एक लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई 9 text{ cm} और आ | vedclass

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Question

(B) शंक्वाकार पात्र के लिए, ऊँचाई $H = 9 	ext{ cm}$ और आधार की त्रिज्या $R = 5 	ext{ cm}$ है।पात्र का कुल आयतन $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H =

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$75$

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(B) शंक्वाकार पात्र के लिए, ऊँचाई $H = 9 	ext{ cm}$ और आधार की त्रिज्या $R = 5 	ext{ cm}$ है।पात्र का कुल आयतन $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (25)(9) = 75\pi 	ext{ cm}^3$ है।माना $t$ समय पर पानी की ऊँचाई $h$ है और पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है।समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से, $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{9}$, अतः $r = \frac{5h}{9}$।पानी की सतह का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5h}{9}ight)^2 = \frac{25\pi h^2}{81}$ है।दी गई शर्त के अनुसार पानी के स्तर के बढ़ने की दर $\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{A} = \frac{\pi}{\frac{25\pi h^2}{81}} = \frac{81}{25h^2}$ है।चरों को अलग करने पर, $h^2 \, dh = \frac{81}{25} \, dt$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int h^2 \, dh = \int \frac{81}{25} \, dt \implies \frac{h^3}{3} = \frac{81}{25}t + C$।चूँकि $t=0$ पर $h=0$ है, इसलिए $C=0$, अतः $h^3 = \frac{243}{25}t$।पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{25h^2}{81}ight) h = \frac{25\pi h^3}{243}$ है।$h^3 = \frac{243}{25}t$ का मान रखने पर, $V = \frac{25\pi}{243} \left(\frac{243}{25}tight) = \pi t$ प्राप्त होता है।शंकु के पूरी तरह भरने के लिए, $V = V_{total} = 75\pi$ होना चाहिए।अतः, $\pi t = 75\pi \implies t = 75 	ext{ सेकंड}$।

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