MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $\tan \theta = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.
अंश और हर को $\cos \alpha$ से विभाजित करने पर,$\tan \theta = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $\tan \theta = \frac{\tan \alpha - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan \alpha \tan(\frac{\pi}{4})}$.
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan \theta = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$.
तब $2 \theta = 2 \alpha - \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,$\cos 2 \theta = \cos(2 \alpha - \frac{\pi}{2})$.
$\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\cos 2 \theta = \sin 2 \alpha$ प्राप्त होता है।

(B) सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
घटाने पर:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
चूँकि $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,यह $\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$ हो जाता है।
$\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$ होता है,अतः उत्तर $\sin 54^{\circ}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x$
$\sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0 \implies x = \frac{n\pi}{3}$. अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}$ एक हल है।
स्थिति $2$: $\cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}$ एक हल है।
अतः,हल $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ $H.P.$ में हैं।
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
सूत्र $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ और $\sin(A+B) \sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ प्राप्त करने के लिए $2$ से गुणा करके $1$ घटाने पर:
$\Rightarrow 2 \cos^2 \theta - 1 = 2(1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) - 1$
$\Rightarrow \cos 2 \theta = 2 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 = 1 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = c$
सर्वसमिकाओं $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$
दोनों पक्षों को $(1 + \tan^2 \theta)$ से गुणा करने पर:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a - a \tan^2 \theta + 2b \tan \theta = c + c \tan^2 \theta$
$\tan \theta$ में द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है:
$\tan \alpha + \tan \beta = -\frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
यहाँ $A = 48^{\circ}$ और $B = 12^{\circ}$ रखने पर:
$\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(36^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \cdot (1 - 2\sin ^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right]$
$= \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{4} = \frac{2\tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan^2 \frac{\pi}{8}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,मान लीजिए $y = \tan \frac{\pi}{8}$।
तब $1 = \frac{2y}{1-y^2}$,जिसका अर्थ है $1 - y^2 = 2y$,या $y^2 + 2y - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{8}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{8} > 0$ होगा।
अतः,$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$।

(C) हम सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$A = 48^{\circ}$ और $B = 12^{\circ}$ है।
$\cos^2 48^{\circ} - \sin^2 12^{\circ} = \cos(48^{\circ} + 12^{\circ}) \cos(48^{\circ} - 12^{\circ})$
$= \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{8}$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण: $(1+\sqrt{1+x}) \tan x = 1+\sqrt{1-x}$
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1+x}}$
माना $x = \sin \theta$.
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-\sin \theta}}{1+\sqrt{1+\sin \theta}} = \frac{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2}}{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2}}$
$= \frac{1+\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{1+\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2\cos^2 \frac{\theta}{4} - 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}{2\cos^2 \frac{\theta}{4} + 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}$
$= \frac{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} - \sin \frac{\theta}{4})}{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} + \sin \frac{\theta}{4})} = \frac{1 - \tan \frac{\theta}{4}}{1 + \tan \frac{\theta}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4})$
अतः,$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4} \Rightarrow 4x = \pi - \theta$.
$\sin 4x = \sin(\pi - \theta) = \sin \theta = x$.

(A) दिया है $\cos 2B = \frac{\cos(A+C)}{\cos(A-C)}$.
$\cos 2B = \frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$.
अंश और हर को $\cos A \cos C$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{1-\tan A \tan C}{1+\tan A \tan C}$.
वज्र गुणन करने पर:
$(1-\tan^2 B)(1+\tan A \tan C) = (1+\tan^2 B)(1-\tan A \tan C)$.
सरल करने पर:
$2 \tan A \tan C = 2 \tan^2 B$.
$\tan^2 B = \tan A \tan C$.
अतः,$\tan A, \tan B, \tan C$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(B) दी गई व्यंजक: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
पदों का विस्तार करने पर: $(a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab \cos^2 \frac{C}{2} + 2ab \sin^2 \frac{C}{2}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,यह सरल होकर बनता है: $(a^2 + b^2) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,इसलिए:
$= c^2$
$c = 4$ दिया गया है,अतः मान $4^2 = 16$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1-\cos A}{\sin A}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
$A = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1-\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)}$.
$\cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मान रखने पर:
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}-1$.

(D) दिया गया समीकरण: $16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10$
चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए:
$16^{\sin^2 x} + 16^{1 - \sin^2 x} = 10$
$16^{\sin^2 x} + \frac{16}{16^{\sin^2 x}} = 10$
मान लीजिए $t = 16^{\sin^2 x}$. तब $t + \frac{16}{t} = 10$,जिसका अर्थ है $t^2 - 10t + 16 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $(t - 8)(t - 2) = 0$,अतः $t = 8$ या $t = 2$.
स्थिति $1$: $16^{\sin^2 x} = 2$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^1$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 1$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \pm \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ ($4$ हल प्राप्त होते हैं)।
स्थिति $2$: $16^{\sin^2 x} = 8$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 3$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ ($4$ हल प्राप्त होते हैं)।
कुल हलों की संख्या = $4 + 4 = 8$.

(A) $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, -2, 4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$
दिए गए निर्देशांकों के मान रखने पर:
$G = \left(\frac{-1+3+2-1}{4}, \frac{2-2+1-2}{4}, \frac{3+1+3+4}{4}\right)$
$G = \left(\frac{3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{11}{4}\right)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ हैं।
दिया गया है,प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
हम जानते हैं कि यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 2$ और $\sigma^2 = 5$ है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma'^2 = (2)^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ है।

(B) दिया गया है कि $g(x)$,फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(x) = f^{-1}(x)$ है।
इसका अर्थ है कि $f(g(x)) = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$
अतः,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ ... $(i)$
दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^3}$,इसलिए $x$ को $g(x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+(g(x))^3}$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+(g(x))^3}} = 1+(g(x))^3$.

(D) दिया गया है,$S=5+\frac{48}{t}+t^3$.
वेग $(V) = \frac{dS}{dt} = 0 - \frac{48}{t^2} + 3t^2$.
$V=0$ रखने पर:
$-\frac{48}{t^2} + 3t^2 = 0
\Rightarrow 3t^2 = \frac{48}{t^2}
\Rightarrow t^4 = 16
\Rightarrow t = 2$ (चूंकि $t > 0$).
अब,त्वरण $(A) = \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(-\frac{48}{t^2} + 3t^2) = \frac{96}{t^3} + 6t$.
$t=2$ पर,$A = \frac{96}{2^3} + 6(2) = \frac{96}{8} + 12 = 12 + 12 = 24$.

(C) दिया गया है $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर,$f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(x)$ में $x=1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2) \Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$ (समीकरण $I$).
$f^{\prime \prime}(x)$ में $x=2$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$ (समीकरण $II$).
समीकरण $II$ से $f^{\prime \prime}(2)$ का मान समीकरण $I$ में रखने पर:
$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15 \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$.
अब,समीकरण $II$ का उपयोग करके $f^{\prime \prime}(2)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(2)=12+2(-5)=12-10=2$.
अंत में,$f(x)$ में $x=2$ रखकर $f^{\prime}(1)$ और $f^{\prime \prime}(2)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f(2)=2^3+2^2(-5)+2(2)+6 = 8-20+4+6 = -2$.

(B) दिया गया समीकरण: $(2 x)^{2 y}=4 e^{2 x-2 y}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2 y \log(2 x) = \log(4) + \log(e^{2 x-2 y})$
$2 y \log(2 x) = 2 \log 2 + 2 x - 2 y$
$2$ से विभाजित करने पर:
$y \log(2 x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log(2 x)) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log(2 x)}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot \frac{d}{d x}(x + \log 2) - (x + \log 2) \cdot \frac{d}{d x}(1 + \log(2 x))}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot 1 - (x + \log 2) \cdot \frac{1}{2 x} \cdot 2}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \log(2 x) - \frac{x + \log 2}{x}}{(1 + \log(2 x))^2}$
$(1 + \log(2 x))^2$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log(2 x))^2 \frac{d y}{d x} = 1 + \log(2 x) - 1 - \frac{\log 2}{x}$
$= \log(2 x) - \frac{\log 2}{x} = \frac{x \log(2 x) - \log 2}{x}$.

(A) उत्पादन में परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
दिया गया है कि जब $x = 0$ है,तो प्रारंभिक उत्पादन $P = 1000$ है:
$1000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \implies C = 1000$।
अतः,उत्पादन फलन $P(x) = 100x - 8x\sqrt{x} + 1000$ है।
$x = 9$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए:
$P(9) = 100(9) - 8(9)\sqrt{9} + 1000$
$P(9) = 900 - 8(9)(3) + 1000$
$P(9) = 900 - 216 + 1000 = 1684$।
वस्तुओं के उत्पादन का नया स्तर $1684$ है।

(A) फलन को $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम इसे खंडों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1+x}, & x \geq 0 \end{cases}$
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$
$x = 0$ पर दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$:
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$
चूँकि $LHD = RHD = 1$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,फलन एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है।
अतः,अवकलज सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए विद्यमान है।

(C) $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ परिभाषित है यदि $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ हो।
चूंकि $|x|+5 > 0$ और $x^2+1 > 0$,इसलिए बायीं ओर की असमिका $\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ हमेशा सत्य है।
हमें केवल $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ को हल करने की आवश्यकता है।
$|x|+5 \leq x^2+1$
$x^2 - |x| - 4 \geq 0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $t^2 - t - 4 \geq 0$।
$t^2 - t - 4 = 0$ के मूल $t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $t \geq 0$,इसलिए $t \geq \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$।
अतः,$|x| \geq \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$,जिसका अर्थ है $x \in \left(-\infty, -\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right)$।
इसकी तुलना $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ से करने पर,$a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x+2^y=2$ है।
इसे $2^y = 2 - 2^x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है $2^x < 2$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1$ हो।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ या $-\infty < x < 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $2 - 2^x$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$2 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 2$.
चूंकि $2 = 2^1$,हमारे पास $2^x < 2^1$ है।
आधार $2 > 1$ होने के कारण,यह असमिका $x < 1$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) माना $f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{(1+x+x^2)(-1+2x) - (1-x+x^2)(1+2x)}{(1+x+x^2)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1+x+x^2)(-1+2x) = 2x^3+x^2+x-1$.
$(1-x+x^2)(1+2x) = 2x^3-x^2+x+1$.
घटाने पर: $(2x^3+x^2+x-1) - (2x^3-x^2+x+1) = 2x^2-2$.
अतः,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $2x^2-2 = 0$,जिससे $x^2 = 1$,अर्थात $x = 1$ या $x = -1$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$f(-1) = \frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{3}{1} = 3$.
इसलिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2}{x^2+1}$.
$y(x^2+1) = x^2$
$yx^2 + y = x^2$
$x^2(y-1) = -y$
$x^2 = \frac{y}{1-y}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{y}{1-y} \geq 0$.
इसका अर्थ है कि $y(1-y) \geq 0$ और $y \neq 1$.
असमिका $y(y-1) \leq 0$ को हल करने पर,हमें $0 \leq y < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 1)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{3x-2}{5x+3}$.
सबसे पहले,$f(1)$ की गणना करें:
$f(1) = \frac{3(1)-2}{5(1)+3} = \frac{3-2}{5+3} = \frac{1}{8}$.
अब,$f(f(1)) = f\left(\frac{1}{8}\right)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\left(\frac{1}{8}\right)-2}{5\left(\frac{1}{8}\right)+3} = \frac{\frac{3}{8}-2}{\frac{5}{8}+3}$.
अंश और हर को $8$ से गुणा करने पर:
$f\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3-16}{5+24} = \frac{-13}{29}$.

(A) दिए गए फलन $f(x)=2x-3$ और $g(x)=x^3+5$ हैं।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
$(f \circ g)(x) = 2(g(x)) - 3 = 2(x^3+5) - 3 = 2x^3 + 10 - 3 = 2x^3 + 7$.
माना $y = (f \circ g)(x) = 2x^3 + 7$.
प्रतिलोम फलन $(f \circ g)^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में हल करते हैं:
$y - 7 = 2x^3$
$x^3 = \frac{y-7}{2}$
$x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
अतः,$(f \circ g)^{-1}(y) = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{1/3}$.
अब,$y = -9$ रखने पर:
$(f \circ g)^{-1}(-9) = \left(\frac{-9-7}{2}\right)^{1/3} = \left(\frac{-16}{2}\right)^{1/3} = (-8)^{1/3} = -2$.

(B) $h(x) = f(g(x))$
$h(x) = f(\sin^{-1} x) = e^{\sin^{-1} x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{\sin^{-1} x}) = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)$
$h^{\prime}(x) = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
अब,अनुपात $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ की गणना करने पर:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{\sin^{-1} x}}$
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(A) दिया गया है $f(x) = e^x - x$ और $g(x) = x^2 - x$।
$h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = e^{x^2-x} - (x^2-x) = e^{x^2-x} - x^2 + x$।
अब,$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = e^{x^2-x}(2x-1) - 2x + 1$।
$h'(x) = (2x-1)(e^{x^2-x} - 1)$।
फलन $h(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $h'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
$(2x-1)(e^{x^2-x} - 1) \geq 0$।
मान लीजिए $u = x^2-x$ है। चूँकि $e^u - 1$ का चिह्न $u$ के समान होता है,इसलिए $(2x-1)(x^2-x) \geq 0$।
$(2x-1)x(x-1) \geq 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $0, \frac{1}{2}, 1$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर:
जब $x \in [0, \frac{1}{2}]$ है,तो $(2x-1) \leq 0$ और $x(x-1) \leq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है।
जब $x \in [1, \infty)$ है,तो $(2x-1) > 0$ और $x(x-1) \geq 0$ होता है,इसलिए गुणनफल $\geq 0$ है।
अतः,$h(x)$ अंतराल $x \in [0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x)=\log (\sin x), 0 < x < \pi$ और $g(x)=\sin ^{-1}(e^{-x}), x \geq 0$.
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
$(f \circ g)(x) = \log(\sin(\sin^{-1}(e^{-x}))) = \log(e^{-x}) = -x$.
अब,हम अवकलज $(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $a = (f \circ g)^{\prime}(\alpha) = -1$ और $b = (f \circ g)(\alpha) = -\alpha$.
इन मानों को विकल्पों में प्रतिस्थापित करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए: $a \alpha^2 - b \alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$.
अतः,$a \alpha^2 - b \alpha - a = 1$ सही है।

(C) $f(g(x)) = f\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)$
$= \frac{3\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)+4}{5\left(\frac{7x+4}{5x-3}\right)-7}$
$= \frac{21x+12+20x-12}{35x+20-35x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
इसी प्रकार,$g(f(x)) = g\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)$
$= \frac{7\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)+4}{5\left(\frac{3x+4}{5x-7}\right)-3}$
$= \frac{21x+28+20x-28}{15x+20-15x+21}$
$= \frac{41x}{41}$
$= x$
अतः,$f(g(x)) = g(f(x)) = x$. विकल्प $C$ में $g(f(x))$ दिया गया है,जो सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $g(x)=1+\sqrt{x}$ और $f(g(x))=3+2 \sqrt{x}+x$ है।
हम $f(g(x))$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(g(x)) = (1 + 2\sqrt{x} + x) + 2$
$f(g(x)) = (1 + \sqrt{x})^2 + 2$
चूंकि $g(x) = 1 + \sqrt{x}$,हम समीकरण में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(g(x)) = [g(x)]^2 + 2$
अतः,फलन $f(x)$ को $f(x) = x^2 + 2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अब,हमें $f(f(x))$ ज्ञात करना है:
$f(f(x)) = f(x^2 + 2)$
$f(f(x)) = (x^2 + 2)^2 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2$
$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 6$.

(C) दिए गए फलन $f(x)=x^2+1$ और $g(x)=\frac{1}{x}$ हैं।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $f(g(g(f(x))))$ ज्ञात करते हैं:
$f(x) = x^2+1$
$g(f(x)) = g(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1}$
$g(g(f(x))) = g\left(\frac{1}{x^2+1}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x^2+1}} = x^2+1$
$f(g(g(f(x)))) = f(x^2+1) = (x^2+1)^2+1$
अब,व्यंजक में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(g(g(f(1)))) = (1^2+1)^2+1$
$= (1+1)^2+1$
$= 2^2+1$
$= 4+1 = 5$

(A) माना $f(x) = y$,जिसका अर्थ है $x = f^{-1}(y)$.
दिया गया है $y = \frac{2x - 3}{3x - 4}$.
दोनों पक्षों को $(3x - 4)$ से गुणा करने पर:
$y(3x - 4) = 2x - 3$
$3xy - 4y = 2x - 3$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3xy - 2x = 4y - 3$
$x(3y - 2) = 4y - 3$
$x = \frac{4y - 3}{3y - 2}$
चूंकि $x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{4y - 3}{3y - 2}$.
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{3x - 2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $3 f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 8 \log_2 x^3 = 24 \log_2 x$ $(i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) - f(x) = 24 \log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = -24 \log_2 x$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9 f(x) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right) = 72 \log_2 x$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(9 f(x) - f(x)) + (3 f\left(\frac{1}{x}\right) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right)) = 72 \log_2 x - 24 \log_2 x$
$8 f(x) = 48 \log_2 x \Rightarrow f(x) = 6 \log_2 x$
अब,मान ज्ञात करते हैं:
$f(2) = 6 \log_2 2 = 6(1) = 6$
$f(4) = 6 \log_2 4 = 6(2) = 12$
$f(8) = 6 \log_2 8 = 6(3) = 18$
चूंकि $12 - 6 = 6$ और $18 - 12 = 6$,सार्व अंतर समान है।
अतः,$f(2), f(4), f(8)$ $A$.$P$. में हैं।

(C) ध्यान दें कि $\triangle OAB$ एक समकोण त्रिभुज है। मान लीजिए $OA = x \text{ ft}$ और $OB = y \text{ ft}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 13^2 = 169$ है।
अतः,$y^2 = 169 - x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dt} = -2x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जो $y \frac{dy}{dt} = -x \frac{dx}{dt}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $x = 5 \text{ ft}$ पर,$\frac{dx}{dt} = 3 \text{ ft/sec}$ है।
जब $x = 5$ है,तो $y = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ ft}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 \frac{dy}{dt} = -5(3) = -15$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{dy}{dt} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$ है।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि $B$,$O$ की ओर नीचे की दिशा में गति कर रहा है।
अतः,$B$,$\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$ की दर से नीचे की ओर गति कर रहा है।

(B) माना $x$ दीवार से निचले सिरे की दूरी है और $y$ फर्श से सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊँचाई है। सीढ़ी की लंबाई $L = 5 \ m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
हमें दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ की दर से नीचे खिसकता है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$ है।
हमें सीढ़ी और फर्श के बीच के कोण $\theta$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जहाँ $\sin \theta = \frac{y}{5}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \ m$ है।
अतः $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$ है।
मान रखने पर: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$ है।
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$ है।
कोण $0.025 \ rad/s$ की दर से घट रहा है।

(D) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और ऊपरी सिरे की फर्श से ऊँचाई $y$ है। सीढ़ी की लंबाई $L = 5 \ m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
हमें दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ की दर से नीचे फिसल रहा है,अतः $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$.
हमें सीढ़ी और फर्श के बीच के कोण $\theta$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जहाँ $\sin \theta = \frac{y}{5}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$.
जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
अतः $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$.
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$.
अतः,कोण $0.025 \ rad/s$ की दर से घट रहा है।

(B) दिए गए वक्र $xy = 1$ के लिए,$y = \frac{1}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $-\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $x^2$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र का अभिलंब है,इसलिए $x^2 = -\frac{a}{b}$ होगा।
वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $-\frac{a}{b} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} < 0$।
यह स्थिति तब सत्य होती है जब $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत हों,अर्थात $(a > 0, b < 0)$ या $(a < 0, b > 0)$।

(B) $\text{माना } I = \int \frac{1}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{अंश और हर को } \sin a \text{ से गुणा करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin a}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\sin a \text{ को } \sin (x - (x-a)) \text{ के रूप में लिखने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin (x - (x-a))}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{सर्वसमिका } \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \text{ का उपयोग करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos (x-a) - \cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{समाकलन को अलग करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \left[ \int \frac{\sin x \cos (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x - \int \frac{\cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x \right]$.
$I = \frac{1}{\sin a} \left[ \int \cot (x-a) \,d x - \int \cot x \,d x \right]$.
$\text{समाकलन करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin (x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
$I = \operatorname{cosec} a \log |\frac{\sin (x-a)}{\sin x}| + c$.

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x + \sin^3 x}{\cos 2x} dx$.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sin x(1 + \sin^2 x) = \sin x(1 + 1 - \cos^2 x) = \sin x(2 - \cos^2 x)$.
अतः,$I = \int \frac{\sin x(2 - \cos^2 x)}{2 \cos^2 x - 1} dx$.
माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$,अर्थात $\sin x dx = -dt$.
$I = \int \frac{t^2 - 2}{2t^2 - 1} (-dt) = \int \frac{2 - t^2}{2t^2 - 1} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{4 - 2t^2}{2t^2 - 1} dt = \frac{1}{2} \int \frac{-(2t^2 - 1) + 3}{2t^2 - 1} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (-1 + \frac{3}{2t^2 - 1}) dt = \frac{1}{2} [-t + \frac{3}{2\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1}|] + c$.
$I = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{4\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$.
$P \cos x + Q \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = -\frac{1}{2}$ और $Q = \frac{3}{4\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$.
$x = \tan t$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $dx = \sec^2 t dt$.
चूँकि $x > 0$,$t = \tan^{-1} x \in (0, \pi/2)$.
ध्यान दें कि $\sec^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec^{-1} \sqrt{1+\tan^2 t} = \sec^{-1} \sec t = t$.
साथ ही,$\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos^{-1} \cos 2t = 2t$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{e^t}{1+\tan^2 t} [t^2 + 2t] \sec^2 t dt = \int e^t (t^2 + 2t) dt$.
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$:
$I = e^t t^2 + c = e^{\tan^{-1} x} (\tan^{-1} x)^2 + c$.

(D) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$.
माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$.
स्थिरांकों का मान ज्ञात करने पर: $1 = A(1+t)^2 + Bt(1+t) + Ct$.
$t=0$ के लिए,$A=1$. $t=-1$ के लिए,$C=-1$. $t^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B=0 \Rightarrow B=-1$.
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$.
$I = \log |t| - \log |1+t| + \frac{1}{1+t} + c$.
$t = x e^x$ वापस रखने पर:
$I = \log |x e^x| - \log |1+x e^x| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

(B) मान लीजिए $I = \int \frac{\tan x + \tan \alpha}{\tan x - \tan \alpha} dx$.
$= \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos \alpha + \sin \alpha \cos x}{\sin x \cos \alpha - \sin \alpha \cos x} dx$
$= \int \frac{\sin (x+\alpha)}{\sin (x-\alpha)} dx$.
मान लीजिए $t = x - \alpha$,इसलिए $x = t + \alpha$ और $dx = dt$.
$I = \int \frac{\sin (t + 2\alpha)}{\sin t} dt$
$= \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$
$= \cos 2\alpha \int 1 dt + \sin 2\alpha \int \cot t dt$
$= t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \log |\sin t| + c$
$= (x - \alpha) \cos 2\alpha + \log |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + c$.
इसकी तुलना $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + c$ से करने पर,हमें $A(x) = x - \alpha$ और $B(x) = \log |\sin (x - \alpha)|$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int(\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx$.
हम इसे $I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\right) dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
समाकल्य को सरल करने पर,$I = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
$t = \sin x - \cos x$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x$.
अतः,$2 \sin x \cos x = 1 - t^2$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{1 - t^2}{2}}} = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sin x - \cos x$ वापस रखने पर,$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin x}{3+4 \cos ^2 x} \,dx$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $-\sin x \,dx = dt$, जिसका अर्थ है $\sin x \,dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर, $I = \int \frac{-dt}{3+4 t^2} = -\int \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + (2t)^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2t}{\sqrt{3}}) + C = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}) + C$.
$A \tan^{-1}(B \cos x) + C$ के साथ तुलना करने पर, हमें $A = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$ और $B = \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः, $A + B = -\frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
हम कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left[x^4(1 + \frac{1}{x^4})\right]^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
मान लीजिए $t = 1 + \frac{1}{x^4}$. तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4} = \frac{x^4+1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = -(1 + \frac{1}{x^4})^{1/4} + c = -\left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{1/4} + c = -\frac{(x^4+1)^{1/4}}{x} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{dx}{\sin x + \cos x}$ है।
प्रतिस्थापन $\tan \frac{x}{2} = t$ का उपयोग करने पर,हमें $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} dt = \int \frac{2}{2t + 1 - t^2} dt = -2 \int \frac{1}{t^2 - 2t - 1} dt$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$t^2 - 2t - 1 = (t-1)^2 - 2 = (t-1)^2 - (\sqrt{2})^2$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -2 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}} \right| + c = -\frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{2}}{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt{2}} \right| + c$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\tan \frac{x}{2} - (\sqrt{2} + 1)}{\tan \frac{x}{2} + \sqrt{2} - 1} \right| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{x^3 \sqrt{2x^4-2x^2+1}}$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{(x^2-1) dx}{x^3 \cdot x^2 \sqrt{2-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}} = \int \frac{(\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}) dx}{\sqrt{2-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}}$.
माना $t = 2-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}$.
तब $dt = (\frac{4}{x^3} - \frac{4}{x^5}) dx$,जिसका अर्थ है कि $(\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}) dx = \frac{dt}{4}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt/4}{\sqrt{t}} = \frac{1}{4} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = \frac{1}{2} \sqrt{t} + c$.
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \sqrt{2-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{5 \tan x}{\tan x - 2} \, dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} \, dx$.
अंश को $5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B(\cos x + 2 \sin x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 5$ और $-2A + B = 0$.
दूसरे समीकरण से,$B = 2A$. पहले समीकरण में रखने पर: $A + 2(2A) = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1$.
अतः $B = 2(1) = 2$.
इस प्रकार,$I = \int \left( 1 + 2 \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} \right) \, dx$.
$I = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{d(\sin x - 2 \cos x)}{\sin x - 2 \cos x} = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + c$.
इसकी तुलना $x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + c$ से करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{\frac{3}{4}}}$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{\frac{3}{4}}}$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$. तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{4} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + c = -t^{\frac{1}{4}} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -(1 + \frac{1}{x^4})^{\frac{1}{4}} + c = -\left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{\frac{1}{4}} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\log (\cot x)}{\sin 2 x} \,d x$.
$\log (\cot x) = t$ रखें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) \,d x = dt$.
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) \,d x = dt$.
$\Rightarrow \frac{-1}{\sin x \cos x} \,d x = dt$.
चूँकि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, इसलिए $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-1}{\frac{\sin 2x}{2}} \,d x = dt \Rightarrow \frac{-2}{\sin 2x} \,d x = dt \Rightarrow \frac{d x}{\sin 2x} = \frac{-dt}{2}$.
अब, समाकलन में इन मानों को रखने पर:
$I = \int t \cdot (\frac{-dt}{2}) = -\frac{1}{2} \int t \,dt$.
$I = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + c = -\frac{1}{4} t^2 + c$.
$t = \log (\cot x)$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{4} [\log (\cot x)]^2 + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{1-x^3}}$.
अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3 \sqrt{1-x^3}}$.
माना $1-x^3 = t^2$,तब $-3x^2 dx = 2t dt$,अर्थात $x^2 dx = -\frac{2}{3} t dt$.
साथ ही,$x^3 = 1-t^2$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-\frac{2}{3} t dt}{(1-t^2) t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{t^2-1}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right| + c = \frac{1}{3} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1}\right| + c$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(e^x \cdot x)} dx$.
$t = e^x \cdot x$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,गुणन नियम के अनुसार,$dt = (e^x \cdot x + e^x \cdot 1) dx = e^x(x+1) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \int \sec^2 t dt$.
$\sec^2 t$ का समाकलन $\tan t + c$ होता है।
अतः,$I = \tan(x \cdot e^x) + c$.

(B) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2} \, dx$
$I = \int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} + c$
$I = \tan \frac{x}{2} + c$

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\cos 8 x+1}{\cot 2 x-\tan 2 x} \,d x$ है।
सर्वसमिका $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर, $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ प्राप्त होता है।
हर $\frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = \frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{\frac{2 \cos 4x}{\sin 4x}} \,d x = \int \cos 4x \sin 4x \,d x$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x \,d x = \frac{1}{2} \int \sin 8x \,d x$.
$\sin 8x$ का समाकलन $\frac{-\cos 8x}{8}$ होता है।
अतः, $I = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos 8x}{8} \right) + c = \frac{-\cos 8x}{16} + c$.
$A \cos 8x + c$ से तुलना करने पर, $A = \frac{-1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin \left(x^2+1\right)-\sin 2\left(x^2+1\right)}{2 \sin \left(x^2+1\right)+\sin 2\left(x^2+1\right)}} \, dx$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin \left(x^2+1\right) - 2 \sin \left(x^2+1\right) \cos \left(x^2+1\right)}{2 \sin \left(x^2+1\right) + 2 \sin \left(x^2+1\right) \cos \left(x^2+1\right)}} \, dx$
$I = \int x \sqrt{\frac{1 - \cos \left(x^2+1\right)}{1 + \cos \left(x^2+1\right)}} \, dx$
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin^2 \left(\frac{x^2+1}{2}\right)}{2 \cos^2 \left(\frac{x^2+1}{2}\right)}} \, dx$
$I = \int x \tan \left(\frac{x^2+1}{2}\right) \, dx$
माना $t = \frac{x^2+1}{2}$,तब $dt = x \, dx$.
$I = \int \tan t \, dt = \log |\sec t| + c$
$I = \log \left| \sec \left(\frac{x^2+1}{2}\right) \right| + c$

(B) माना $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^5 x + \cos ^3 x \sin ^2 x + \sin ^3 x \cos ^2 x + \cos ^5 x)^2} \,dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $\sin ^5 x + \sin ^3 x \cos ^2 x + \cos ^3 x \sin ^2 x + \cos ^5 x = \sin ^3 x(\sin ^2 x + \cos ^2 x) + \cos ^3 x(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = \sin ^3 x + \cos ^3 x$.
अतः, $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x + \cos ^3 x)^2} \,dx$.
अंश और हर को $\cos ^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\tan ^2 x \sec ^2 x}{(1 + \tan ^3 x)^2} \,dx$.
माना $t = 1 + \tan ^3 x$. तब $dt = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x \,dx$, जिसका अर्थ है कि $\tan ^2 x \sec ^2 x \,dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2} \,dt = \frac{1}{3} (-t^{-1}) + c = -\frac{1}{3t} + c$.
$t$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{-1}{3(1 + \tan ^3 x)} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x \, dx}{\cos^2(1 + \log \tan \frac{x}{2})}$.
माना $t = 1 + \log(\tan \frac{x}{2})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \, dx$.
सर्वसमिका $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$ और $\sec^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$dt = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \, dx$.
चूँकि $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,इसलिए $dt = \frac{1}{\sin x} \, dx = \operatorname{cosec} x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \sec^2 t \, dt$.
समाकलन करने पर,$I = \tan t + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मूल मान वापस रखने पर,$I = \tan(1 + \log(\tan \frac{x}{2})) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \left( \frac{\tan \left( \frac{1}{x} \right)}{x} \right)^2 \, dx$.
$t = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\frac{1}{x^2} \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dx = -x^2 \, dt = -\frac{1}{t^2} \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \tan^2(t) \cdot \frac{1}{x^2} \cdot (-x^2 \, dt) = -\int \tan^2(t) \, dt$.
सर्वसमिका $\tan^2(t) = \sec^2(t) - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = -\int (\sec^2(t) - 1) \, dt = \int (1 - \sec^2(t)) \, dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = t - \tan(t) + c$.
$t = \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{x} - \tan \left( \frac{1}{x} \right) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{\cos ^3 x \sqrt{\sin 2 x}} \,d x$.
चूँकि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $I = \int \frac{1}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin x \cos x}} \,d x = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos ^3 x \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} \,d x$.
इसे सरल करने पर $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos^{3.5} x \sqrt{\sin x}} \,d x = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^{3.5} x}{\sqrt{\tan x}} \,d x$.
आइए समाकल्य को $\frac{\sec^2 x \cdot \sec^2 x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} = \frac{\sec^2 x \cdot \sec^2 x}{\sqrt{2 \tan x \cos^2 x}} = \frac{\sec^4 x}{\sqrt{2 \tan x}}$ के रूप में फिर से लिखें।
अतः,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} \,d x = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \,d x$.
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x \,d x = dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1+t^2}{\sqrt{t}} \,dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) \,dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} + \frac{t^{5/2}}{5/2} \right) + c = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2\sqrt{t} + \frac{2}{5} t^{5/2} \right) + c$.
$I = \sqrt{2} \sqrt{t} + \frac{\sqrt{2}}{5} t^{5/2} + c = \sqrt{2} \left( \sqrt{\tan x} + \frac{1}{5} (\tan x)^{5/2} \right) + c$.

(B) $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \int \frac{\tan^2 \theta \sec^2 \theta \, d\theta}{\sec^2 \theta(1+\sec \theta)} = \int \frac{\tan^2 \theta \, d\theta}{1+\sec \theta}$.
चूँकि $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$,हमारे पास $\int \frac{\sec^2 \theta - 1}{1+\sec \theta} \, d\theta = \int (\sec \theta - 1) \, d\theta$ है।
समाकलन करने पर $f(x) = \log |\sec \theta + \tan \theta| - \theta + c$ प्राप्त होता है।
$x = \tan \theta$ और $\sec \theta = \sqrt{1+x^2}$ वापस रखने पर,$f(x) = \log |x + \sqrt{1+x^2}| - \tan^{-1} x + c$ मिलता है।
$f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $\log |0 + 1| - \tan^{-1}(0) + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = 0$.
अतः,$f(x) = \log |x + \sqrt{1+x^2}| - \tan^{-1} x$.
$x=1$ पर,$f(1) = \log |1 + \sqrt{2}| - \tan^{-1}(1) = \log (1+\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$.

(B) माना $I = \int x^5 e^{-4 x^3} \,d x$.
$x^3 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$3x^2 \,d x = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 \,d x = \frac{1}{3} dt$.
चूंकि $x^5 = x^3 \cdot x^2$,समाकलन $I = \frac{1}{3} \int t e^{-4 t} dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u v \,dt = u \int v \,dt - \int (u' \int v \,dt) dt$,जहाँ $u = t$ और $v = e^{-4 t}$ है।
$I = \frac{1}{3} \left( t \cdot \frac{e^{-4 t}}{-4} - \int 1 \cdot \frac{e^{-4 t}}{-4} dt \right)$.
$I = \frac{1}{3} \left( -\frac{t e^{-4 t}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{-4 t} dt \right)$.
$I = \frac{1}{3} \left( -\frac{t e^{-4 t}}{4} - \frac{e^{-4 t}}{16} \right) + c$.
$I = -\frac{t e^{-4 t}}{12} - \frac{e^{-4 t}}{48} + c$.
$I = \frac{e^{-4 t}}{48} (-4 t - 1) + c$.
$t = x^3$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{48} e^{-4 x^3} (-4 x^3 - 1) + c$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$f(x) = -4 x^3 - 1$.

(B) माना $I = \int \frac{\log \left(x^2+a^2\right)}{x^2} \,d x$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v \,d x = u \int v \,d x - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \,d x \right) d x$.
माना $u = \log \left(x^2+a^2\right)$ और $v = x^{-2}$.
तब $\frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+a^2}$ और $\int v \,d x = -\frac{1}{x}$.
$I = \log \left(x^2+a^2\right) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left( \frac{2x}{x^2+a^2} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \right) d x$.
$I = -\frac{\log \left(x^2+a^2\right)}{x} + 2 \int \frac{1}{x^2+a^2} \,d x$.
मानक समाकलन $\int \frac{1}{x^2+a^2} \,d x = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + c$ का उपयोग करते हुए.
$I = -\frac{\log \left(x^2+a^2\right)}{x} + \frac{2}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + c$.