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Question

(A) माना $\alpha = \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})$ और $\beta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3})$ है।तब $k = 	an(\frac{\pi}{4} + \alpha) + 	an(\b

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$1$

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(A) माना $\alpha = \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})$ और $\beta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3})$ है।तब $k = 	an(\frac{\pi}{4} + \alpha) + 	an(\beta)$ है।चूंकि $2\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$,इसलिए $\cos(2\alpha) = \frac{2}{3}$ है।चूंकि $2\beta = \sin^{-1}(\frac{2}{3})$,इसलिए $\sin(2\beta) = \frac{2}{3}$ है।$	an \alpha = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।$	an \beta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\beta}{1+\cos 2\beta}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।इन मानों को रखने पर $k=3$ प्राप्त होता है।समीकरण $\sin^{-1}(3x-1) = 2\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $3x-1 = -\cos(2\sin^{-1}x) = 2x^2-1$ प्राप्त होता है।$2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x=0$ या $x=1.5$ है।$x=1.5$ के लिए $\sin^{-1}(3.5)$ परिभाषित नहीं है।$x=0$ के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।अतः,हलों की संख्या $1$ है।

यदि $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})) + \tan(\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3}))$ है,तो समीकरण $\sin^{-1}(kx-1) = \sin^{-1}x - \cos^{-1}x$ के हलों की संख्या . . . . . . है।

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