यदि sum_{r=1}^{50} tan ^{-1} frac{1}{2 r^2}=p | vedclass

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Question

(C) हमें योग $p = \sum_{r=1}^{50} 	an ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ दिया गया है।$	an^{-1}$ के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर हमें $	an ^{-1} \frac{

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$\frac{50}{51}$

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(C) हमें योग $p = \sum_{r=1}^{50} 	an ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ दिया गया है।$	an^{-1}$ के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर हमें $	an ^{-1} \frac{2}{4 r^2}$ प्राप्त होता है।हम इस पद को $	an ^{-1} \left[ \frac{(2r+1) - (2r-1)}{1 + (2r+1)(2r-1)} ight]$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर,यह $	an^{-1}(2r+1) - 	an^{-1}(2r-1)$ बन जाता है।अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$p = \sum_{r=1}^{50} [	an^{-1}(2r+1) - 	an^{-1}(2r-1)]$$p = (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 3) + \dots + (	an^{-1} 101 - 	an^{-1} 99)$सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $p = 	an^{-1} 101 - 	an^{-1} 1$ शेष रहता है।सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:$p = 	an^{-1} \left( \frac{101 - 1}{1 + 101 	imes 1} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{100}{102} ight)$.अतः,$	an p = \frac{100}{102} = \frac{50}{51}$.

यदि $\sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^2}=p$ है,तो $\tan p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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