MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $1$. क्षेत्र को परिबद्ध करने वाली रेखाओं की पहचान करें: रेखाएं $3x + 4y = 12$ (अंतःखंड $(4,0)$ और $(0,3)$),$4x + 7y = 28$ (अंतःखंड $(7,0)$ और $(0,4)$),और $y = 1$ हैं।
$2$. असमिकाओं का विश्लेषण करें:
- रेखा $3x + 4y = 12$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,इसलिए असमिका $3x + 4y \geq 12$ है।
- रेखा $4x + 7y = 28$ के लिए,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $4x + 7y \leq 28$ है।
- रेखा $y = 1$ के लिए,छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $y \geq 1$ है।
- चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$3$. इन सबको मिलाकर,असमिकाओं का निकाय $3x + 4y \geq 12, 4x + 7y \leq 28, y \geq 1, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(C) सुसंगत क्षेत्र $(0,0)$,$(3,0)$,$(3,2)$,$(2,3)$,और $(0,3)$ शीर्षों वाला एक बहुभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z=10x+25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0,0)$ पर,$z=10(0)+25(0)=0$
$(3,0)$ पर,$z=10(3)+25(0)=30$
$(3,2)$ पर,$z=10(3)+25(2)=30+50=80$
$(2,3)$ पर,$z=10(2)+25(3)=20+75=95$
$(0,3)$ पर,$z=10(0)+25(3)=75$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $95$ है।

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $4x + 3y \leq 60$: यह रेखा $(15, 0)$ और $(0, 20)$ से गुजरती है और इसके नीचे का क्षेत्र दर्शाती है।
$2$. $y \geq 2x$: यह रेखा $(0, 0)$ और $(3, 6)$ से गुजरती है और इसके ऊपर का क्षेत्र दर्शाती है।
$3$. $x \geq 3$: यह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ के दाईं ओर का क्षेत्र दर्शाती है।
$4$. $x, y \geq 0$: यह प्रथम चतुर्थांश को दर्शाता है।
$S_2$ क्षेत्र में स्थित एक बिंदु $(4, 10)$ की जाँच करने पर:
- $4(4) + 3(10) = 16 + 30 = 46 \leq 60$ (सत्य)
- $10 \geq 2(4) = 8$ (सत्य)
- $4 \geq 3$ (सत्य)
- $4, 10 \geq 0$ (सत्य)
चूंकि सभी शर्तें संतुष्ट होती हैं,इसलिए हल समुच्चय $S_2$ क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

(D) रैखिक बाधाओं को निर्धारित करने के लिए,हम छायांकित क्षेत्र की सीमा रेखाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $(3, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $2x + 3y = 6$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,इसलिए बाधा $2x + 3y \geq 6$ है।
$2$. $(0, 3)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $3x + 6y = 18$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $3x + 6y \leq 18$ है।
$3$. $(3, 0)$ और $(0, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $x - 3y = 3$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $x - 3y \leq 3$ है।
$4$. $(0, 1)$ और $(2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $-x + 2y = 2$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए बाधा $-x + 2y \leq 2$ है।
$5$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,सही बाधाएं $2x + 3y \geq 6, 3x + 6y \leq 18, x - 3y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।

(A) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A, B, C, D$ हैं।
ग्राफ से,रेखाएं $y = 3$,$x = 4$,$y = x + 3$,और $2x + 3y = 12$ हैं।
$1$. बिंदु $A$,$y = 3$ और $2x + 3y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 3(3) = 12 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. अतः,$A = (1.5, 3)$.
$2$. बिंदु $B$,$y = 3$ और $x = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B = (4, 3)$.
$3$. बिंदु $C$,$x = 4$ और $y = x + 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$y = 4 + 3 = 7$. अतः,$C = (4, 7)$.
$4$. बिंदु $D$,$y = x + 3$ और $2x + 3y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 3(x + 3) = 12 \implies 5x + 9 = 12 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6$.
$y = 0.6 + 3 = 3.6$. अतः,$D = (0.6, 3.6)$.
अब,इन बिंदुओं पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात कीजिए:
$Z(A) = 3(1.5) + 5(3) = 4.5 + 15 = 19.5$.
$Z(B) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$.
$Z(C) = 3(4) + 5(7) = 12 + 35 = 47$.
$Z(D) = 3(0.6) + 5(3.6) = 1.8 + 18 = 19.8$.
$Z$ का न्यूनतम मान $19.5$ है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = B$ है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
यह रैखिक समीकरणों के निकाय के अनुरूप है:
$1) \quad a + b + c = 6$
$2) \quad b + 3c = 11$
$3) \quad a - 2b + c = 0$
समीकरण $(3)$ से,हमारे पास $a + c = 2b$ है।
$a + c = 2b$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2b + b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2$.
अब,$b = 2$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 + 3c = 11 \implies 3c = 9 \implies c = 3$.
अंत में,$b = 2$ और $c = 3$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2 + 3 = 6 \implies a + 5 = 6 \implies a = 1$.
हमें $2a + b + 2c$ का मान ज्ञात करना है:
$2(1) + 2 + 2(3) = 2 + 2 + 6 = 10$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = (2a)(2) - (-3b)(3) = 4a + 9b$.
अतः,$A \cdot \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix}$.
अब,$A A^{T}$ की गणना करते हैं:
$A A^{T} = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a & 3 \\ -3b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A \cdot \operatorname{adj} A = A A^{T}$,आव्यूहों की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर:
$6a - 6b = 0 \implies a = b$.
$4a + 9b = 13$.
दूसरे समीकरण में $a = b$ रखने पर: $4a + 9a = 13 \implies 13a = 13 \implies a = 1$.
अतः $a = 1$ और $b = 1$.
इसलिए,$2a + 3b = 2(1) + 3(1) = 5$.

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $B = \operatorname{Adj}(A)$ और $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है।
अतः,$|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
दिया गया है कि $|A| = 5$,इसलिए $|B| = 5^2 = 25$ होगा।
अब,$B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \times 3 - 2 \times 3) - \alpha(1 \times 3 - 2 \times 2) + 2(1 \times 3 - 2 \times 2)$.
$|B| = 1(6 - 6) - \alpha(3 - 4) + 2(3 - 4)$.
$|B| = 0 - \alpha(-1) + 2(-1) = \alpha - 2$.
$|B|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$\alpha - 2 = 25$.
$\alpha = 27$.

(A) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $B = \operatorname{adj} A$ और $n = 3$ दिया गया है,इसलिए $|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|B| = 4^2 = 16$ होगा।
अब,$B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = \begin{vmatrix} 3 & \alpha & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(9-1) - \alpha(3+1) - 1(1+3) = 3(8) - 4\alpha - 4 = 24 - 4\alpha - 4 = 20 - 4\alpha$.
$|B|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$20 - 4\alpha = 16$
$4\alpha = 4$
$\alpha = 1$.

(B) हमें दिया गया है कि $P = \text{adj}(A)$ और $|A| = 4$ है।
हम आव्यूह के सहखंडज का गुणधर्म जानते हैं: $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|P| = |\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|P| = 4^2 = 16$ होगा।
अब,$P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$= 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$= 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$= 2\alpha - 6$।
$|P|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।

(D) किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग आव्यूह $A$ के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $\sum_{j=1}^{3} a_{ij}A_{ij} = |A|$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$।
व्यंजक $a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$ दूसरी पंक्ति के अनुदिश आव्यूह $A$ का सारणिक विस्तार दर्शाता है।
सहखंडों की गणना:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -1(8 - 6) = -2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 3) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2 - 2) = 0$
अब,मान रखने पर:
$a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = (-1)(-2) + (1)(1) + (2)(0)$
$= 2 + 1 + 0 = 3$.

(D) दिया गया है $B = I - {}^{3}C_{1}(\operatorname{adj} A) + {}^{3}C_{2}(\operatorname{adj} A)^{2} - {}^{3}C_{3}(\operatorname{adj} A)^{3}$।
द्विपद विस्तार $(I - X)^{3} = I - {}^{3}C_{1}X + {}^{3}C_{2}X^{2} - {}^{3}C_{3}X^{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $B = (I - \operatorname{adj} A)^{3}$ प्राप्त होता है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ के लिए,इसका एड्जॉइंट $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अतः $I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
अब,$B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}^{3} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
वर्ग की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
घन की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग $(-1) + (-3) + 0 + (-1) = -5$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1 & -2-3 \\ -2-3 & 1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$2A^2 + 5A = 2 \begin{bmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$।
मान लीजिए $M = 2A^2 + 5A = \begin{bmatrix} 20 & -15 \\ -15 & 35 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|M| = (20)(35) - (-15)(-15) = 700 - 225 = 475$।
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{475} \begin{bmatrix} 35 & 15 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $M^{-1} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2+1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = iI$.
अतः $A^6 = (A^3)^2 = (iI)^2 = i^2 I = -I$.
अब,$B = A^{2029} = A^{6 \times 338 + 1} = (A^6)^{338} \times A = (-I)^{338} \times A = I \times A = A$.
चूँकि $B = A$,हमें $B^{-1} = A^{-1}$ ज्ञात करना है।
$|A| = (i)(0) - (1)(1) = -1$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \operatorname{adj} A = -\operatorname{adj} A$.
अतः,$B^{-1} = -\operatorname{adj} A$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ ज्ञात करते हैं।
समीकरण $A^{-1} = xA + yI$ के अनुसार:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2x = \frac{-2}{11} \Rightarrow x = \frac{-1}{11}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x+y = \frac{1}{11} \Rightarrow \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \Rightarrow y = \frac{2}{11}$।
अंत में,$2x + 3y = 2(\frac{-1}{11}) + 3(\frac{2}{11}) = \frac{-2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{4}{11}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -\tan x - \tan x \\ \tan x + \tan x & -\tan^2 x + 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{1 + \tan^2 x} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2 \tan x \\ 2 \tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} & \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \\ \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} & \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ और $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$A^T \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.

(B) सबसे पहले,आव्यूह $A$ और $B$ का योग ज्ञात करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$
अब,$(A+B)$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A+B| = (2)(-2) - (0)(6) = -4 - 0 = -4$
चूंकि $|A+B| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम आव्यूह का अस्तित्व है।
यदि $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है,तो $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-2}{-4} & \frac{0}{-4} \\ \frac{-6}{-4} & \frac{2}{-4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

(C) मान लीजिए कि $p$ एक बार में दस (ten) निकालने की प्रायिकता है। $52$ पत्तों की गड्डी में $4$ दस होते हैं,इसलिए $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
दस न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए दसों की संख्या $X$,$n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ के साथ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करती है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दसों की संख्या का माध्य $E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(C) मान लीजिए कि आगे का कदम एक सफलता $(p = 0.4)$ है और पीछे का कदम एक विफलता $(q = 0.6)$ है।
$11$ कदमों के बाद शुरुआती बिंदु से एक कदम दूर रहने के लिए,आगे के कदमों $(n_f)$ और पीछे के कदमों $(n_b)$ को $n_f - n_b = 1$ या $n_b - n_f = 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $n_f + n_b = 11$,संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $n_f = 6$ और $n_b = 5$.
स्थिति $2$: $n_f = 5$ और $n_b = 6$.
आवश्यक प्रायिकता $P = { }^{11} C_6 p^6 q^5 + { }^{11} C_5 p^5 q^6$ है।
चूंकि ${ }^{11} C_6 = { }^{11} C_5$,हमें प्राप्त होता है:
$P = { }^{11} C_6 (p^6 q^5 + p^5 q^6) = { }^{11} C_6 p^5 q^5 (p + q)$.
$p + q = 0.4 + 0.6 = 1$ दिया गया है,इसलिए:
$P = { }^{11} C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (1) = { }^{11} C_6 (0.24)^5$.

(A) $3$ सिक्के उछालने पर,कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
परिणाम: ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}$।
$P(\text{सभी चित या सभी पट}) = P({HHH, TTT}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
$P(\text{एक चित या दो चित}) = P({HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।
मान लीजिए $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$P(X = 7) = \frac{1}{4}$ और $P(X = -3) = \frac{3}{4}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i = 7 \times \frac{1}{4} + (-3) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$।
अतः,प्रति खेल अपेक्षित राशि ₹ $-0.5$ है।

(B) माना $p$ सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
माना यादृच्छिक चर $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n = 5$ है।
दिया गया है कि $P(X = 3) = 2 P(X = 2)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${ }^5 C_3 p^3 q^2 = 2 \times { }^5 C_2 p^2 q^3$.
चूँकि ${ }^5 C_3 = 10$ और ${ }^5 C_2 = 10$,इसलिए $10 p^3 q^2 = 20 p^2 q^3$ है।
दोनों पक्षों को $10 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $p, q \neq 0$),हमें $p = 2q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p + q = 1$,$p = 2q$ प्रतिस्थापित करने पर $3q = 1$ मिलता है,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
$5$ बार फेंकने पर कोई भी सम संख्या न मिलने की प्रायिकता $P(X = 0) = { }^5 C_0 p^0 q^5 = q^5 = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$ है।
$5$ बार फेंकने के $6804$ सेटों में,कोई भी सम संख्या न मिलने की अपेक्षित संख्या $6804 \times \frac{1}{243} = 28$ है।

(C) माना $X$ उन समस्याओं की संख्या है जिन्हें उम्मीदवार हल करने में असमर्थ है। किसी समस्या को हल करने में असमर्थ होने की प्रायिकता $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
किसी समस्या को हल करने की प्रायिकता $q = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $n = 50$ समस्याएं हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह $2$ से कम समस्याओं को हल करने में असमर्थ है,अर्थात $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{50}C_{0} \left(\frac{1}{5}\right)^{0} \left(\frac{4}{5}\right)^{50} = \left(\frac{4}{5}\right)^{50}$।
$P(X = 1) = {}^{50}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 50 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 10 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$।
$P(X < 2) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4}{5} + 10\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4 + 50}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \frac{54}{5} \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$।

(A) मान लीजिए $X$ दो बार पत्ते निकालने में रानियों की संख्या को दर्शाता है। प्रतिस्थापन के साथ,प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है।
एक बार में रानी आने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
रानी न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^2C_0 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 \times (\frac{1}{13}) \times (\frac{12}{13}) = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 \times (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,और $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ है।
सबसे पहले,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ज्ञात करें।
साथ ही,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ और $P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
अब,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})} = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$ है।
और $P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(A^{\prime})} = \frac{2/3}{2/3} = 1$ है।
अतः,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) + P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{5}{6} + 1 = \frac{11}{6}$ है।

(A) मान लीजिए $X$ खराब बल्बों की संख्या को दर्शाता है।
$p$ बल्ब के खराब होने की प्रायिकता है:
$p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
चूंकि बल्बों को एक बड़े लॉट से चुना जाता है,हम द्विपद वितरण का उपयोग करते हैं:
$P(X = r) = { }^5 C_r \left(\frac{1}{10}\right)^r \left(\frac{9}{10}\right)^{5-r}, r = 0, 1, \dots, 5$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दुकान को अधिकतम एक खराब बल्ब प्राप्त हो,अर्थात $P(X \leq 1)$:
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^5 = \left(\frac{9}{10}\right)^5$
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{10}\right)^1 \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4$
$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^5 + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9}{10} + \frac{1}{2} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9+5}{10} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left( \frac{14}{10} \right) = \frac{7}{5} \left(\frac{9}{10}\right)^4$

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
दिए गए समीकरण से: $P(A \cup B) = 2P(B) - P(A)$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(B)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2P(A) = P(B) + P(A) \cdot P(B)$.
$2P(A) = P(B)(1 + P(A))$.
$P(B) = \frac{2P(A)}{1 + P(A)}$.
चूंकि $P(A) = \frac{1}{4}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$P(B) = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) एक प्रयोग विफल होने की तुलना में दोगुनी बार सफल होता है।
मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $p = 2q$।
चूंकि $p + q = 1$,हमारे पास $2q + q = 1$ है,जिसका अर्थ है $3q = 1$,इसलिए $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$।
यहाँ $n = 6$ परीक्षण हैं। मान लीजिए $X$ सफलताओं की संख्या है,जहाँ $X \sim B(n, p)$।
आवश्यक प्रायिकता $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {^6C_4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$।
$P(X = 5) = {^6C_5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$।
$P(X = 6) = {^6C_6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$।

(B) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=4$ दिया गया है,इसलिए:
$P(X=3) = { }^4 C_3 p^3 (1-p)^1 = 4p^3(1-p)$
$P(X=2) = { }^4 C_2 p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2$
दी गई शर्त $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ के अनुसार:
$2 \times [4p^3(1-p)] = 3 \times [6p^2(1-p)^2]$
$8p^3(1-p) = 18p^2(1-p)^2$
दोनों पक्षों को $2p^2(1-p)$ से विभाजित करने पर:
$4p = 9(1-p)$
$4p = 9 - 9p$
$13p = 9 \implies p = \frac{9}{13}$
अतः $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ होता है:
$\text{प्रसरण} = 4 \times \frac{9}{13} \times \frac{4}{13} = \frac{144}{169}$।

(D) दिया गया है,$P(X=4) = \frac{135}{2^{12}}$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${}^6C_4 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
चूंकि ${}^6C_4 = 15$,हमें $15 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$ प्राप्त होता है।
$15$ से भाग देने पर,$p^4 q^2 = \frac{9}{2^{12}} = \frac{3^2}{(2^6)^2} = \left(\frac{3}{64}\right)^2$.
वर्गमूल लेने पर,$p^2 q = \frac{3}{64}$.
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर,$p^2(1-p) = \frac{3}{64}$.
निरीक्षण करने पर,यदि $p = \frac{1}{4}$ है,तो $p^2(1-p) = (\frac{1}{16})(\frac{3}{4}) = \frac{3}{64}$.
अतः,$p = \frac{1}{4}$ और $q = \frac{3}{4}$.
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $= 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए जहाँ $n=7$ है,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=3) = 5 P(X=4)$।
सूत्र में मान रखने पर:
${^7C_3} p^3 q^4 = 5 \times {^7C_4} p^4 q^3$
चूंकि ${^7C_3} = {^7C_4} = 35$ है,हम दोनों पक्षों को $35 p^3 q^3$ से विभाजित कर सकते हैं:
$q = 5p$
चूंकि $q = 1-p$ है,इसलिए $1-p = 5p$,जिसका अर्थ है $6p = 1$,अतः $p = \frac{1}{6}$।
अब $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$।

(D) $n$ परीक्षणों वाले द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $n = 5$ और $\mu + \sigma^2 = 1.8$ है।
मान रखने पर:
$np + npq = 1.8$
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
दशमलव हटाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$50p^2 - 100p + 18 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$25p^2 - 50p + 9 = 0$
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$
$p_1 = \frac{90}{50} = 1.8$ (संभव नहीं है क्योंकि $0 \le p \le 1$)
$p_2 = \frac{10}{50} = 0.2$
अतः,$p = 0.2$.

(B) $1$ और $0$ अंकित तीन सिक्कों को उछाला जाता है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$X$ ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग दर्शाता है।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$1/8$	$3/8$	$3/8$	$1/8$

$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता द्रव्यमान फलन में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{r = 0}^n P(X = r) = 1$.
$\frac{^n C_0 + ^n C_1 + ^n C_2 + \dots + ^n C_n}{32} = 1$.
सर्वसमिका $\sum_{r = 0}^n n C_r = 2^n$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2^n}{32} = 1$ प्राप्त होता है।
$2^n = 32$,जिसका अर्थ है $2^n = 2^5$,इसलिए $n = 5$.
अब,हमें $P[X \leq 2] = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ की गणना करनी है।
$P[X \leq 2] = \frac{^5 C_0}{32} + \frac{^5 C_1}{32} + \frac{^5 C_2}{32}$.
मान रखने पर: $^5 C_0 = 1$,$^5 C_1 = 5$,और $^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
$P[X \leq 2] = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $X$ समान प्रायिकता $P(X) = \frac{1}{n}$ के साथ $1, 2, \ldots, n$ मान ग्रहण करता है।
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
दिया गया है कि $\operatorname{Var}(X) = E(X)$,इसलिए:
$\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n+1}{2}$.
$(n+1)$ से भाग देने पर (चूंकि $n \neq -1$):
$\frac{2n+1}{6} - \frac{n+1}{4} = \frac{1}{2}$.
$12$ से गुणा करने पर:
$2(2n+1) - 3(n+1) = 6$.
$4n + 2 - 3n - 3 = 6$.
$n - 1 = 6 \implies n = 7$.

(C) जब खिलाड़ी $2$ निष्पक्ष सिक्के उछालता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो खिलाड़ी द्वारा प्राप्त राशि को दर्शाता है।
$X$ के संभावित मान $5, 2$ और $1$ हैं।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(X=5) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(\{HT, TH\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(\{TT\}) = \frac{1}{4}$
प्रायिकता वितरण:
$E(X) = \sum X P(X) = 5 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$
$E(X^2) = \sum X^2 P(X) = 5^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$
$\text{प्रसरण}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{34}{4} - \left(\frac{10}{4}\right)^2 = \frac{34}{4} - \frac{100}{16} = \frac{136 - 100}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.

(A) एक असतत यादृच्छिक चर के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{6} f(x) = 1$
$k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 1$
$k(0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91k = 1 \implies k = \frac{1}{91}$
संचयी वितरण फलन $F(4)$ को $P(X \leq 4)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$F(4) = k(0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)$
$F(4) = k(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 30k$
$k = \frac{1}{91}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F(4) = 30 \times \frac{1}{91} = \frac{30}{91}$

(C) यादृच्छिक चर $X$ एक निष्पक्ष पासे के $2$ उछालों में छक्कों की संख्या को दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
एक उछाल में छक्का आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है,और छक्का न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$X = 0$ (कोई छक्का नहीं) के लिए: $P(X = 0) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$।
$X = 1$ (एक छक्का) के लिए: $P(X = 1) = (p \times q) + (q \times p) = (\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}) + (\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$X = 2$ (दो छक्के) के लिए: $P(X = 2) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(B) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $n$ परीक्षणों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है,और $q = 1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $n = 10$ और $\text{माध्य} + \text{प्रसरण} = \frac{15}{2}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $np + npq = \frac{15}{2}$.
चूंकि $q = 1-p$,इसलिए $np + np(1-p) = \frac{15}{2}$.
$10p + 10p(1-p) = 7.5$.
$10p + 10p - 10p^2 = 7.5$.
$20p - 10p^2 = 7.5$.
$2.5$ से विभाजित करने पर: $8p - 4p^2 = 3$.
$4p^2 - 8p + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2p-1)(2p-3) = 0$.
इससे $p = \frac{1}{2}$ या $p = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 < p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ होगा।
तब $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रसरण $\sigma^2 = npq = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2.5$ है।

(A) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए $P(X=4) = {^6C_4} p^4 q^2$ और $P(X=2) = {^6C_2} p^2 q^4$ होगा।
दी गई शर्त $9 \cdot P(X=4) = P(X=2)$ है।
मान रखने पर: $9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2 = {^6C_2} p^2 q^4$.
चूँकि ${^6C_4} = 15$ और ${^6C_2} = 15$ है,इसलिए:
$9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$9 p^2 = q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $3p = q$.
चूँकि $q = 1-p$ है,इसलिए $3p = 1-p$.
$4p = 1$,जिससे $p = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $X$ खराब टोकरियों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूँकि हम बिना प्रतिस्थापन के $2$ टोकरियाँ निकालते हैं,$X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
कुल टोकरियाँ = $20$,खराब = $6$,सही = $14$.
$P(X=0) = \frac{14}{20} \times \frac{13}{19} = \frac{182}{380}$
$P(X=1) = \frac{6}{20} \times \frac{14}{19} + \frac{14}{20} \times \frac{6}{19} = \frac{84+84}{380} = \frac{168}{380}$
$P(X=2) = \frac{6}{20} \times \frac{5}{19} = \frac{30}{380}$
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$
$E(X) = 0 + \frac{168}{380} + 2 \times \frac{30}{380} = \frac{168 + 60}{380} = \frac{228}{380} = 0.6$.

(D) मान लीजिए $X \sim B(n, p)$ है।
दिया गया है कि माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $8q = 4$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$ और $p = \frac{1}{2}$।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,हमें $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$।
$P(X \leq 2) = \frac{{}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}}{2^{16}}$।
संचय की गणना करने पर: ${}^{16}C_{0} = 1$,${}^{16}C_{1} = 16$,और ${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$।
अतः,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$।
इसकी तुलना $\frac{K}{2^{16}}$ से करने पर,हमें $K = 137$ प्राप्त होता है।

(C) एक निष्पक्ष पासे को क्रमिक रूप से दो बार उछाला जाता है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $X$ दो उछालों में चार की संख्या है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$1$. $X = 0$ के लिए: वे परिणाम जिनमें किसी भी पासे पर $4$ नहीं आता है। ऐसे $5 \times 5 = 25$ परिणाम हैं। अतः,$P(X = 0) = \frac{25}{36}$.
$2$. $X = 1$ के लिए: परिणाम $(4, \text{not } 4)$ या $(\text{not } 4, 4)$ हैं। ऐसे $1 \times 5 + 5 \times 1 = 10$ परिणाम हैं। अतः,$P(X = 1) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$3$. $X = 2$ के लिए: केवल एक परिणाम $(4, 4)$ है। अतः,$P(X = 2) = \frac{1}{36}$.
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(A) मान लीजिए $X$ प्रतिस्थापन के साथ $2$ प्रयासों में निकाले गए जैक की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला यादृच्छिक चर है।
कुल पत्तों की संख्या $52$ है और जैक की संख्या $4$ है।
एक प्रयास में जैक निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
जैक न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि प्रयास स्वतंत्र हैं (प्रतिस्थापन के साथ),$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
$P(X = x) = ^nC_x p^x q^{n-x}$
$P(X = 0) = ^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
अतः,प्रायिकता वितरण विकल्प $(A)$ द्वारा दिया गया है।

(B) अपेक्षित मान $E(X)$ को $\sum_{x=1}^{n} x \cdot P(X=x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है कि $P(X=x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ जहाँ $x = 1, 2, \ldots, n$ है।
अतः,$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$.
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$E(X) = \frac{2(2n+1)}{6} = \frac{2n+1}{3}$.

(B) माना $X$ यादृच्छिक चर है जो ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग दर्शाता है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $3$ सिक्के हैं,कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = \frac{1}{8}$
$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = \frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$Variance(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

(A) प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:
$E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i = \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \dots + \frac{k}{k} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} i = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k+1}{2}$
$E(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 p_i = \frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6}$
प्रसरण $= E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{(k+1)(2k+1)}{6} - \left( \frac{k+1}{2} \right)^2$
$= \frac{2k^2 + 3k + 1}{6} - \frac{k^2 + 2k + 1}{4}$
$= \frac{2(2k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1)}{12}$
$= \frac{4k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3}{12}$
$= \frac{k^2 - 1}{12}$

(C) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$(4k - 10k^2) + (5k - 1) + 3k^3 = 1$
$3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $k = \frac{1}{3}$ एक मूल है:
$3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$
बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $(k - \frac{1}{3})(3k^2 - 9k + 6) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(k - \frac{1}{3})(k - 1)(k - 2) = 0$ हो जाता है।
यदि $k = 1$ है,तो $P(X=0) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,जो संभव नहीं है क्योंकि प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती।
यदि $k = 2$ है,तो $P(X=0) = 4(2) - 10(4) = 8 - 40 = -32$,जो संभव नहीं है।
अतः,$k = \frac{1}{3}$ ही एकमात्र मान्य मान है।
हमें $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X < 2) = (4k - 10k^2) + (5k - 1) = 9k - 10k^2 - 1$
$k = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$P(X < 2) = 9(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) - 1 = 3 - \frac{10}{9} - 1 = 2 - \frac{10}{9} = \frac{18 - 10}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) $X$ के मानों के समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.08 + 0.05 = 0.48$.
घटना $F = \{X < 5\}$ का अर्थ है $X \in \{1, 2, 3, 4\}$।
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 = 0.70$.
घटना $E \cap F$ का अर्थ है कि $X$ एक $5$ से छोटी अभाज्य संख्या है,जो $\{2, 3\}$ है।
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.48 + 0.70 - 0.35 = 0.83$.

(C) हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = 3(1 - 2x^2)$ दिया गया है,जहाँ $0 < x < 1$ है।
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अंतराल पर फलन का समाकलन करेंगे:
$P\left(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\right) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} 3(1 - 2x^2) dx$
$= \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} (3 - 6x^2) dx$
$= [3x - 2x^3]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}}$
$= \left(3\left(\frac{1}{3}\right) - 2\left(\frac{1}{3}\right)^3\right) - \left(3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right)^3\right)$
$= \left(1 - \frac{2}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{64}\right)$
$= \left(\frac{25}{27}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{32}\right)$
$= \frac{25}{27} - \frac{3}{4} + \frac{1}{32}$
उभयनिष्ठ हर $(864)$ लेने पर:
$= \frac{25 \times 32 - 3 \times 216 + 1 \times 27}{864}$
$= \frac{800 - 648 + 27}{864} = \frac{179}{864}$

(D) अपेक्षित मान $E(X)$ को $\sum x_i \cdot P(x_i)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है $P(x) = \frac{2x}{n(n+1)}$ जहाँ $x = 1, 2, \ldots, n$ है।
$E(X) = \sum_{x=1}^{n} x \cdot \frac{2x}{n(n+1)}$
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{x=1}^{n} x^2$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{x=1}^{n} x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
$E(X) = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$E(X) = \frac{2n+1}{3}$