किसी $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,मान लीजिए कि अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{1}$ और $l_{1}$ हैं,और दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{2}$ और $l_{2}$ हैं। यदि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ है,तो $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ का मान . . . . . . है।

यदि परवलय $y^2 = x$ के बिंदु $(\alpha, \beta)$,$(\beta > 0)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 1$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $y^2 = 6x$ और $9x^2 + by^2 = 16$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2+y^2=9$ और परवलय $y^2=8x$ पर विचार करें। वे क्रमशः प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $P$ और $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष को $R$ पर काटती हैं और $P$ और $Q$ पर परवलय की स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष को $S$ पर काटती हैं।
$1.$ त्रिभुज $PQS$ और $PQR$ के क्षेत्रफलों का अनुपात है
$(A)$ $1:\sqrt{2}$ $(B)$ $1:2$ $(C)$ $1:4$ $(D)$ $1:8$
$2.$ त्रिभुज $PRS$ के परिवृत्त की त्रिज्या है
$(A)$ $5$ $(B)$ $3\sqrt{3}$ $(C)$ $3\sqrt{2}$ $(D)$ $2\sqrt{3}$
$3.$ त्रिभुज $PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या है
$(A)$ $4$ $(B)$ $3$ $(C)$ $8/3$ $(D)$ $2$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=4$ की जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ,जो परवलय $y^{2}=8x$ को स्पर्श करती हैं,है:

परवलय $y^2 = 4ax$ की दो परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ अक्ष को $P_1$ और $P_2$ पर मिलती हैं। यदि $S$ परवलय की नाभि है,तो $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।