फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ का अधिकतम मान तब होता है जब $x$ का मान है

यदि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच इस प्रकार गति कर रही है कि उसके द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग सदैव $12$ रहता है,तो उस रेखा का समीकरण क्या होगा जो निर्देशांक अक्षों के साथ अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज बनाती है?

$8 \text{ units}$ लंबाई के एक तार को दो भागों में काटा जाता है जिन्हें क्रमशः एक वर्ग और एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है। इस प्रकार बने क्षेत्रफलों के योग का न्यूनतम मान है

फलन $y = a(1 - \cos x)$ अधिकतम है जब $x = $

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

$h(x) = x + 1, x \in (-1, 1)$ द्वारा दिए गए फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।