(y + 3) = x + \log 5$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$।
इस प्रकार,$y = 5e^x - 3$।
अब,$y(\log 2)$ की गणना करने पर:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3$।
चूंकि $e^{\log 2} = 2$,इसलिए $y(\log 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$.
$dy$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$.
मान लीजिए $x+y = u$. $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{du}{dy}$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} = \frac{du}{dy} - 1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dy} - 1 = \cos u$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{du}{dy} = 1 + \cos u$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{du}{1 + \cos u} = dy$.
सर्वसमिका $1 + \cos u = 2 \cos^2 \left(\frac{u}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{du}{2 \cos^2 \left(\frac{u}{2}\right)} = dy$,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{u}{2}\right) du = dy$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{u}{2}\right) du = \int dy$.
इससे हमें $\tan \left(\frac{u}{2}\right) = y + c$ प्राप्त होता है।
$u = x+y$ वापस रखने पर,हमें $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = y + c$ प्राप्त होता है,या $y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin x + \cos x)}{1 + y \log y}$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \frac{1 + y \log y}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y (\log y + \frac{1}{y}) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(y) = \log y$ और $f(x) = \sin x$:
$e^y \log y = e^x \sin x + c$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{\frac{dy}{dx}} = (x+1)$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \log(x+1) dx + C$.
$\int \log(x+1) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर ($u = \log(x+1)$ और $dv = dx$):
$y = (x+1) \log(x+1) - \int (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} dx + C$.
$y = (x+1) \log(x+1) - \int 1 dx + C$.
$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$.
प्रतिबंध $y(0) = 3$ दिया गया है,अतः $x = 0$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = (0+1) \log(0+1) - 0 + C$.
$3 = 1 \cdot \log(1) + C$.
चूँकि $\log(1) = 0$,इसलिए $3 = 0 + C$,जिससे $C = 3$.
अतः,विशिष्ट हल $y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x(\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = C$
समाकलन सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(x) = \cos^2 x$ और $f'(x) = -\sin 2x$:
$y + \log |y| + e^x \cos^2 x = C$
$x=0, y=1$ रखने पर:
$1 + \log(1) + e^0 \cos^2(0) = C$
$1 + 0 + 1(1) = C \Rightarrow C = 2$
अतः,हल $y + \log |y| + e^x \cos^2 x = 2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $y \, dx + xy^2 \, dx + x \, dy - x^2y \, dy = 0$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(y \, dx + x \, dy) + xy(y \, dx - x \, dy) = 0$
$x^2y^2$ से भाग देने पर: $\frac{y \, dx + x \, dy}{x^2y^2} + \frac{y \, dx - x \, dy}{xy} = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d(xy)}{(xy)^2} - \left(\frac{x \, dy - y \, dx}{xy}\right) = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(xy)}{(xy)^2} - \int d\left(\log \frac{x}{y}\right) = \int 0$
$-\frac{1}{xy} - \log \left(\frac{x}{y}\right) = -k$
$\log \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{xy} + k$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(1+\cos y) dx - \sin y(1+\sin x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin y}{1+\cos y} dy$.
माना $u = 1+\sin x$,तब $du = \cos x dx$.
माना $v = 1+\cos y$,तब $dv = -\sin y dy$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{u} du = -\int \frac{1}{v} dv$.
$\ln |u| = -\ln |v| + \ln |c|$.
$\ln |u| + \ln |v| = \ln |c|$.
$\ln |uv| = \ln |c|$.
$uv = c$.
$u$ और $v$ के मान वापस रखने पर:
$(1+\sin x)(1+\cos y) = c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{3x^2}{1+x^3}$ और $Q = \frac{1}{1+x^3}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$\text{I.F.} = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx} = e^{\ln(1+x^3)} = 1+x^3$.
व्यापक हल $y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.}) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y(1+x^3) = \int \left(\frac{1}{1+x^3}\right) \cdot (1+x^3) dx + c$
$y(1+x^3) = \int 1 dx + c$
$y(1+x^3) = x + c$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$yx = \int (\sin x \cdot x) dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $(\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx)$:
माना $u = x$ और $v = \sin x$.
$yx = x(-\cos x) - \int (1 \cdot -\cos x) dx + c$.
$yx = -x \cos x + \int \cos x dx + c$.
$yx = -x \cos x + \sin x + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$yx + x \cos x = \sin x + c$.
$x(y + \cos x) = \sin x + c$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1 \dots (i)$
मान लीजिए $\frac{1}{x} = t$. तब $-\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = \frac{dt}{dy}$,अतः $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} = -\frac{dt}{dy}$.
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ हो जाता है।
यह $t$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $t(I.F.) = \int (-1)(I.F.) dy + c$ है।
$t(\frac{1}{y}) = \int -\frac{1}{y} dy + c = -\log y + c$.
$t = \frac{1}{x}$ रखने पर: $\frac{1}{xy} = -\log y + c$.
अतः,$\frac{1}{x} = cy - y \log y$.

(C) दिया गया समीकरण: $x \, dy = y(dx + y \, dy)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \, dy = y \, dx + y^2 \, dy$
$y \, dx = (x - y^2) \, dy$
$y \, dy$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = -y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
हल: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) \, dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} \, dy + C$
$\frac{x}{y} = \int -1 \, dy + C$
$\frac{x}{y} = -y + C$
चूंकि $y(1) = 1$,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$.
अतः,$\frac{x}{y} = -y + 2$.
$y(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ रखने पर:
$\frac{-3}{y} = -y + 2$
$-3 = -y^2 + 2y$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
$(y - 3)(y + 1) = 0$
चूंकि $y(x) > 0$,इसलिए $y = 3$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $(a, 0)$ केंद्र है और $a$ त्रिज्या है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 2ax = 0 ... (i)$ के रूप में सरल हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx} ... (ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$।
अतः,$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जो $y^2 = x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ देता है।

(B) वाष्पीकरण की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi R^2$ के समानुपाती है। चूँकि आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है,आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -k(4\pi R^2)$,इसलिए $4\pi R^2 \frac{dR}{dt} = -k(4\pi R^2)$,जो सरल होकर $\frac{dR}{dt} = -k$ हो जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $R(t) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$R = 3$,इसलिए $C = 3$। अतः $R(t) = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$R = 2$,इसलिए $2 = -k(1) + 3$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R(t) = 3 - t$।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि शर्तें $R(0)=3$ और $R(1)=2$ विकल्प $(B)$ $R(t + 2) = 6$ द्वारा संतुष्ट होती हैं,क्योंकि $t=0$ पर $R=3$ और $t=1$ पर $R=2$ प्राप्त होता है।

(A) माना अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{2}$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{h}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{12} \pi h^3$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{12} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = 5 \text{ m}^3/\text{min}$,इसलिए $5 = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$,अर्थात $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi h^2}$।
जब $h = 10 \text{ m}$ है,तो पानी के स्तर के बढ़ने की दर $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi (10)^2} = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \text{ m/min}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.5 P - 450 = \frac{1}{2}(P - 900)$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2 dP}{P - 900} = dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2 \int \frac{dP}{P - 900} = \int dt \Rightarrow 2 \ln |P - 900| = t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $P(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $2 \ln |850 - 900| = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln 50$.
अतः,समीकरण $2 \ln |P - 900| = t + 2 \ln 50$ है।
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब जनसंख्या $P=0$ हो जाती है:
$2 \ln |0 - 900| = t + 2 \ln 50$
$2 \ln 900 = t + 2 \ln 50$
$t = 2 \ln 900 - 2 \ln 50 = 2 \ln \left( \frac{900}{50} \right) = 2 \ln 18$.

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर मौजूद बैक्टीरिया की संख्या $x$ है।
वृद्धि की दर बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = kx$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{x} = k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log x = kt + c$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $t = 3$ पर,$x = 10,000$,इसलिए $\log(10,000) = 3k + c$ ... $(ii)$ है।
दिया गया है कि $t = 5$ पर,$x = 40,000$,इसलिए $\log(40,000) = 5k + c$ ... $(iii)$ है।
$(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$\log(40,000) - \log(10,000) = 2k$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\log(4) = 2k$ हो जाता है,इसलिए $k = \log(2)$ है।
$k = \log(2)$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$\log(10,000) = 3\log(2) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \log(10,000) - \log(8) = \log(\frac{10,000}{8}) = \log(1250)$ है।
शुरुआत में,$t = 0$ पर,$\log x = k(0) + c$,इसलिए $\log x = \log(1250)$ है।
अतः,शुरुआत में बैक्टीरिया की संख्या $x = 1250$ है।

(D) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$.
$x = 1$ पर,हमारे पास $f(1) = 1$ और $f^{\prime}(1) = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(f(1)) = f(1) = 1$.
$f(f(f(1))) = f(1) = 1$.
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$.
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3)$.
$= 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) दिया गया है $y = \log_{\sin x} \tan x$। आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $y = \frac{\log \tan x}{\log \sin x}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log \tan x$ और $v = \log \sin x$ है:
$u' = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{1}{\sin x \cos x} = 2 \csc(2x)$।
$v' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log \sin x)(2 \csc 2x) - (\log \tan x)(\cot x)}{(\log \sin x)^2}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan x = 1$,$\log \tan x = 0$,$\csc 2x = 1$,और $\cot x = 1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{(\log \frac{1}{\sqrt{2}})(2) - 0}{(\log \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{2 \log(2^{-1/2})}{(-\frac{1}{2} \log 2)^2} = \frac{-\log 2}{\frac{1}{4} (\log 2)^2} = \frac{-4}{\log 2}$।

(A) $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^{\frac{3}{2}}$
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है
$\log y = \frac{3}{2} [\log(x+1) + \log(2x+1) + \log(3x+1) + \ldots + \log(nx+1)]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$
$\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{3y}{2} \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$
अब $x=0$ पर,$y = [(1)(1)(1) \ldots (1)]^{\frac{3}{2}} = 1$
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{3(1)}{2} \left[ \frac{1}{0+1} + \frac{2}{0+1} + \frac{3}{0+1} + \ldots + \frac{n}{0+1} \right]$
$= \frac{3}{2} (1 + 2 + 3 + \ldots + n)$
$= \frac{3}{2} \times \frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{3n(n+1)}{4}$

(C) दिया गया है $y=(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2n})$.
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \log(1+x) + \log(1+x^2) + \log(1+x^4) + \dots + \log(1+x^{2n})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2} + \frac{4x^3}{1+x^4} + \dots + \frac{2n \cdot x^{2n-1}}{1+x^{2n}}$.
$x=0$ पर,$y = (1+0)(1+0) \dots (1+0) = 1$.
$x=0$ और $y=1$ का मान रखने पर,$\frac{1}{1} \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \dots + 0$.
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 1$.

(C) दिया गया है कि $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}\right)$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{(1-x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
चूंकि $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$,इसलिए $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + \frac{x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{(1-x \cos \alpha)^2 + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$।
इसकी तुलना $\frac{dy}{dx} = \frac{m}{x^2+2nx+1}$ से करने पर,हमें $m = \sin \alpha$ और $n = -\cos \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$m^2 + n^2 = \sin^2 \alpha + (-\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$।

(C) दिया गया है $y=\frac{\sqrt[3]{1+3 x} \sqrt[4]{1+4 x} \sqrt[5]{1+5 x}}{\sqrt[7]{1+7 x} \sqrt[8]{1+8 x}}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log y = \frac{1}{3} \log (1+3 x) + \frac{1}{4} \log (1+4 x) + \frac{1}{5} \log (1+5 x) - \frac{1}{7} \log (1+7 x) - \frac{1}{8} \log (1+8 x)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1+3 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{1+4 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1+5 x} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1+7 x} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{1+8 x}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+3 x} + \frac{1}{1+4 x} + \frac{1}{1+5 x} - \frac{1}{1+7 x} - \frac{1}{1+8 x}$.
$x=0$ पर,$y = \frac{\sqrt[3]{1} \sqrt[4]{1} \sqrt[5]{1}}{\sqrt[7]{1} \sqrt[8]{1}} = 1$.
$x=0$ और $y=1$ का मान अवकलज समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{1} \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = \frac{1}{1+0} + \frac{1}{1+0} + \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1+0} = 1 + 1 + 1 - 1 - 1 = 1$.
अतः,$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1$.

(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^n$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log y = n [\log(x+1) + \log(2x+1) + \log(3x+1) + \ldots + \log(nx+1)]$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = n \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$।
$x=0$ पर,$y = [(1)(1)(1) \ldots (1)]^n = 1^n = 1$।
$x=0$ और $y=1$ का मान अवकलज समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{1} \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = n [1 + 2 + 3 + \ldots + n]$।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = n \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n^2(n+1)}{2}$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $y=\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\ldots}}}$ है।
हम इसे $y=\sqrt{(x-\sin x)+y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x - \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx}(2y-1) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{2y-1}$.

(C) दिया गया है $y=f\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{d x}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) = \frac{(3-2 x)(2) - (2 x+3)(-2)}{(3-2 x)^2} = \frac{6-4 x+4 x+6}{(3-2 x)^2} = \frac{12}{(3-2 x)^2}$.
चूंकि $f^{\prime}(x)=\sin (\log x)$,इसलिए $f^{\prime}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) = \sin \left(\log \left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)\right)$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \sin \left(\log \left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)\right) \cdot \frac{12}{(3-2 x)^2}$.
$x=1$ पर,फलन का तर्क $\frac{2(1)+3}{3-2(1)} = 5$ है।
अतः $x=1$ पर अवकलज $\sin (\log 5) \cdot \frac{12}{(3-2)^2} = 12 \sin (\log 5)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\log(x+y)=2xy$ ... $(i)$
$x=0$ पर,$\log(0+y)=2(0)y$,जिसका अर्थ है $\log(y)=0$,अतः $y=e^0=1$।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$
अब $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
अतः,$x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर:
$2y \log_e(2x) = \log_e 4 + (2x - 2y) \log_e e$
चूँकि $\log_e 4 = 2 \log_e 2$ और $\log_e e = 1$,इसलिए:
$2y \log_e(2x) = 2 \log_e 2 + 2x - 2y$
$2$ से भाग देने पर:
$y \log_e(2x) = \log_e 2 + x - y$
$y$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + \log_e 2x) = x + \log_e 2$
$y = \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x} \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) + y \left( \frac{1}{x} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(i)$ से $y$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = \frac{x - \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log_e 2x) - (x + \log_e 2)}{x(1 + \log_e 2x)}$
$= \frac{x + x \log_e 2x - x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)}$
दोनों पक्षों को $(1 + \log_e 2x)$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log_e 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x}$

(B) दिया गया है: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
प्रथम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
चूंकि $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
इससे $2x^2y^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2y^2 = 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y\frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$.
$2x^2y\frac{dy}{dx} = -2xy^2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = \frac{-y}{x}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\log (x+y)=2xy \quad ...(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y^{\prime}) = 2(x y^{\prime} + y)$
$y^{\prime}$ के लिए हल करने पर:
$1 + y^{\prime} = 2(x+y)(x y^{\prime} + y)$
$1 + y^{\prime} = 2x^2 y^{\prime} + 2xy + 2xy y^{\prime} + 2y^2$
$y^{\prime}(1 - 2x^2 - 2xy) = 2xy + 2y^2 - 1$
$y^{\prime} = \frac{2xy + 2y^2 - 1}{1 - 2x^2 - 2xy}$
अब,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखकर $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\log(0+y) = 2(0)y$
$\log(y) = 0$
$y = e^0 = 1$
अब $x=0$ और $y=1$ को $y^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर:
$y^{\prime}(0) = \frac{2(0)(1) + 2(1)^2 - 1}{1 - 2(0)^2 - 2(0)(1)}$
$y^{\prime}(0) = \frac{0 + 2 - 1}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(A) दिया गया है $f(x) = 3^x$,जिसका अवकलन $f^{\prime}(x) = 3^x \log 3$ है। $x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = 3^0 \log 3 = \log 3$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $g(x) = 4^x$,जिसका अवकलन $g^{\prime}(x) = 4^x \log 4$ है। $x = 0$ पर,$g^{\prime}(0) = 4^0 \log 4 = \log 4$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर,$\frac{f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)}{1+f^{\prime}(0) g^{\prime}(0)} = \frac{\log 3 - \log 4}{1 + (\log 3)(\log 4)}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुण $\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ का उपयोग करने पर,अंश $\log \left(\frac{3}{4}\right)$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{1 + (\log 3)(\log 4)}$ है।

(C) मान लीजिए $y = f(\sec x)$ और $z = g(\tan x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$
$\frac{dz}{dx} = g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \sec x}$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dz} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{f^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot 1}{g^{\prime}(1) \cdot \sqrt{2}} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(A) माना $y = \sqrt{x^2+16}$.
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+16}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$.
माना $z = \frac{x}{x-1}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dz}{dx} = \frac{(x-1)(1) - x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$.
हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx}$ ज्ञात करना है।
$\frac{dy}{dz} = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}} \div \left( \frac{-1}{(x-1)^2} \right) = -\frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x^2+16}}$.
$x=5$ पर:
$\frac{dy}{dz} = -\frac{5(5-1)^2}{\sqrt{5^2+16}} = -\frac{5(16)}{\sqrt{25+16}} = -\frac{80}{\sqrt{41}}$.

(B) दिया गया है $x=3 \tan t$ और $y=3 \sec t$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 3 \sec t \tan t$
अब,प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \sec t \tan t}{3 \sec^2 t} = \frac{\tan t}{\sec t} = \sin t$
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin t) = \frac{d}{dt}(\sin t) \cdot \frac{dt}{dx} = \cos t \cdot \frac{1}{3 \sec^2 t} = \frac{\cos t}{3 \sec^2 t} = \frac{\cos^3 t}{3}$
अंत में,$t = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करें:
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{t=\frac{\pi}{4}} = \frac{(\cos(\pi/4))^3}{3} = \frac{(1/\sqrt{2})^3}{3} = \frac{1/(2\sqrt{2})}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$

(A) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $z = \cos ^{-1}(x^2)$ है।
$x^2 = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2)$।
तब,$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$।
सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta}{\sqrt{2}\cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}\right)$।
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \theta$।
अब $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2)$ का मान रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} z$।
अब $z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} z\right) = -\frac{1}{2}$।

(A) माना $p = f(\tan x)$ और $q = g(\sec x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{dp}{dx} = f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$
$\frac{dq}{dx} = g^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan x = 1$ और $\sec x = \sqrt{2}$ होता है।
$\left. \frac{dp}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = f^{\prime}(1) \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4$.
$\left. \frac{dq}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = g^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2} \cdot 1) = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
अभीष्ट अवकलज $\frac{dp}{dq} = \frac{dp/dx}{dq/dx} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) माना $u = \tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right]$ और $v = \cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{2 \sqrt{1+x^2}}}\right]$.
$x = \tan \theta$ रखने पर,$\theta = \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$u$ के लिए:
$u = \tan ^{-1}\left[\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right] = \tan ^{-1}\left[\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right] = \tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin ^2 (\theta/2)}{2 \sin (\theta/2) \cos (\theta/2)}\right] = \tan ^{-1}(\tan (\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{\tan ^{-1} x}{2}$.
$v$ के लिए:
$v = \cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{1+\sec \theta}{2 \sec \theta}}\right] = \cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{\cos \theta + 1}{2}}\right] = \cos ^{-1}\left[\sqrt{\frac{2 \cos ^2 (\theta/2)}{2}}\right] = \cos ^{-1}(\cos (\theta/2)) = \frac{\theta}{2} = \frac{\tan ^{-1} x}{2}$.
चूंकि $u = v$,इसलिए $\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(v) = 1$।

(B) दिया गया है $x=\log _{e}\left(\frac{\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2}}{\cos \frac{y}{2}+\sin \frac{y}{2}}\right)$.
अंश और हर को $\cos \frac{y}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^x=\frac{1-\tan \frac{y}{2}}{1+\tan \frac{y}{2}} = \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}\right) \quad \dots(i)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$e^x = \sec^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -2e^x \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}\right)$.
जब $t=\frac{1}{2}$,$\tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1-1/2}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{1/2}{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\frac{y}{2} = \frac{\pi}{6}$.
समीकरण $(i)$ में $\frac{y}{2} = \frac{\pi}{6}$ रखने पर,$e^x = \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) = \tan \frac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$.
अब,$\cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) = \cos^2 \frac{\pi}{12} = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = \frac{4+2\sqrt{3}}{8} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$.
अतः,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{1}{2}} = -2(2-\sqrt{3}) \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2}(4-3) = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{x^4+a^4}}\right)$।
माना $x^2=a^2 \tan \theta$,तो $\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x^2}{a^2}\right)$।
$y$ के व्यंजक में $x^2$ का मान रखने पर:
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{(a^2 \tan \theta)^2+a^4}}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^4 \tan ^2 \theta+a^4}}\right)$
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{a^2 \sqrt{\tan ^2 \theta+1}}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right)$
$y=\cos ^{-1}(\cos \theta) = \theta$
अतः,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{x^2}{a^2}\right)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+\left(\frac{x^2}{a^2}\right)^2} \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{x^2}{a^2}\right)$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+\frac{x^4}{a^4}} \cdot \frac{2x}{a^2} = \frac{a^4}{a^4+x^4} \cdot \frac{2x}{a^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 a^2 x}{x^4+a^4}$।

(A) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{\log \left(\frac{e}{x^2}\right)}{\log \left(ex^2\right)}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4+2 \log x}{1-8 \log x}\right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(\frac{e}{x^2}) = \log e - \log x^2 = 1 - 2\log x$ और $\log(ex^2) = \log e + \log x^2 = 1 + 2\log x$.
अतः,$y = \tan^{-1}\left(\frac{1-2\log x}{1+2\log x}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{4+2\log x}{1-8\log x}\right)$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(2\log x) = \tan^{-1}\left(\frac{1-2\log x}{1+2\log x}\right)$.
इसी प्रकार,$\tan^{-1}(4) + \tan^{-1}(2\log x) = \tan^{-1}\left(\frac{4+2\log x}{1-8\log x}\right)$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(2\log x) + \tan^{-1}(4) + \tan^{-1}(2\log x)$.
$y = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(4)$.
चूँकि $y$ एक अचर है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।

(B) दिया गया है $y=\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1}(x)}{1+\sin ^{-1}(x)}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \frac{1}{2} [\log(1-\sin^{-1}x) - \log(1+\sin^{-1}x)]$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1-\sin^{-1}x} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) - \frac{1}{1+\sin^{-1}x} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \right]$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{2\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1}{1-\sin^{-1}x} + \frac{1}{1+\sin^{-1}x} \right)$.
$x=0$ पर,$\sin^{-1}(0)=0$ और $y=1$ है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,1)} = -\frac{1}{2\sqrt{1-0}} \left( \frac{1}{1-0} + \frac{1}{1+0} \right) = -\frac{1}{2} (1+1) = -1$.

(D) माना $u = \log x$ है। तब $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2u}{1+u^2}\right)$ है।
$u = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2u}{1+u^2} = \sin(2\theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \sin^{-1}(\sin(2\theta)) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(u) = 2 \tan^{-1}(\log x)$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 2 \times \frac{1}{1+(\log x)^2} \times \frac{d}{dx}(\log x)$
$f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+(\log x)^2} \times \frac{1}{x} = \frac{2}{x(1+(\log x)^2)}$ है।
$x = e$ रखने पर:
$f^{\prime}(e) = \frac{2}{e(1+(\log e)^2)} = \frac{2}{e(1+1^2)} = \frac{2}{e(2)} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{4 \sin 2 x}{\cos 2 x-6 \sin ^2 x}\right)$.
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x - 6 \sin^2 x} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - 7 \sin^2 x} \right)$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x} \right)$.
हम $8 \tan x = 7 \tan x + \tan x$ लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{7 \tan x + \tan x}{1 - (7 \tan x)(\tan x)} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(7 \tan x) + \tan^{-1}(\tan x) = \tan^{-1}(7 \tan x) + x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (7 \tan x)^2} \cdot 7 \sec^2 x + 1 = \frac{7 \sec^2 x}{1 + 49 \tan^2 x} + 1$.
$x=0$ पर,$\tan 0 = 0$ और $\sec 0 = 1$:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{7(1)^2}{1 + 49(0)^2} + 1 = \frac{7}{1} + 1 = 8$.

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}(\sec x + \tan x)$.
इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}\right]$
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}\right) = \tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right]$
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) dx = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
अतः,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(B) दिया गया है $y = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$.
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$y = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 2(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2} + \sin^{-1} x) = \frac{2(2\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2})}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{1-x^2} y_1 = 4\sin^{-1} x - \pi$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-x^2} y_2 + y_1 \cdot (\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}) = \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $(1-x^2) y_2 - x y_1 = 4$.

(C) दिया गया है $x = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{e^{\cos^{-1} t}}$.
$x$ और $y$ का गुणा करने पर:
$xy = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}} \cdot \sqrt{e^{\cos^{-1} t}} = \sqrt{e^{\sin^{-1} t + \cos^{-1} t}}$.
चूंकि $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $xy = \sqrt{e^{\pi/2}}$,जो एक अचर पद है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \quad ... (i)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = -\left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right)$.
समीकरण $(i)$ से $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\left( \frac{x(-\frac{y}{x}) - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-y - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-2y}{x^2} \right) = \frac{2y}{x^2}$.