MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
हम प्रत्येक परिणाम के लिए गुणनखंडों की संख्या $(X)$ निर्धारित करते हैं:
$X(1) = 1$ (गुणनखंड: $1$)
$X(2) = 2$ (गुणनखंड: $1, 2$)
$X(3) = 2$ (गुणनखंड: $1, 3$)
$X(4) = 3$ (गुणनखंड: $1, 2, 4$)
$X(5) = 2$ (गुणनखंड: $1, 5$)
$X(6) = 4$ (गुणनखंड: $1, 2, 3, 6$)
अब,हम $X$ के प्रत्येक मान के लिए प्रायिकता की गणना करते हैं:
$P(X = 1) = P(\{1\}) = 1/6$
$P(X = 2) = P(\{2, 3, 5\}) = 3/6 = 1/2$
$P(X = 3) = P(\{4\}) = 1/6$
$P(X = 4) = P(\{6\}) = 1/6$
अतः,प्रायिकता वितरण विकल्प $A$ में दर्शाए अनुसार है।

(B) माना $A, B, C, D, E, F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}$ हैं।
$\therefore \overline{d} = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2}, \overline{e} = \frac{\overline{c} + \overline{a}}{2}, \overline{f} = \frac{\overline{a} + \overline{b}}{2}$.
अब,$\overline{AD} + \frac{2}{3} \overline{BE} + \frac{1}{3} \overline{CF} = (\overline{d} - \overline{a}) + \frac{2}{3}(\overline{e} - \overline{b}) + \frac{1}{3}(\overline{f} - \overline{c})$.
मान रखने पर:
$= \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2} - \overline{a} + \frac{2}{3}\left(\frac{\overline{c} + \overline{a}}{2} - \overline{b}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{\overline{a} + \overline{b}}{2} - \overline{c}\right)$.
$= \frac{\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}}{2} + \frac{\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}}{3} + \frac{\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{3(\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}) + 2(\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}) + (\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c})}{6}$.
$= \frac{3\overline{b} + 3\overline{c} - 6\overline{a} + 2\overline{c} + 2\overline{a} - 4\overline{b} + \overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{-3\overline{a} + 3\overline{c}}{6} = \frac{3(\overline{c} - \overline{a})}{6} = \frac{1}{2}(\overline{c} - \overline{a}) = \frac{1}{2} \overline{AC}$.

(C) माना $f(x) = x^3 + x - 1$ है।
चूंकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(1) = 1 > 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल $c$ मौजूद है।
वैकल्पिक रूप से,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 1$ पर विचार करें।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $3x^2 + 1 > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात फलन $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर काटता है।
अतः,दिए गए समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2y = x + z$ ... $(i)$
साथ ही,$\tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} z$
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$
$(i)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$
इसका अर्थ है कि $2y = 0$ या $1-y^2 = 1-xz$,जिससे $y^2 = xz$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x, y, z$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,इसलिए $x=y=z$ होगा।

(C) मान लीजिए $P_0$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $P$ समय $t$ पर जनसंख्या है।
दिया गया है $\frac{dP}{dt} = kP$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करके समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_0$,इसलिए $C = \ln P_0$ है।
अतः,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = kt$ है।
दिया गया है कि $t = 6$ पर,$P = 2P_0$,इसलिए $\ln(2) = 6k$,जिससे $k = \frac{\ln 2}{6}$ प्राप्त होता है।
$t = 18$ पर,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = \left( \frac{\ln 2}{6} \right) \times 18 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$ है।
इसलिए,$\frac{P}{P_0} = 8$,जिसका अर्थ है कि बैक्टीरिया की संख्या प्रारंभिक संख्या की $8$ गुना हो जाती है।

(D) दिया गया है कि $x, y, z$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ $(i)$।
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर,$\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$।
चूंकि $y^2 = xz$,हर समान हैं,इसलिए $2y = x+z$ (ii)।
$(i)$ और (ii) से,$x, y, z$ $A$.$P$. और $G$.$P$. दोनों में हैं,जिसका अर्थ है $x = y = z$।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।
$\frac{dm}{m} = -k dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\log m = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$m = m_0$,इसलिए $c = \log m_0$ है।
अतः,$\log m = -kt + \log m_0$,जिसका अर्थ है $\log(\frac{m}{m_0}) = -kt$।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$m = \frac{m_0}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\log(\frac{1}{2}) = -kh$,जो $-\log 2 = -kh$ या $k = \frac{\log 2}{h}$ देता है।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dm}{dt}$ का मान है।
$\frac{dm}{dt} = -km_0 = -(\frac{\log 2}{h})m_0 = -\frac{m_0}{h} \log 2$।

(C) कुल पत्तों की संख्या $= 52$. कुल रानियों की संख्या $= 4$.
एक बार में रानी प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
रानी न प्राप्त करने की प्रायिकता,$q = 1 - p = \frac{12}{13}$.
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$.
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) मान लीजिए $AD$ शीर्ष $A$ से भुजा $BC$ पर माध्यिका है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसके निर्देशांक $D = \left(\frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2}\right)$ हैं।
सदिश $\vec{AD} = D - A = \left(\frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2}\right)$ है।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक-अनुपात समान होंगे।
अतः,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\lambda$ के लिए: $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda = 7$.
$\mu$ के लिए: $\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu = 10$.
इस प्रकार,$\lambda + \mu = 7 + 10 = 17$.

(C) अवरोध $x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,और $x, y \geq 0$ हैं।
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए,हम परिसीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हल करते हैं:
$1$. $x+y=1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1,0)$ देता है।
$2$. $x=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(2,0)$ देता है।
$3$. $x=2$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(2,1)$ देता है।
$4$. $x+y=1$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D(0,1)$ देता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(1,0), (2,0), (2,1), (0,1)$ हैं।

(B) $A(3, 4, 1)$ और $B(5, 1, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ है।
यह $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ में सरल हो जाता है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ है।
चूंकि रेखा $XZ$-समतल को काटती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$-3k+4 = 0$,जिससे $k = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$k = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर:
$x = 2(\frac{4}{3}) + 3 = \frac{17}{3}$.
$z = 5(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{23}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ है।

(A) माना $A = (1, 2, 3)$ और $B = \left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ है। समतल $AB$ के मध्यबिंदु $M$ से होकर गुजरता है और रेखाखंड $AB$ के लंबवत है।
मध्यबिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left( \frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} \right) = \left( \frac{-\frac{4}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{8}{3}}{2} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखा $AB$ के दिक अनुपात के समान होते हैं:
$D.r.s = \left( 1 - (-\frac{7}{3}), 2 - (-\frac{4}{3}), 3 - (-\frac{1}{3}) \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{10}{3} \right)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - x_0) + 1(y - y_0) + 1(z - z_0) = 0$ है,जहाँ $(x_0, y_0, z_0) = M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right)$:
$1(x + \frac{2}{3}) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$
$x + y + z + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 0$
$x + y + z - 1 = 0 \Rightarrow x + y + z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $(1, -1, 1) \Rightarrow 1 - 1 + 1 = 1$. यह बिंदु समतल पर स्थित है।

(C) माना $A = (1, 2, 0)$,$B = (1, 0, 2)$,और $C = (0, x, 1)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (x-2)\hat{j} + \hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & x-2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 2(x-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - 2) = (2-2x)\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2-2x)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4(1-x)^2 + 8} = 2\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ होने के कारण,$\sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 2x + 3 = 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x-3)(x+1) = 0$,अतः $x = 3$ या $x = -1$।

(D) माना बिंदु $A = (5, -1, 4)$ और $B = (4, -1, 3)$ हैं।
रेखाखंड को दर्शाने वाला सदिश $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
समतल $x+y+z=7$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखाखंड $AB$ और समतल के बीच का कोण है। रेखाखंड और समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\phi$ सूत्र $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
चूंकि $\theta$ समतल के साथ कोण है,इसलिए $\sin \theta = \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
तब $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
समतल पर रेखाखंड के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।

(D) फलक $OPQ$ का अभिलंब सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
फलक $PQR$ का अभिलंब सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{PQ} = (-3, 0, -1)$ और $\vec{PR} = (-1, 1, -2)$.
$\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
दोनों फलकों के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंब सदिशों के बीच का कोण है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|(-1)(1) + (-7)(-5) + (3)(-3)|}{\sqrt{59} \sqrt{35}} = \frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{59} \sqrt{35}}\right)$.

(A) माना शीर्ष $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ और $C(-2,0,2)$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2$.
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c}\right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
$I = \left(\frac{2(0) + 3(-2) + 3(-2)}{2+3+3}, \frac{2(2) + 3(0) + 3(0)}{2+3+3}, \frac{2(1) + 3(0) + 3(2)}{2+3+3}\right)$.
$I = \left(\frac{0 - 6 - 6}{8}, \frac{4 + 0 + 0}{8}, \frac{2 + 0 + 6}{8}\right)$.
$I = \left(-\frac{12}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(C) चूँकि $\triangle ABC$,$A$ पर समकोण है,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ लंबवत हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3-4)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (2-4)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-x)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + (2-x)\hat{k}$
अब,अदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$(-1)(-2) + (-1)(-3) + (8-x)(2-x) = 0$
$2 + 3 + (16 - 8x - 2x + x^2) = 0$
$5 + 16 - 10x + x^2 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x-7) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 7$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $3$ है।

(A) दिए गए संबंध $l-5m+3n=0$ और $7l^2+5m^2-3n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = 5m - 3n$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $7(5m-3n)^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$7(25m^2 - 30mn + 9n^2) + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$175m^2 - 210mn + 63n^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$।
$180m^2 - 210mn + 60n^2 = 0$।
$30$ से विभाजित करने पर,$6m^2 - 7mn + 2n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(3m - 2n)(2m - n) = 0$।
स्थिति $1$: $3m = 2n \Rightarrow m = \frac{2n}{3}$। तब $l = 5(\frac{2n}{3}) - 3n = \frac{10n-9n}{3} = \frac{n}{3}$।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ का उपयोग करने पर: $(\frac{n}{3})^2 + (\frac{2n}{3})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{9} + \frac{4n^2}{9} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{14n^2}{9} = 1 \Rightarrow n = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
अतः $l = \frac{1}{\sqrt{14}}$ और $m = \frac{2}{\sqrt{14}}$।
$l+m+n = \frac{1+2+3}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}}$।
स्थिति $2$: $2m = n \Rightarrow m = \frac{n}{2}$। तब $l = 5(\frac{n}{2}) - 3n = \frac{5n-6n}{2} = -\frac{n}{2}$।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ का उपयोग करने पर: $(-\frac{n}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{6n^2}{4} = 1 \Rightarrow n^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow n = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
अतः $l = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ और $m = \frac{1}{\sqrt{6}}$।
$l+m+n = \frac{-1+1+\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$।
अतः,संभावित मान $\frac{2}{\sqrt{6}}$ या $\frac{6}{\sqrt{14}}$ हैं।

(C) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ समान हैं। मान लीजिए $l = m = n = a$ है।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,$3a^2 = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (धनात्मक दिक्-कोसाइन होने के कारण धनात्मक मान लेने पर)।
अतः,रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, k-1, k+2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु $Q$ समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$
$2k + 4 + k - 1 + k + 2 = 9$
$4k + 5 = 9$
$4k = 4 \Rightarrow k = 1$
$k=1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q(1+2, 1-1, 1+2) = Q(3, 0, 3)$ प्राप्त होता है।
रेखाखंड $PQ$ की लंबाई बिंदु $P(2, -1, 2)$ और $Q(3, 0, 3)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2}$
$PQ = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $2l^2+2m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$n = -(l+m)$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l^2 + 2m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$2l^2 + 2m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$l^2 + m^2 - 2lm = 0$
$(l-m)^2 = 0 \Rightarrow l=m$ प्राप्त होता है।
यदि $l=m$ है,तो $n = -(l+l) = -2l$ होगा।
रेखाओं के दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं,जो सरल होकर $(1, 1, -2)$ हो जाते हैं।
चूंकि दोनों रेखाओं के लिए दिक्-अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएं समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$180^{\circ}$ सही उत्तर है।

(A) रेखा का दिया गया कार्तीय समीकरण $6x-2=3y+1=2z-2$ है।
हम इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में बदलने के लिए $x, y, z$ के गुणांकों को बाहर निकालते हैं:
$6(x-\frac{1}{3})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-1)$.
पूरे समीकरण को $6, 3, 2$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}$.
यह रेखा बिंदु $A(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\vec{v} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और $\vec{v}$ दिशा वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (\frac{1}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{\alpha} = \hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
माना रेखा बिंदु $A$ से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है और यह सदिश $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु $P$ की रेखा से दूरी $d = \frac{|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{\alpha} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-2 - (-3))\hat{j} + (-6 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(4 - (-12)) + \hat{k}(-3 - 6) = 2\hat{i} - 16\hat{j} - 9\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-16)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 256 + 81} = \sqrt{341}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ है।
अतः,दूरी $d = \frac{\sqrt{341}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{341}{61}}$ इकाई है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $2x+4=3y+1=6z-3$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में बदलने के लिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
$2(x+2)=3(y+\frac{1}{3})=6(z-\frac{1}{2})$।
सभी पदों को $2, 3, 6$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2(x+2)}{6}=\frac{3(y+\frac{1}{3})}{6}=\frac{6(z-\frac{1}{2})}{6} \Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-\frac{1}{2}}{1}$।
अतः,रेखा बिंदु $(-2, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 2, 1)$ हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ होता है।
इसलिए,सदिश समीकरण $\overline{r}=\left(-2 \hat{i}-\frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}\right)+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{5}$ और $L_2: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$ हैं।
दो रेखाएँ तब प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त यह है कि रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का सारणिक $0$ होना चाहिए।
माना $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -1)$ है।
दिशा सदिश $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, 5)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (4, 3, 2)$ हैं।
सारणिक की गणना करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
$\Delta = -3(4 - 15) - 2(6 - 20) - 2(9 - 8)$
$\Delta = 33 + 28 - 2 = 59$.
चूँकि $\Delta \neq 0$,अतः रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(C) अभीष्ट रेखा बिंदु $A(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\overline{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा दिशा सदिशों $\overline{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\overline{b_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\overline{b} = \overline{b_1} \times \overline{b_2}$ होगा।
$\overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(3 - (-4)) + \hat{k}(-9 - 4) = -4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k}$.
रेखा का समीकरण $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ के अनुसार,$\overline{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k})$ होगा।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ हैं।
दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि बिंदुओं के अंतर और दिशा सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान $0$ होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
मान $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$k = \frac{9}{2}$

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2p/7}=\frac{z-3}{2}$। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3p/7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) माना दिया गया बिंदु $P(-2, 4, -5)$ है और रेखा $L: \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(3\lambda-3, 5\lambda+4, 6\lambda-8)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3\lambda-3 - (-2), 5\lambda+4-4, 6\lambda-8 - (-5)) = (3\lambda-1, 5\lambda, 6\lambda-3)$ है।
चूंकि $PQ$ रेखा (जिसके दिक अनुपात $(3, 5, 6)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda-1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda-3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$।
$\lambda = \frac{3}{10}$ को $\vec{PQ}$ में रखने पर:
$\vec{PQ} = (3(\frac{3}{10})-1, 5(\frac{3}{10}), 6(\frac{3}{10})-3) = (-\frac{1}{10}, \frac{15}{10}, -\frac{12}{10})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1+225+144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ और $L_2: \vec{r}=(2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+2\hat{j})$ हैं।
$L_1$ पर स्थित बिंदु $A(-1, -2, -1)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$L_2$ पर स्थित बिंदु $B(2, -2, 3)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (-2 - (-2))\hat{j} + (3 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0-2) + \hat{k}(6-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})|}{3\sqrt{5}} = \frac{|-12 + 0 + 20|}{3\sqrt{5}} = \frac{8}{3\sqrt{5}}$ है।

(A) रेखा बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरती है और समतलों $x - y + 2z = 5$ तथा $3x + y + z = 6$ के समांतर है।
समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,अभिलंब सदिशों के क्रॉस गुणनफल के समांतर होगा: $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिशा सदिश $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूँकि रेखा $(1, 2, 3)$ और $(-3, 2, 5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ के मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ से भाग देने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यह रेखा बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरती है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ होगा,जिसे सरल करने पर $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L_1$ का समीकरण $\vec{r} = 3 \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{i} + \hat{k})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,स्थिति सदिश समान होने चाहिए:
$3 \hat{i} - \lambda \hat{i} + \lambda \hat{j} + \lambda \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{i} + \mu \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{j}$ के लिए: $\lambda = 1$.
$\hat{k}$ के लिए: $\lambda = \mu$,अतः $\mu = 1$.
$\hat{i}$ के लिए: $3 - \lambda = 1 + \mu \Rightarrow 3 - 1 = 1 + 1 \Rightarrow 2 = 2$,जो संगत है।
$L_1$ के समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$\vec{r} = 3 \hat{i} + 1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।

(C) बिंदुओं $P(2,1,-3)$ और $Q(-3,1,7)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-3-2, 1-1, 7-(-3)) = (-5, 0, 10)$ हैं।
रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{5}$ के समांतर रेखा के दिक-अनुपात $(3, 4, 5)$ हैं।
माना कि इन दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ है। दो रेखाओं जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-15 + 0 + 50}{\sqrt{25 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} \right|$
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{7}{5 \sqrt{10}}\right)$।

(A) माना रेखा पर किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ हैं।
दिया गया बिंदु $A(1, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ हैं।
चूँकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक अनुपात $(3, 2, -2)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0$
$\lambda = -1$
$\lambda = -1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$।

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
इसके बाद,परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|$ की गणना करें:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
अतः,इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है।

(A) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$,और $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 1(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15-4\lambda+2\lambda-20+10 = 5-2\lambda$ है।
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 5^2} = \sqrt{225-120\lambda+16\lambda^2 + \lambda^2-20\lambda+100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(5-2\lambda)^2}{17\lambda^2-140\lambda+350} \Rightarrow 17\lambda^2-140\lambda+350 = 3(25-20\lambda+4\lambda^2) = 75-60\lambda+12\lambda^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $5\lambda^2-80\lambda+275 = 0 \Rightarrow \lambda^2-16\lambda+55 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,अतः $\lambda = 5$ या $\lambda = 11$ है।
$\lambda$ के संभावित मानों का योग $5+11 = 16$ है।

(D) माना $\frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{-2} = \lambda$.
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
माना $A = (1, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(3\lambda+6-1, 2\lambda+7-2, -2\lambda+7-3)$ अर्थात $(3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा पर लंब है, इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, $P = (3(-1)+6, 2(-1)+7, -2(-1)+7) = (3, 5, 9)$ प्राप्त होता है।
लंब $AP$ की लंबाई $A(1, 2, 3)$ और $P(3, 5, 9)$ के बीच की दूरी है:
$AP = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$.

(C) दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होनी चाहिए। दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के प्रतिच्छेदन की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है: $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x_1, y_1, z_1) = (k, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, \frac{9}{2}, 0)$,$(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
सारणिक इस प्रकार होगा: $\left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{9}{2}-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{11}{2} & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(3-k)(3-8) - \frac{11}{2}(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$\Rightarrow (3-k)(-5) - \frac{11}{2}(-2) - 1(1) = 0$.
$\Rightarrow -15 + 5k + 11 - 1 = 0$.
$\Rightarrow 5k - 5 = 0$.
$\Rightarrow 5k = 5$.
$\Rightarrow k = 1$.

(A) माना $\vec{n}$,$X, Y, Z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है।
दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
मान रखने पर: $\cos^2(45^{\circ}) + \cos^2(60^{\circ}) + \cos^2 \gamma = 1$।
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\gamma$ एक न्यून कोण है,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$,अतः $\gamma = 60^{\circ}$।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश को सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर,$\vec{n}' = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-\sqrt{2}, 1, 1)$ से गुजरने वाले और $\vec{n}'$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है।
$\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2})) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$।
$\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) + y - 1 + z - 1 = 0$।
$\sqrt{2}x + 2 + y + z - 2 = 0$।
$\sqrt{2}x + y + z = 0$।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(4, -2, 5)$ तक का सदिश है।
अतः,$\vec{n} = (4 - 0)\hat{i} + (-2 - 0)\hat{j} + (5 - 0)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(4, -2, 5)$ और अभिलंब सदिश $(4, -2, 5)$ का मान रखने पर:
$4(x - 4) - 2(y - (-2)) + 5(z - 5) = 0$
$4(x - 4) - 2(y + 2) + 5(z - 5) = 0$
$4x - 16 - 2y - 4 + 5z - 25 = 0$
$4x - 2y + 5z - 45 = 0$
$4x - 2y + 5z = 45$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,समतल $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ है --- $(i)$।
चूँकि समतल बिंदु $(2, 1, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 2, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(2) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(4 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -\frac{1}{3}$।
अब $\lambda = -\frac{1}{3}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2x - y - 4) - \frac{1}{3}(y + 2z - 4) = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(2x - y - 4) - (y + 2z - 4) = 0$
$6x - 3y - 12 - y - 2z + 4 = 0$
$6x - 4y - 2z - 8 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$3x - 2y - z - 4 = 0$
$3x - 2y - z = 4$।

(D) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ हैं।
इन्हें $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$.
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ हैं।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|\det(A)|}{\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2 + (b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2}}$
जहाँ $A = \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
सारणिक का मान: $\det(A) = 1(15-16) - 2(10-12) + 2(8-9) = 1(-1) - 2(-2) + 2(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$.
हर की गणना:
$a_1b_2-a_2b_1 = (2)(4)-(3)(3) = 8-9 = -1$.
$b_1c_2-b_2c_1 = (3)(5)-(4)(4) = 15-16 = -1$.
$c_1a_2-c_2a_1 = (4)(3)-(5)(2) = 12-10 = 2$.
हर $= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(B) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है और समतल $x-3y+4z-6=0$ है।
सूत्र में $A=1, B=-3, C=4, D=-6$ और $x_1=0, y_1=0, z_1=0$ के मान रखने पर:
$d = \frac{|1(0) - 3(0) + 4(0) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{1 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{26}}$

(C) दिए गए समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि यह समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$,$Y$-अक्ष के इकाई सदिश $\hat{j} = (0, 1, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{3}(2x+3y-z+4) = 0$
$3(x+y+z-1) - (2x+3y-z+4) = 0$
$3x+3y+3z-3 - 2x-3y+z-4 = 0$
$x+4z-7 = 0$।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(3, 2, 1)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है: $3 + 4(1) - 7 = 3+4-7 = 0$।

(C) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल $1, 0, -1$ और $-1, 1, 0$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a - c = 0$ और $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow -a + b = 0$।
इसका अर्थ है कि $a = c$ और $a = b$,इसलिए $a = b = c$।
समतल के समीकरण में $a=b=c$ रखने पर,हमें $a(x-1) + a(y-1) + a(z-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y + z = 3$ हो जाता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$ और $(0, 0, 3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ घन इकाई है।

(B) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है। चूँकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण बनाता है,इसलिए दिक्-कोसाइन समान होंगे,अर्थात $l = m = n$।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{r}_0 = (-1, 1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$(x - (-1))\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z - 2)\hat{k} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(x + 1) + (y - 1) + (z - 2) = 0$
$x + y + z - 2 = 0$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) सबसे पहले,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 4, 2)$ और $\vec{v_2} = (4, 2, 3)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$.
इस समतल का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।
माना अभीष्ट समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ है। यह रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, b, c)$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_3} = (2, 3, 4)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$2a + 3b + 4c = 0$.
चूंकि अभीष्ट समतल,$8x - y - 10z = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं: $(a, b, c) \cdot (8, -1, -10) = 0$,अर्थात $8a - b - 10c = 0$.
इन दो समीकरणों को हल करने पर: $\vec{n_2} = (2, 3, 4) \times (8, -1, -10) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$.
$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः समतल का समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल है: $\vec{n} = (2, 0, -2) \times (-2, 2, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 4) + \hat{k}(4 - 0) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(2, 2, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-2) + 1(y-2) + 1(z-2) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + z = 6$ हो जाता है।
अक्षों पर अंतःखंड $A(6, 0, 0)$,$B(0, 6, 0)$ और $C(0, 0, 6)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_{int} \cdot y_{int} \cdot z_{int}|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{6} |6 \times 6 \times 6| = \frac{216}{6} = 36 \text{ घन इकाइयाँ}$.

(A) $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $x + 2y - 2z = 4$ और $3x + 2y + z = 6$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, 2, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$a + 2b - 2c = 0$
$3a + 2b + c = 0$
दिक् अनुपात $(a, b, c)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$a = (2)(1) - (-2)(2) = 2 + 4 = 6$
$b = (-2)(3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7$
$c = (1)(2) - (2)(3) = 2 - 6 = -4$
अतः,दिक् अनुपात $(6, -7, -4)$ हैं।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$6(x - 1) - 7(y + 1) - 4(z - 2) = 0$
$6x - 6 - 7y - 7 - 4z + 8 = 0$
$6x - 7y - 4z - 5 = 0$.

(D) समतल $x - y + 2z - 2 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 2)$ है।
माना रेखा $PQ$,बिंदु $P(2, 4, -1)$ से गुजरती है और समतल के लंबवत है। रेखा $PQ$ का समीकरण:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 1}{2} = \lambda$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $M(\lambda + 2, 4 - \lambda, 2\lambda - 1)$ है।
चूंकि $M$ समतल पर स्थित है,यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(\lambda + 2) - (4 - \lambda) + 2(2\lambda - 1) - 2 = 0$
$\lambda + 2 - 4 + \lambda + 4\lambda - 2 - 2 = 0$
$6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ रखने पर,हमें $M$ के निर्देशांक $(3, 3, 1)$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है और $Q = (a, b, c)$ है:
$\frac{2 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 4$
$\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2$
$\frac{-1 + c}{2} = 1 \Rightarrow c = 3$
अतः,$a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9$.