अंतराल $[0, 2\pi]$ पर $f(x)=\sin x+\cos x+6$ के लिए रोले के प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

फलन $f(x) = (x - 3)^2$ अंतराल $[3, 4]$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $y = (x - 3)^2$ पर वह बिंदु,जहाँ स्पर्श रेखा $(3, 0)$ और $(4, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,है:

फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$,$I_2=[0,1]$,$I_3=[1,2]$,$I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।