MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि $p = T$,$q = T$,$r = F$,और $s = F$ है।
प्रथम कथन पैटर्न $(p \wedge q) \vee r$ के लिए:
$(T \wedge T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$।
द्वितीय कथन पैटर्न $(p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ के लिए:
$(T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F) \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$।
अतः,सत्यता मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं।

(B) हम तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हैं।
$p \rightarrow \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee \sim(p \wedge \sim q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
$\equiv \sim p \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q$
$\equiv \sim p \vee q$

(C) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \leftrightarrow \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अतः,$(p \leftrightarrow \sim q) \equiv T$ और $(\sim p \wedge q) \equiv F$।
विकल्प $C$ $(p=T, q=F)$ की जाँच करने पर:
$\sim q = \sim F = T$।
तब $(p \leftrightarrow \sim q) = (T \leftrightarrow T) = T$।
और $(\sim p \wedge q) = (\sim T \wedge F) = (F \wedge F) = F$।
चूंकि पूर्ववर्ती $T$ है और परिणामी $F$ है,इसलिए कथन $T \rightarrow F = F$ होता है।
अतः,$p=T$ और $q=F$ है।

(D) मान लीजिए $p$ कथन है: "$x$ और $y$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $x y$ विषम है"।
मान लीजिए $q$ कथन है: "$x$ और $y$ दोनों विषम हैं"।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है "$x$ और $y$ दोनों विषम नहीं हैं"।
$\sim p$ का अर्थ है "$x y$ विषम नहीं है"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है "यदि $x$ और $y$ दोनों विषम नहीं हैं,तो $x y$ विषम नहीं है"।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना $p$ : सतह का क्षेत्रफल बढ़ता है।
माना $q$ : दबाव कम हो जाता है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है "सतह का क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है" और $\sim q$ का अर्थ है "दबाव कम नहीं होता है"।
अतः,प्रतिलोम कथन "यदि सतह का क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है,तो दबाव कम नहीं होता है।" है।
इस प्रकार,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) माना $p$: एक चतुर्भुज एक वर्ग है।
माना $q$: चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
कथन $1$ है $p \rightarrow q$।
कथन $2$ है $q \rightarrow p$।
परिभाषा के अनुसार,एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है।
अतः,कथन $2$,कथन $1$ का विलोम है।

(B) मान लीजिए कि $S$ कथन $(p \wedge q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
$S$ का प्रतिलोम $\sim(p \wedge q) \rightarrow \sim(p \vee \sim q)$ है।
तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए,प्रतिलोम है:
$\sim[\sim(p \wedge q)] \vee \sim(p \vee \sim q)$
$\equiv (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ (डी मॉर्गन के नियम द्वारा)
$\equiv (q \wedge p) \vee (q \wedge \sim p)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$\equiv q \wedge (p \vee \sim p)$ (वितरण नियम द्वारा)
$\equiv q \wedge T$ (पूरक नियम द्वारा,जहाँ $T$ एक पुनरुक्ति है)
$\equiv q$ (तत्समक नियम द्वारा)।
अब,प्रतिलोम का निषेध $\sim(q) = \sim q$ है।

(C) हम तार्किक नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पूरक नियम):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
फिर से वितरण नियम लागू करने पर:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ और $(q \vee q) \equiv q$ (वर्गसम नियम):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
चूंकि $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया है कि $q$ असत्य है और $p \wedge q \leftrightarrow r$ सत्य है।
चूंकि $q \equiv F$,इसलिए $p \wedge q \equiv F$ होगा।
द्वि-प्रतिबंधक कथन $p \wedge q \leftrightarrow r$ के सत्य होने के लिए,$r$ का सत्यता मान $p \wedge q$ के समान होना चाहिए।
अतः,$r \equiv F$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. चूंकि $F \rightarrow p$ हमेशा सत्य होता है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,जो एक व्याघात (contradiction) है।

(B) कथन $(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim (p \vee \sim q)$ है।
नियम $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim (p \wedge \sim q) \vee \sim (p \vee \sim q)$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार:
$(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
अब,इस प्रतिधनात्मक का निषेध:
$\sim [(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)]$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\sim (\sim p \vee q) \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$\sim C = (\sim p \vee q) \wedge (p \vee \sim q)$.

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ कब एक पुनरुक्ति है,हम व्यंजक $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ का विश्लेषण करते हैं।
चूंकि $(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$,इसलिए $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q] \equiv [(\sim p \vee q) \wedge \sim q]$ होता है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,यह $(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)$ बन जाता है।
चूंकि $(q \wedge \sim q) \equiv F$ है,इसलिए यह व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।
अब,मूल कथन $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow r$ है।
यह कथन तब एक पुनरुक्ति है जब $r \equiv \sim q$ हो,क्योंकि $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim q$ हमेशा सत्य होता है।

(A) माना $p$: संख्या एक विषम संख्या है।
माना $q$: संख्या $3$ से विभाज्य है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
द्वि-प्रतिबंधक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ होता है।
अतः,निषेध है: "संख्या एक विषम संख्या है लेकिन $3$ से विभाज्य नहीं है या संख्या $3$ से विभाज्य है लेकिन विषम संख्या नहीं है।"

(B) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
दूसरे भाग पर क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim q \wedge \sim r]$
दूसरे भाग पर डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
पूरक नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge T$ (जहाँ $T$ एक पुनरुक्ति है)
तत्समक नियम का उपयोग करने पर: $p$
अतः,यह कथन $p$ के समतुल्य है.

(B) कथन $p \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ असत्य है।
यह द्वि-प्रतिबंधक (biconditional) तब असत्य होता है जब $p$ और $(q \rightarrow p)$ के सत्य मान अलग-अलग हों।
यदि $p$ का मान $T$ है,तो $(q \rightarrow T)$ का मान $T$ होगा,इसलिए $T \leftrightarrow T$ का मान $T$ होगा।
यदि $p$ का मान $F$ है,तो द्वि-प्रतिबंधक को असत्य होने के लिए $(q \rightarrow F)$ का मान $T$ होना चाहिए।
$(q \rightarrow F)$ को $T$ होने के लिए,$q$ का मान $F$ होना चाहिए।
अतः,$p \equiv F$ और $q \equiv F$।
अब,विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $p$ $\rightarrow (p \vee \sim q) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee \sim F) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee T) \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$।
चूँकि परिणाम $T$ है,इसलिए विकल्प $(B)$ सही कथन पैटर्न है।

(C) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूलबिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ लंब द्वारा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
रेखा $L_1$ के लिए,$\alpha = \frac{\pi}{4}$ और $p = 1$:
$x \cos \frac{\pi}{4} + y \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow x + y - \sqrt{2} = 0$
रेखा $L_2$ के लिए,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$ और $p = 1$:
$x \cos \frac{3 \pi}{4} + y \sin \frac{3 \pi}{4} = 1$
$\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$
$\Rightarrow -x + y - \sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$
संयुक्त समीकरण दोनों व्यक्तिगत समीकरणों का गुणनफल है:
$(x + y - \sqrt{2})(x - y + \sqrt{2}) = 0$
$x^2 - y^2 + 2\sqrt{2}y - 2 = 0$

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण $b(x - x_1)^2 - 2h(x - x_1)(y - y_1) + a(y - y_1)^2 = 0$ होता है।
यहाँ $a = 5$,$h = 1$,$b = -3$ और $(x_1, y_1) = (3, -2)$ है।
मान रखने पर:
$-3(x - 3)^2 - 2(x - 3)(y + 2) + 5(y + 2)^2 = 0$
विस्तार करने पर:
$-3(x^2 - 6x + 9) - 2(xy + 2x - 3y - 6) + 5(y^2 + 4y + 4) = 0$
$-3x^2 + 18x - 27 - 2xy - 4x + 6y + 12 + 5y^2 + 20y + 20 = 0$
सरल करने पर:
$3x^2 + 2xy - 5y^2 - 14x - 26y - 5 = 0$.

(C) समीकरण $6x^2+xy-y^2=0$ को $-(y-3x)(y+2x)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो रेखाएं $y=3x$ और $y=-2x$ देती हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं का $x+3y=10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $y=3x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(3x)=10 \implies 10x=10 \implies x=1, y=3$. शीर्ष $(1,3)$ है।
$2$. $y=-2x$ और $x+3y=10$ का प्रतिच्छेदन: $x+3(-2x)=10 \implies -5x=10 \implies x=-2, y=4$. शीर्ष $(-2,4)$ है।
$3$. $y=3x$ और $y=-2x$ का प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $(0,0)$ है।
केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0+1-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+\lambda xy-y^2 \tan^2 \theta=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$h=\frac{\lambda}{2}$,और $b=-\tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\alpha = 2\theta$ है,इसलिए $\tan 2\theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{\lambda}{2})^2 - (1)(-\tan^2 \theta)}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \left|\frac{2\sqrt{\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4\tan^2 \theta}{(1-\tan^2 \theta)^2} = \frac{4(\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\tan^2 \theta = \frac{\lambda^2}{4} + \tan^2 \theta$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda^2}{4} = 0$.
अतः,$\lambda = 0$।

(C) दिया गया समीकरण: $(x \cos \alpha + y \sin \alpha)^2 = (x^2 + y^2) \sin^2 \alpha$
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha$
दोनों पक्षों से $y^2 \sin^2 \alpha$ घटाने पर: $x^2 \cos^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$,$h = \sin \alpha \cos \alpha$,और $b = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
मान रखने पर: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 0 = 0$
$\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
$\tan^2 \alpha = 1$
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,और $b=\lambda$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\tan \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \left|\frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(\lambda)}}{1+\lambda}\right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^2}$।
$(1+\lambda)^2 = 36(\frac{9}{4}-\lambda) = 81 - 36\lambda$।
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 81 - 36\lambda$।
$\lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$।
$(\lambda+40)(\lambda-2) = 0$।
चूंकि $\lambda \geq 0$,इसलिए $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $PQR$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका समकोण $Q(2, 1)$ पर है। रेखा $PR$ का समीकरण $2x + y = 3$ है,इसलिए इसकी ढाल $m = -2$ है।
चूंकि $\triangle PQR$ समद्विबाहु है और $Q$ पर समकोण है,रेखाएं $PQ$ और $QR$ रेखा $PR$ के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती हैं।
मान लीजिए $PQ$ की ढाल $m_1$ है। तब,$\tan 45^\circ = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$.
$1 = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| \Rightarrow 1 - 2m_1 = m_1 + 2$ या $1 - 2m_1 = -(m_1 + 2)$.
स्थिति $1$: $3m_1 = -1 \Rightarrow m_1 = -1/3$.
स्थिति $2$: $m_1 = 3$.
इस प्रकार,$PQ$ और $QR$ की ढाल $-1/3$ और $3$ हैं।
$Q(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण:
$y - 1 = -1/3(x - 2)$ $\Rightarrow 3y - 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$y - 1 = 3(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 3x - 6$ $\Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
संयुक्त समीकरण $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$.
$3x^2 + 8xy - 3y^2 - 20x - 10y + 25 = 0$.

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2 + (2a + 1)xy + 2y^2 = 0$ है।
इसे $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = a$,$2H = 2a + 1$,और $B = 2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
दिया गया है कि $m_1 = \frac{1}{m_2}$,जिसका अर्थ है $m_1 m_2 = 1$।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{2}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{a}{2} = 1$,इसलिए $a = 2$ प्राप्त होता है।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{2a + 1}{2}$ होता है।
$a = 2$ रखने पर,$m_1 + m_2 = -\frac{2(2) + 1}{2} = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $m_1^2 + m_2^2$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$m_1^2 + m_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 - 2(1) = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25 - 8}{4} = \frac{17}{4}$।

(B) रेखा $QR$ का ढाल $m = -2$ है। मान लीजिए रेखाओं $PQ$ और $PR$ के ढाल क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
चूंकि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए कोण $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$ हैं।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{-2 - m_1}{1 + (-2)m_1} \right| = 1$ है।
यह $\left| \frac{2 + m_1}{1 - 2m_1} \right| = 1$ देता है,इसलिए $2 + m_1 = 1 - 2m_1$ या $2 + m_1 = -(1 - 2m_1)$ होगा।
$3m_1 = -1$ को हल करने पर $m_1 = -1/3$ प्राप्त होता है। $-m_1 = -3$ को हल करने पर $m_2 = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $PQ$ और $PR$ बिंदु $P(2, 1)$ से होकर गुजरती हैं जिनके ढाल $-1/3$ और $3$ हैं।
समीकरण $y - 1 = -1/3(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$ और $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 3y - 5)(3x - y - 5) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $3x^2 - xy - 5x + 9xy - 3y^2 - 15y - 15x + 5y + 25 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = {}^{n}C_3$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{n+1} - T_n = 21$ के अनुसार,हम सूत्र प्रतिस्थापित करते हैं:
${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 21$.
सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = {}^{n}C_2$.
अतः,${}^{n}C_2 = 21$.
संयोजन सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n^2 - n - 42 = 0$.
$(n-7)(n+6) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है.

(C) कुल चयनित छात्र $= 5$. कुल उपलब्ध छात्र $= n$.
$2$ विशेष छात्रों के चयन के तरीकों की संख्या $= {}^{n-2}C_3$.
$2$ विशेष छात्रों के चयन न होने के तरीकों की संख्या $= {}^{n-2}C_5$.
दी गई शर्त के अनुसार,$\frac{{}^{n-2}C_3}{{}^{n-2}C_5} = \frac{2}{3}$.
सूत्र ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} \times \frac{5!(n-7)!}{(n-2)!} = \frac{2}{3}$
$\frac{20}{(n-5)(n-6)} = \frac{2}{3}$
$(n-5)(n-6) = 30$
$n^2 - 11n = 0$
अतः $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) माना बैठक में सदस्यों की संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक व्यक्ति अन्य सभी व्यक्तियों के साथ एक बार हाथ मिलाता है,इसलिए कुल हाथ मिलाने की संख्या ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कुल हाथ मिलाने की संख्या $45$ है,इसलिए:
${}^{n}C_{2} = 45$
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
चूंकि सदस्यों की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$ है।
अतः,बैठक में उपस्थित सदस्यों की संख्या $10$ है।

(D) स्थिति $I$: कोई लड़का शामिल नहीं है। $6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन ${}^6C_4 = 15$ तरीकों से किया जाता है। चयनित $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ तरीकों से किया जाता है। स्थिति $I$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $II$: ठीक एक लड़का शामिल है। $6$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ तरीकों से किया जाता है। चयनित $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ तरीकों से किया जाता है। स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
कुल तरीके $= 60 + 320 = 380$.

(C) कुल $5$ स्थान हैं। लड़का $B_1$ दूसरे स्थान पर निश्चित है।
शेष $4$ विद्यार्थी हैं (जिनमें $G_1$ और $G_2$ शामिल हैं)।
चूंकि $G_1$ और $G_2$ हमेशा साथ होने चाहिए,हम $(G_1, G_2)$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास शेष $4$ स्थानों में व्यवस्थित करने के लिए $3$ इकाइयाँ हैं: इकाई $(G_1, G_2)$ और अन्य $2$ विद्यार्थी।
हालाँकि,दूसरा स्थान $B_1$ द्वारा भरा हुआ है। उपलब्ध स्थान $1, 3, 4, 5$ हैं।
यदि हम इकाई $(G_1, G_2)$ को $(3, 4)$ या $(4, 5)$ स्थानों पर रखते हैं,तो इकाई को रखने के $2$ तरीके हैं।
इकाई के भीतर,$G_1$ और $G_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $2$ विद्यार्थियों को शेष $2$ स्थानों में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्था $= 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(C) कुल $5$ स्थान हैं। लड़का $B_1$ दूसरे स्थान पर निश्चित है।
शेष स्थान $1, 3, 4, 5$ हैं।
मान लीजिए $5$ छात्र $B_1, G_1, G_2, S_1, S_2$ हैं।
चूंकि $G_1$ और $G_2$ हमेशा साथ होने चाहिए,हम उन्हें एक इकाई $(G_1G_2)$ के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास $(G_1G_2), S_1, S_2$ इकाइयाँ हैं जिन्हें शेष $4$ स्थानों में व्यवस्थित करना है।
स्थिति $1$: $(G_1G_2)$ स्थान $(3, 4)$ पर हों।
शेष स्थान $1$ और $5$ को $S_1, S_2$ द्वारा $2!$ तरीकों से भरा जा सकता है। $G_1, G_2$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 2! \times 2! = 4$.
स्थिति $2$: $(G_1G_2)$ स्थान $(4, 5)$ पर हों।
शेष स्थान $1$ और $3$ को $S_1, S_2$ द्वारा $2!$ तरीकों से भरा जा सकता है। $G_1, G_2$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 2! \times 2! = 4$.
कुल व्यवस्था $= 4 + 4 = 8$.

(C) $CALCULATE$ शब्द में $9$ अक्षर हैं।
जिसमें $C$ दो बार,$A$ दो बार,$L$ दो बार और $E, U, T$ एक बार आते हैं।
यहाँ $5$ व्यंजन $(C, C, L, L, T)$ और $4$ स्वर $(A, A, U, E)$ हैं।
$5$ व्यंजनों में से दो व्यंजनों को शुरुआत और अंत के स्थान पर $P(5, 2)$ तरीकों से रखा जा सकता है।
पुनरावृत्ति को ध्यान में रखते हुए,कुल शब्द $= \frac{P(5, 2) \times 7!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{20 \times 7!}{8} = \frac{5 \times 7!}{2}$।

(A) $n$ शीर्षों वाले एक वृत्त को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या $P_n(k)$ है कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों,जिसका सूत्र $P_n(k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या)।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P_5(3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$।
$P_5(3) = 2^5 - 1(2) = 32 - 2 = 30$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $30$ है।

(D) स्थिति $I$: कोई लड़का शामिल नहीं है।
$6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन $= {}^{6}C_{4} = 15$.
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ नेता का चयन $= {}^{4}C_{1} = 4$.
स्थिति $I$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $II$: ठीक एक लड़का शामिल है।
$6$ लड़कियों में से $3$ लड़कियाँ और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन $= {}^{6}C_{3} \times {}^{4}C_{1} = 20 \times 4 = 80$.
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ नेता का चयन $= {}^{4}C_{1} = 4$.
स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $= 60 + 320 = 380$.

(C) $8$ लड़कों और $5$ लड़कियों में से $5$ व्यक्तियों की एक समिति इस प्रकार बनानी है कि उसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ और अधिक से अधिक $2$ लड़के हों।
चूँकि समिति का आकार $5$ है,इसलिए शर्तों को पूरा करने वाले (लड़कियों,लड़कों) के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. $5$ लड़कियाँ और $0$ लड़के: $\binom{5}{5} \times \binom{8}{0} = 1 \times 1 = 1$
$2$. $4$ लड़कियाँ और $1$ लड़का: $\binom{5}{4} \times \binom{8}{1} = 5 \times 8 = 40$
$3$. $3$ लड़कियाँ और $2$ लड़के: $\binom{5}{3} \times \binom{8}{2} = 10 \times 28 = 280$
कुल तरीकों की संख्या = $1 + 40 + 280 = 321$.

(D) मान लीजिए $A, B, C$ वे घटनाएँ हैं कि पहला,दूसरा और तीसरा समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हैं।
प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}, P(A') = \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}, P(B') = \frac{4}{7}$
$P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}, P(C') = \frac{3}{7}$
बहुमत तब होगा यदि कम से कम दो समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हों।
प्रायिकता $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ है।
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(A) जहाज $A$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ है।
जहाज $B$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ है।
जहाज $C$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए उन सभी के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ होगी।
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{6}C_{3} = 20$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज तब बनता है जब हम नियमित षट्भुज के एकांतर शीर्षों को चुनते हैं।
नियमित षट्भुज में समबाहु त्रिभुज बनाने वाले शीर्षों के समुच्चय $\{1, 3, 5\}$ और $\{2, 4, 6\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 2$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(A) माना $X$ वह घटना है कि टिकट पर अंकित संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
$\therefore X = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$
$\therefore n(X) = 10$
$\text{साथ ही, } n(S) = 100$
$\therefore \text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{n(X)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

(D) कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
माना घटना $A$ काला पत्ता निकालने की है और घटना $B$ फेस कार्ड निकालने की है।
काले पत्तों की संख्या $n(A) = 26$ है।
फेस कार्ड की संख्या $n(B) = 12$ है।
काले फेस कार्ड की संख्या $n(A \cap B) = 6$ है (क्योंकि दो काले सूट में से प्रत्येक में $3$ काले फेस कार्ड होते हैं)।
काला पत्ता या फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$.

(A) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में सभी संभावित जोड़े $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
चूंकि प्रत्येक पासे पर $6$ फलक हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है।
अनुकूल परिणाम: $(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (2,5), (2,11), (3,2), (5,2), (11,2)$ हैं।
अतः,$n(A) = 9$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(A) कुल संख्याएँ $= 6 + 8 = 14$.
$14$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के तरीके $= ^{14}C_4 = 1001$.
$4$ संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक होगा यदि:
$i$. एक संख्या ऋणात्मक और तीन धनात्मक हों: $^{8}C_1 \times ^{6}C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$ii$. तीन संख्याएँ ऋणात्मक और एक धनात्मक हो: $^{8}C_3 \times ^{6}C_1 = 56 \times 6 = 336$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 160 + 336 = 496$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{496}{1001}$.

(A) यह दिया गया है कि $A$,$B$,और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$।
$A$ के पक्ष में ऑड्स $4 : 6$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10}$।
$B$ के विपक्ष में ऑड्स $7 : 3$ हैं,जिसका अर्थ है कि $B$ के पक्ष में ऑड्स $3 : 7$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$।
इन मानों को योग में रखने पर: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$।
$\frac{7}{10} + P(C) = 1 \implies P(C) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$।
पूरक घटना $C'$ की प्रायिकता $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ है।
$C$ के विपक्ष में ऑड्स $P(C') : P(C) = \frac{7}{10} : \frac{3}{10} = 7 : 3$ हैं।

(D) पहले समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ है।
$\therefore P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
दूसरे समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
$\therefore P(B') = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
तीसरे समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
$\therefore P(C') = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
बहुमत पुस्तक के पक्ष में तब होगा यदि कम से कम दो समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हों।
अतः,प्रायिकता $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ है।
$= P(A) \cdot P(B) \cdot P(C') + P(A) \cdot P(B') \cdot P(C) + P(A') \cdot P(B) \cdot P(C) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.
$= \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right)$.
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(B) मान लीजिए $P(A), P(B),$ और $P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B,$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$
समस्या किसी के द्वारा हल न होने की प्रायिकता वह है कि तीनों छात्र इसे हल करने में विफल रहते हैं।
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
चूंकि छात्र स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है:
$P(\text{कोई हल नहीं}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
समस्या के हल होने की प्रायिकता,समस्या के हल न होने की प्रायिकता की पूरक है:
$P(\text{हल हो गई}) = 1 - P(\text{कोई हल नहीं}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) माना $a = \sqrt{3}+1$,$b = \sqrt{3}-1$,और $C = 60^{\circ}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = (3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) - 2(3-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 8 - 2 = 6 \implies c = \sqrt{6}$।
टैंजेंट नियम का उपयोग करने पर:
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)} \cot(30^{\circ})$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$।
अतः,$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \implies A-B = 90^{\circ}$।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 60^{\circ}}{6} = \frac{\sin B}{8}$
चूंकि $B = \sin^{-1} x$,इसलिए $\sin B = x$ है।
$\frac{\sqrt{3}/2}{6} = \frac{x}{8}$
$\frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{x}{8}$
$x = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(D) कोसाइन नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{3})(1) \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a^2 = 4 - 3 = 1$
$\therefore a = 1$
यहाँ $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle B$ है।
$\angle B$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$
$\therefore B = 120^{\circ}$

(C) दिया गया समीकरण: $a \cdot \cos^2 \frac{C}{2} + c \cdot \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
प्रक्षेप सूत्र $b = a \cos C + c \cos A$ का उपयोग करने पर:
$a + c + b = 3b$
$a + c = 2b$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं।

(A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास $\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{8}=\frac{c+a}{9}=k$ है।
इससे हमें प्राप्त होता है:
$a+b=7k$ $(i)$
$b+c=8k$ $(ii)$
$c+a=9k$ $(iii)$
इन समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(a+b+c)=24k$ प्राप्त होता है,इसलिए $a+b+c=12k$ $(iv)$।
समीकरण $(iv)$ से क्रमशः $(i), (ii), (iii)$ को घटाने पर:
$c = (a+b+c) - (a+b) = 12k - 7k = 5k$
$a = (a+b+c) - (b+c) = 12k - 8k = 4k$
$b = (a+b+c) - (c+a) = 12k - 9k = 3k$
चूंकि $a^2+b^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 = (5k)^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c$ है।
अतः,$\angle C = 90^{\circ}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$।
इसलिए,$\frac{(A(\triangle ABC))^2}{k^4} = \frac{(6k^2)^2}{k^4} = \frac{36k^4}{k^4} = 36$।

(C) $\triangle ABD$ में,ज्या (Sine) के नियम से:
$\frac{\sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{\sin(\angle B)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{AD} = \frac{\sqrt{3}/2}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} \quad \dots (i)$
$\triangle ADC$ में,ज्या (Sine) के नियम से:
$\frac{\sin(\angle CAD)}{DC} = \frac{\sin(\angle C)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle CAD)}{3x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{AD} = \frac{1/\sqrt{2}}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

(A) माना त्रिभुज के कोण $A = \frac{\pi}{4}$,$B = \frac{\pi}{3}$ और $C = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12}$ हैं।
सबसे छोटा कोण $A = \frac{\pi}{4}$ और सबसे बड़ा कोण $C = \frac{5\pi}{12}$ है।
ज्या नियम (Law of Sines) के अनुसार,भुजाओं का अनुपात $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}$ है।
$\frac{a}{c} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{5\pi}{12})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(D) दिया गया क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{y^2}{2}$ और $x = y+4$ को बराबर रखते हैं।
$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{y^2}{2} = y+4$
$y^2 = 2y + 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 4$ या $y = -2$ है।
जब $y = 4$,तब $x = 4+4 = 8$। जब $y = -2$,तब $x = -2+4 = 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(8, 4)$ और $(2, -2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ को $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$
$A = (\frac{16}{2} + 4(4) - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} + 4(-2) - \frac{-8}{6})$
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3}$
$A = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3})$
$A = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=|x|$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,$y=|x|$,$y=x$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2 = x$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं,जिससे $x(x-1)=0$ मिलता है,अतः $x=0$ और $x=1$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है। रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a^2}{2}+y^2=a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=\frac{a^2}{2}$,अतः $y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}$.
वांछित क्षेत्रफल वृत्त और रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a$
$= 2 \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{4})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]$
$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)$.

(C) वक्र $y=3x+1$ और $y=4x+1$ उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $3x+1 = 4x+1$,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।
दी गई सीमा $x=3$ के साथ,क्षेत्र $x=0$ और $x=3$ के बीच परिबद्ध है।
इस अंतराल में,$4x+1 \geq 3x+1$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{3} [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{3} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया वक्र $y = a\sqrt{x} + bx$ है। चूंकि यह $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = a(1) + b(1)$,जिससे हमें $a + b = 2$ प्राप्त होता है ...$(i)$।
वक्र,$x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_0^4 (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ द्वारा दिया गया है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_0^4 (ax^{1/2} + bx) dx = \left[ a \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{2a}{3} \cdot 4^{3/2} + \frac{b}{2} \cdot 4^2 \right) = 8$.
$\frac{2a}{3} \cdot 8 + \frac{b}{2} \cdot 16 = 8$.
$\frac{16a}{3} + 8b = 8$.
$8$ से भाग देने पर,हमें $\frac{2a}{3} + b = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2a + 3b = 3$ हो जाता है ...(ii)।
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$b = 2 - a$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 3(2 - a) = 3$.
$2a + 6 - 3a = 3$.
$-a = -3 \Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ को $(i)$ में रखने पर:
$3 + b = 2 \Rightarrow b = -1$.
अतः,$a = 3$ और $b = -1$।

(A) वक्र $y=(x-1)^2$,$y=(x+1)^2$ और रेखा $y=\frac{1}{4}$ हैं।
समरूपता द्वारा,क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में $y=(x-1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ द्वारा $x=0$ से $x=\frac{1}{2}$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल का दोगुना है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= 2 \int_0^{1/2} [(x-1)^2 - 1/4] dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{1/2} = 2 \left[ (\frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1)^3}{3} - 0) \right] = 2 \left[ -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{-1-3+8}{24} \right] = 2 \left[ \frac{4}{24} \right] = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल $x=1$ और $x=2$ सीमाओं के बीच ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_1^2 (e^x - \log x) dx$
$= \int_1^2 e^x dx - \int_1^2 \log x dx$
$= [e^x]_1^2 - [x \log x - x]_1^2$
$= (e^2 - e^1) - [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)]$
चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए:
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 2 - 0 + 1]$
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 1]$
$= e^2 - e + 1 - 2 \log 2 \text{ वर्ग इकाई}$

(C) माना $x$ समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान है।
क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ द्वारा दी जाती है।
समाकलन करने पर,$\ln(x) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t=0$ पर,$x=27$,इसलिए $C = \ln(27)$।
अतः,$\ln(x) = -kt + \ln(27)$।
$t=3$ पर,$x=8$,इसलिए $\ln(8) = -3k + \ln(27)$,जिससे $3k = \ln(\frac{27}{8})$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \ln(\frac{3}{2})$।
हमें एक और घंटे बाद,यानी $t=4$ पर द्रव्यमान ज्ञात करना है।
$\ln(x) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(27) = \ln(\frac{16}{81} \times 27) = \ln(\frac{16}{3})$।
अतः,$x = \frac{16}{3} \text{ ग्राम}$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta_0 = 25^{\circ} C$ है।
समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(55)$।
अतः,$\ln(\theta - 25) = -kt + \ln(55)$,या $\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -kt$।
$t = 30$ मिनट पर,$\theta = 50^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{50 - 25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{5}{11}\right) = -30k$।
$t = 60$ मिनट के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -60k = 2(-30k) = 2 \ln\left(\frac{5}{11}\right)$।
इसलिए,$\frac{\theta - 25}{55} = \left(\frac{5}{11}\right)^2 = \frac{25}{121}$।
$\theta - 25 = 55 \times \frac{25}{121} = 5 \times \frac{25}{11} = \frac{125}{11} \approx 11.36$।
$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$. आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,$|A| \neq 0$.
$|A| = (1 - \omega c)(1 - a\omega) \neq 0$.
अतः $c \neq \omega^2$ और $a \neq \omega^2$.
चूंकि $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,इसलिए $a = \omega$ और $c = \omega$ प्राप्त होता है।
$b$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है।
अतः,समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या $2$ है।

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
इस प्रकार,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।

(D) महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x]$ प्रत्येक पूर्णांक मान पर असंतत होता है।
दिए गए अंतराल $x \in \left(-\frac{7}{2}, 100\right)$ को $x \in (-3.5, 100)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस अंतराल में आने वाले पूर्णांक $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, 99\}$ हैं।
कुल पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $\text{पदों की संख्या} = (\text{अंतिम पद} - \text{प्रथम पद}) + 1$ है।
यहाँ,प्रथम पद $-3$ है और अंतिम पद $99$ है।
असंतत बिंदुओं की कुल संख्या = $(99 - (-3)) + 1 = 99 + 3 + 1 = 103$ है।
अतः,असंतत बिंदुओं की कुल संख्या $103$ है।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x=0$ पर $\text{L.H.L.}$ की गणना करें:
$\text{L.H.L.} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos kx}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(\frac{kx}{2})}{\frac{kx}{2}} \cdot \frac{k}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$.
अब,$x=0$ पर $\text{R.H.L.}$ की गणना करें:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\text{R.H.L.} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूँकि फलन $x=0$ पर सतत है,$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.}$:
$\frac{k^2}{2} = 8 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $4$ है।

(A) $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \Rightarrow a = -2b \quad (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
अंत में,$2a + 3b = 2(\frac{\pi}{6}) + 3(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ 1 - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \right]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ (1 - \cos \frac{x}{2}) - \cos \frac{x}{4} (1 - \cos \frac{x}{2}) \right] = \frac{4}{x^4} (1 - \cos \frac{x}{2}) (1 - \cos \frac{x}{4})$.
चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{4}{x^4} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} \right) \left( 2 \sin^2 \frac{x}{8} \right) = 16 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{4}}{x^2} \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{8}}{x^2}$.
$(\frac{1}{4})^2$ और $(\frac{1}{8})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(0) = 16 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{4}}{\frac{x}{4}} \right)^2 \cdot \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{\sin \frac{x}{8}}{\frac{x}{8}} \right)^2 \cdot \frac{1}{64} = 16 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{64} \cdot (1)^2 \cdot (1)^2 = \frac{1}{64}$.

(B) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है,इसलिए यह $x = 0$ पर भी सतत होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$.
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx}}{x}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1+mx} - \sqrt{1-mx})(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+mx) - (1-mx)}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2mx}{x(\sqrt{1+mx} + \sqrt{1-mx})} = \frac{2m}{1+1} = m$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर: $m = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = f(1-x)$ और $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^b g(x) dx = \int_{a}^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -1$ और $b = 2$ है,हमें $a+b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$ है।
चूँकि $f(1-x) = f(x)$,हमें $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx$ प्राप्त होता है।
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$ है।
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$ है।
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है।
चूँकि $R_2$,$y = f(x)$ द्वारा $x = -1$ से $x = 2$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल है,इसलिए $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है।
अतः,$R_2 = 2 R_1$ है।

(D) $x < 3$ के लिए,$|x-3| = -(x-3)$,अतः $f(x) = \frac{x-3}{-(x-3)} + a = -1 + a = a - 1$ होगा।
$x > 3$ के लिए,$|x-3| = (x-3)$,अतः $f(x) = \frac{x-3}{x-3} + b = 1 + b$ होगा।
चूँकि $f(x)$ बिंदु $x=3$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा,दायाँ सीमा और फलन का मान $x=3$ पर समान होना चाहिए।
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) \implies a - 1 = a + b \implies b = -1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \implies 1 + b = a + b \implies a = 1$।
अतः,$a - b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूंकि $\text{LHL} = \text{RHL} = 8$,इसलिए सांतत्य के लिए $a = 8$ होगा।

(C) चूंकि $f(x)$,$X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_0^1 ax dx + \int_1^2 a dx + \int_2^3 (3a - ax) dx = 1$
$a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + a [x]_1^2 + \left[ 3ax - \frac{ax^2}{2} \right]_2^3 = 1$
$a(\frac{1}{2}) + a(1) + [(9a - \frac{9a}{2}) - (6a - \frac{4a}{2})] = 1$
$\frac{a}{2} + a + [\frac{9a}{2} - 4a] = 1$
$\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$

(B) दिया गया फलन $f(t) = \frac{1}{t^2 + t - 2}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर,$f(t) = \frac{1}{(t + 2)(t - 1)}$ प्राप्त होता है।
फलन $f(t)$ वहाँ असंतत है जहाँ हर शून्य होता है,अर्थात $t = -2$ और $t = 1$ पर।
अब,$x$ के मान ज्ञात करने के लिए $t = \frac{1}{x - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t = -2$ के लिए:
$\frac{1}{x - 1} = -2 \implies x - 1 = -\frac{1}{2} \implies x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$t = 1$ के लिए:
$\frac{1}{x - 1} = 1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.
अतः,फलन $f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ और $x = 2$ पर असंतत है।

(B) क्युमुलेटिव डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन (c.d.f.) $F(x)$ को प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन (p.d.f.) $f(x)$ के $-\infty$ से $x$ तक के समाकलन (integral) के रूप में परिभाषित किया गया है।
$0 < x < 1$ के लिए,हमारे पास है:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
$F(x) = \int_0^x 12t^2(1-t) dt$
$F(x) = 12 \int_0^x (t^2 - t^3) dt$
$F(x) = 12 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_0^x$
$F(x) = 12 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right)$
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चूँकि $f(x)$ अंतराल $[-2,2]$ पर सतत है,इसलिए यह $x=0$ और $x=1$ पर भी सतत होगा।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin ax}{x} + 3) = a + 3$.
$\lim_{x \to 0^+} (2x + 7) = 7$.
दोनों को बराबर करने पर,$a + 3 = 7 \implies a = 4$.
$x=1$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (2x + 7) = 2(1) + 7 = 9$.
$\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+8} - b) = \sqrt{1+8} - b = 3 - b$.
दोनों को बराबर करने पर,$9 = 3 - b \implies b = -6$.
अतः,$2a + 3b = 2(4) + 3(-6) = 8 - 18 = -10$.

(B) फलन $f(x) = [x] \cdot \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right)$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,जो $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
माना $x = n$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x = n$ पर,पद $\cos \left( \frac{2n - 1}{2} \pi \right) = \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ होता है।
जब हम सीमा की जाँच करते हैं,तो बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा दोनों $0$ प्राप्त होती हैं,और $f(n) = 0$ है।
अतः,यह फलन सभी पूर्णांक बिंदुओं पर संतत है। इस प्रकार,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,लेकिन यदि प्रश्न का उद्देश्य $[x]$ की असंततता पूछना है,तो उत्तर $C$ माना जाएगा।

(C) चूँकि फलन $f$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है,अतः सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log \left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\log(1+3x) - \log(1-2x)]$
$= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\log(1+3x)}{x} - \frac{\log(1-2x)}{x} \right]$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \left[ 3 \cdot \frac{\log(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log(1-2x)}{-2x} \right]$
$= 3(1) + 2(1) = 5$.
अतः,$k = 5$.

(A) $f(x) = |x - \pi|(e^{|x|} - 1) \sin |x|$ की $x = \pi$ और $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$1$. $x = \pi$ पर अवकलनीयता:
$f(\pi) = 0$.
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi + h) - f(\pi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|(e^{|\pi + h|} - 1) \sin |\pi + h|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} (e^{\pi} - 1) \sin \pi = 0$.
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = \pi$ पर अवकलनीय है।
$2$. $x = 0$ पर अवकलनीयता:
$f(0) = 0$.
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h - \pi|(e^{|h|} - 1) \sin |h|}{h}$.
जैसे $h \to 0$,$e^{|h|} - 1 \approx |h|$ और $\sin |h| \approx |h|$.
अतः,सीमा $\lim_{h \to 0} \frac{|-\pi| \cdot |h| \cdot |h|}{h} = \lim_{h \to 0} \pi \cdot \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \pi h = 0$.
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर भी अवकलनीय है।
चूंकि फलन हर जगह अवकलनीय है,इसलिए समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय $\phi$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log x$ अंतराल $[1, e]$ पर है।
सबसे पहले,फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{x}$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $(1, e)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि:
$f'(c) = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1}$.
मान रखने पर:
$f(e) = \log e = 1$ और $f(1) = \log 1 = 0$.
अतः,$\frac{1}{c} = \frac{1 - 0}{e - 1}$.
$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1}$.
इसलिए,$c = e - 1$.

(C) माना $I = \int_0^1 (\cos^{-1} x)(1) \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \cos^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = x$.
$I = [x \cos^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx$.
$I = [x \cos^{-1} x]_0^1 + \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
समाकलन $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ के लिए,$t = 1-x^2$ लें,तो $dt = -2x \, dx$,इसलिए $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$.
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\sqrt{1-x^2}$.
अतः,$I = [x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = [1 \cdot \cos^{-1}(1) - \sqrt{1-1^2}] - [0 \cdot \cos^{-1}(0) - \sqrt{1-0^2}]$.
$I = [1 \cdot 0 - 0] - [0 - 1] = 0 - (-1) = 1$.

(A) माना $I = \int_1^2 \frac{dx}{(x^2-2x+4)^{\frac{3}{2}}} = \int_1^2 \frac{dx}{((x-1)^2+3)^{\frac{3}{2}}}$.
$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x=1$,तो $\theta=0$ और जब $x=2$,तो $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः $\theta = \frac{\pi}{6}$।
$I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{(3 \sec^2 \theta)^{\frac{3}{2}}} \ d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3\sqrt{3} \sec^3 \theta} \ d\theta = \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos \theta \ d\theta$.
$I = \frac{1}{3} [\sin \theta]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{3} (\sin \frac{\pi}{6} - \sin 0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
दिया गया है कि $\frac{k}{k+5} = \frac{1}{6}$,अतः $6k = k+5$,जिसका अर्थ है $5k = 5$,अर्थात $k = 1$।

$(A)$ माना $I = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \,d x$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ तब $\theta = 0$ और जब $x = \frac{1}{2}$ तब $\theta = \frac{\pi}{6}$।
हर $(1 - \sin^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = (\cos^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = \cos^3 \theta$ हो जाता है।
अतः, $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2 \theta \cdot \cos \theta}{\cos^3 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \tan^2 \theta d\theta$।
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (\sec^2 \theta - 1) d\theta = [\tan \theta - \theta]_0^{\frac{\pi}{6}}$।
$I = (\tan \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) - (\tan 0 - 0) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \pi}{6}$।
दिया गया है कि $I = \frac{k}{6}$, तुलना करने पर $k = 2\sqrt{3} - \pi$ प्राप्त होता है।

(C) $\text{माना } I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$ $\quad \dots (i)$
$\text{गुणधर्म } \int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx \text{ का उपयोग करते हुए:}$
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \cos(\pi - x)} \,dx$
$\text{चूंकि } \tan(\pi - x) = -\tan x, \sec(\pi - x) = -\sec x, \text{और } \cos(\pi - x) = -\cos x:$
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-(\sec x + \cos x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$ $\quad \dots (ii)$
$(i) \text{ और } (ii) \text{ को जोड़ने पर:}$
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x / \cos x}{1/\cos x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \,dx$
$\text{माना } t = \cos x, \text{तब } dt = -\sin x \,dx. \text{ जब } x=0, t=1; \text{जब } x=\pi, t=-1.$
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$
$2I = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$\text{अतः, } I = \frac{\pi^2}{4}$.

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\frac{4}{3}} \cos^2 x} \, dx$
$= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 x}{\tan^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = \frac{\pi}{6}$,तब $t = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.
जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
$I = \int_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}} t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \left[ \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} \right]_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}} = -3 \left[ t^{-\frac{1}{3}} \right]_{3^{-\frac{1}{2}}}^{3^{\frac{1}{2}}}$
$= -3 \left( (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} - (3^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} \right) = -3 \left( 3^{-\frac{1}{6}} - 3^{\frac{1}{6}} \right)$
$= 3 \cdot 3^{\frac{1}{6}} - 3 \cdot 3^{-\frac{1}{6}} = 3^{\frac{7}{6}} - 3^{\frac{5}{6}}$

(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)]$ है।
हम $h(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$h(-x) = [f(-x)+f(x)][g(-x)-g(x)]$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$h(-x) = [f(x)+f(-x)] \cdot -[g(x)-g(-x)]$।
$h(-x) = -[f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] = -h(x)$।
चूंकि $h(-x) = -h(x)$,इसलिए फलन $h(x)$ एक विषम (odd) फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $h(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx = 0$।

(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u) = \tan^{-1}(\frac{1}{u})$ जब $u > 0$ हो।
अतः,$\cot^{-1}(\frac{x}{x^2+1}) = \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})$ जब $x > 0$ हो।
साथ ही,$\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,समाकल्य (integrand) $x \neq 0$ के लिए $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$I = \int_{-1}^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^3$.
$I = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$.

(B) माना $I = \int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x}$ है।
प्रतिस्थापन $\tan \frac{x}{2} = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
जब $x$,$0$ से $\pi$ तक जाता है,तो $t$,$\tan(0) = 0$ से $\tan(\frac{\pi}{2}) = \infty$ तक जाता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{4 + 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4 + 4t^2 + 3 - 3t^2} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{7 + t^2}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{7}} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)]$।
चूंकि $\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(0) = 0$ है:
$I = \frac{2}{\sqrt{7}} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$।

(D) $\int_0^4 |2x - 5| \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है।
$2x - 5 = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{5}{2}$,$0$ और $4$ के बीच स्थित है,इसलिए हम समाकलन को $x = \frac{5}{2}$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_0^4 |2x - 5| \, dx = \int_0^{\frac{5}{2}} -(2x - 5) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= \int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x) \, dx + \int_{\frac{5}{2}}^4 (2x - 5) \, dx$
$= [5x - x^2]_0^{\frac{5}{2}} + [x^2 - 5x]_{\frac{5}{2}}^4$
$= (5(\frac{5}{2}) - (\frac{5}{2})^2) - (0) + ((4)^2 - 5(4)) - ((\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}))$
$= (\frac{25}{2} - \frac{25}{4}) + ((16 - 20) - (\frac{25}{4} - \frac{25}{2}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 - (-\frac{25}{4}))$
$= \frac{25}{4} + (-4 + \frac{25}{4}) = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.

(B) माना $I = \int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$.
फलन $f(x) = \sin x - \frac{2x}{\pi}$ पर विचार करें।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$.
$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \ge \frac{2x}{\pi}$,इसलिए $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \sin x - \frac{2x}{\pi}$.
$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ के लिए,$\sin x \le \frac{2x}{\pi}$,इसलिए $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \frac{2x}{\pi} - \sin x$.
अतः,$I = \int_0^{\pi/2} (\sin x - \frac{2x}{\pi}) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\frac{2x}{\pi} - \sin x) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = [-\cos x - \frac{x^2}{\pi}]_0^{\pi/2} + [\frac{x^2}{\pi} + \cos x]_{\pi/2}^{\pi}$.
$I = [(-\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{(\pi/2)^2}{\pi}) - (-\cos(0) - 0)] + [(\frac{\pi^2}{\pi} + \cos(\pi)) - (\frac{(\pi/2)^2}{\pi} + \cos(\frac{\pi}{2}))]$.
$I = [(0 - \frac{\pi}{4}) - (-1)] + [(\pi - 1) - (\frac{\pi}{4} + 0)]$.
$I = 1 - \frac{\pi}{4} + \pi - 1 - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

(B) हमें $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ की परिभाषा के अनुसार समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$
$|x| \leq 2$ के लिए,$f(x) = e^{\cos x} \sin x$ है। ध्यान दें कि $g(x) = e^{\cos x} \sin x$ एक विषम फलन है क्योंकि $g(-x) = e^{\cos(-x)} \sin(-x) = e^{\cos x} (-\sin x) = -g(x)$ है।
एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है। अतः,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x} \sin x dx = 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = 2$ है। अतः,$\int_{2}^{3} 2 dx = 2[x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2(1) = 2$ है।
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $0 + 2 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta$।
योग $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n \theta + \tan^{n-2} \theta) \, d\theta$ पर विचार करें।
$\tan^{n-2} \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta (\tan^2 \theta + 1) \, d\theta$।
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,इसलिए:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$।
मान लीजिए $u = \tan \theta$,तो $du = \sec^2 \theta \, d\theta$।
जब $\theta = 0$,तब $u = 0$ और जब $\theta = \frac{\pi}{4}$,तब $u = 1$।
अतः,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।
$n = 12$ के लिए,$I_{12} + I_{10} = \frac{1}{12-1} = \frac{1}{11}$।

(C) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=f(x)$.
$f(x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1) = 0 + C$,जिसका अर्थ है कि $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^x$.
$f(x)+g(x)=x^2$ होने के कारण,$g(x) = x^2 - e^x$ है।
अब,हमें समाकलन $I = \int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$I = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx = \int_0^1 x^2 e^x dx - \int_0^1 e^{2x} dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$.
निश्चित समाकलन का मान: $[e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = (e(1-2+2)) - (e^0(0-0+2)) = e - 2$.
दूसरे भाग का मान: $\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$.
अतः,$I = (e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} = e - \frac{e^2}{2} - \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = (1-h) + h = 1$ है।
$I_1$ पर यह गुणधर्म लागू करने पर:
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)(1-(1-x))) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)x) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx - \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$
$I_1 = I_2 - I_1$
$2I_1 = I_2$
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2}$।

(B) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\cos(A+B) [\cos A \cos B - \sin A \sin B] - (-\sin(A+B)) [\sin A \cos B - (-\cos A \sin B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\cos(A+B) [\cos(A+B)] + \sin(A+B) [\sin(A+B)] + \cos(2B) [\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\cos^2(A+B) + \sin^2(A+B) + \cos(2B) = 1 = 0$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$:
$1 + \cos(2B) = 0$
$\cos(2B) = -1$
$2B = (2n+1)\pi$
$B = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$

(D) दिया गया समीकरण: $y^2=2 c(x+\sqrt{c}) \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y \frac{dy}{dx} = 2c \implies c = y \frac{dy}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 2 \left(y \frac{dy}{dx}\right) \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left(x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}}\right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \left(y \frac{dy}{dx}\right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।

(C) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है और $a$ एक स्थिरांक है।
इस समीकरण में तीन स्वेच्छ अचर हैं: $h$,$k$,और $a$।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलन: $2(x-h) = 4a \frac{dy}{dx} \implies (x-h) = 2a y_1$।
द्वितीय अवकलन: $1 = 2a y_2$।
तृतीय अवकलन: $0 = 2a y_3$।
चूँकि $2a \neq 0$,इसलिए $y_3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^k + y^k = a^k$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{k x^{k-1}}{k y^{k-1}} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -(\frac{x}{y})^{k-1}$
$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{-(k-1)} = -(\frac{y}{x})^{1-k}$
अतः,$\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{1-k} = 0$
इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$1 - k = \frac{1}{3}$
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(D) दिया गया समीकरण: $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
चूंकि $y = e^x(a \cos x + b \sin x)$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b \cos x - a \sin x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + [e^x(b \cos x - a \sin x) + e^x(-b \sin x - a \cos x)]$
$e^x(b \cos x - a \sin x) = \frac{dy}{dx} - y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
चूंकि $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,हमारे पास है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - y - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
इसका विस्तार करने पर,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.
$a$ का मान मूल समीकरण $x^{2} + y^{2} = 2ay$ में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.
चूँकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,इसलिए $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.
अतः,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,या $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$.
$C$ का मान रखने पर: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
अब,$x = \frac{\pi}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{1}{x} dx = \frac{y}{1+y^2} dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{y}{1+y^2} dy$।
इससे $\log |x| = \frac{1}{2} \log (1+y^2) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=1$ और $y=0$ दिया गया है,मान रखने पर: $\log(1) = \frac{1}{2} \log(1+0^2) + C$,जिसका अर्थ है $0 = 0 + C$,इसलिए $C=0$।
समीकरण $\log x = \frac{1}{2} \log (1+y^2)$ बन जाता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \log x = \log (1+y^2)$ प्राप्त होता है,जो $\log(x^2) = \log(1+y^2)$ है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$x^2 = 1+y^2$,या $x^2 - y^2 = 1$।
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{d y}{d x}\right)=a x+b y$ है।
दोनों पक्षों में चरघातांकी लेने पर,$\frac{d y}{d x}=e^{a x+b y} = e^{a x} \cdot e^{b y}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{d y}{e^{b y}} = e^{a x} d x$,जो $e^{-b y} d y = e^{a x} d x$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-b y} d y = \int e^{a x} d x$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{e^{-b y}}{-b} = \frac{e^{a x}}{a} + C$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^{a x}}{a} + \frac{e^{-b y}}{b} = -C$ प्राप्त होता है।
$ab$ से गुणा करने पर,$b e^{a x} + a e^{-b y} = -abC$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $c_1 = -abC$,तो $a e^{-b y} + b e^{a x} = c_1$ प्राप्त होता है।