जब x+2y=8 हो,तो xy का अधिकतम मान क्या होगा? | vedclass

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Question

(D) दी गई शर्त $x+2y=8$ है। हम $y$ को $x$ के पदों में $2y = 8-x$ के रूप में लिख सकते हैं,जिससे $y = \frac{8-x}{2}$ प्राप्त होता है। माना कि अधिकतम करन

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$8$

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(D) दी गई शर्त $x+2y=8$ है। हम $y$ को $x$ के पदों में $2y = 8-x$ के रूप में लिख सकते हैं,जिससे $y = \frac{8-x}{2}$ प्राप्त होता है। माना कि अधिकतम करने वाला फलन $f(x) = xy$ है। $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x \cdot \frac{8-x}{2} = 4x - \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{x^2}{2}) = 4 - x$. क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर: $4 - x = 0 \implies x = 4$. यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज (second derivative) की जाँच करते हैं: $f''(x) = -1$. चूँकि $f''(4) = -1 $x = 4$ का मान $y$ के समीकरण में रखने पर: $y = \frac{8-4}{2} = 2$. अतः $xy$ का अधिकतम मान $4 	imes 2 = 8$ है।

जब $x+2y=8$ हो,तो $xy$ का अधिकतम मान क्या होगा?

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कथन-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।

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