मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,

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$4e$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = Ae^x$.शर्त $f(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$Ae^1 = 2$,इसलिए $A = 2e^{-1}$.अतः,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.परिणामस्वरूप,$f'(x) = 2e^{x-1}$.दिया गया है कि $h(x) = f(f(x))$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.$x = 1$ पर,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.चूंकि $f(1) = 2$,इसलिए $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.मान रखने पर,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ और $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.इसलिए,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(1) = 2$ और सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = f(x)$ है। यदि $h(x) = f(f(x))$ है,तो $h'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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