JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सबसे पहले,कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 8 + 6 + 2 + 2 + 2 + 6 = 26$ की गणना करें।
इसके बाद,गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (7 \times 6) + (9 \times 2) + (10 \times 2) + (12 \times 2) + (15 \times 6) = 40 + 42 + 18 + 20 + 24 + 90 = 234$ प्राप्त करें।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{234}{26} = 9$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$MD = \frac{8|5-9| + 6|7-9| + 2|9-9| + 2|10-9| + 2|12-9| + 6|15-9|}{26}$.
$MD = \frac{8(4) + 6(2) + 2(0) + 2(1) + 2(3) + 6(6)}{26} = \frac{32 + 12 + 0 + 2 + 6 + 36}{26} = \frac{88}{26} = \frac{44}{13}$.

(D) माना $\sum x_i^2 = S_2$ और $\sum x_i = S_1$ है।
दिए गए समीकरणों का विस्तार करने पर:
$S_2 + 4S_1 + 40 = 180 \implies S_2 + 4S_1 = 140$
$S_2 - 2S_1 + 10 = 90 \implies S_2 - 2S_1 = 80$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(S_2 + 4S_1) - (S_2 - 2S_1) = 140 - 80 \implies 6S_1 = 60 \implies S_1 = 10$।
$S_1 = 10$ को $S_2 - 2S_1 = 80$ में रखने पर: $S_2 - 20 = 80 \implies S_2 = 100$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{S_2}{n} - (\frac{S_1}{n})^2 = \frac{100}{10} - (\frac{10}{10})^2 = 10 - 1 = 9$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{9} = 3$।

(D) माना $n$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं।
दिया है: माध्य $\bar{x} = 8$ और प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$n$ प्रेक्षणों के लिए: $\sum_{i=1}^n x_i = 8n$ और $\frac{\sum x_i^2}{n} - (8)^2 = 16 \implies \sum x_i^2 = 80n$।
माना प्रथम $(n-1)$ प्रेक्षणों का योग $S_{n-1} = 48$ और वर्गों का योग $Q_{n-1} = 496$ है।
$n$-वां प्रेक्षण $x_n = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i = 8n - 48$ है।
साथ ही, $x_n^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 = 80n - 496$ है।
$x_n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $(8n - 48)^2 = 80n - 496$।
$64n^2 - 768n + 2304 = 80n - 496$।
$64n^2 - 848n + 2800 = 0$।
$16$ से भाग देने पर: $4n^2 - 53n + 175 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(4n - 25)(n - 7) = 0$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए $n = 7$ है।

(C) आंकड़ों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
मध्य-मान $(x_i)$: $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$.
कुल बारंबारता $\sum f_i = 2 + k + 28 + 54 + (k + 1) + 5 = 90 + 2k$.
$f_i x_i$ का योग = $(2 \times 7.5) + (k \times 12.5) + (28 \times 17.5) + (54 \times 22.5) + ((k + 1) \times 27.5) + (5 \times 32.5) = 15 + 12.5k + 490 + 1215 + 27.5k + 27.5 + 162.5 = 1910 + 40k$.
दिया गया है $\bar{x} = 21$,इसलिए $\frac{1910 + 40k}{90 + 2k} = 21$.
$1910 + 40k = 21(90 + 2k) \Rightarrow 1910 + 40k = 1890 + 42k$.
$2k = 20 \Rightarrow k = 10$.
दिए गए समीकरणों में $k = 10$ का परीक्षण करने पर:
$A) 2(10)^2 - 23(10) - 10 = 200 - 230 - 10 = -40 \neq 0$.
$B) 4(10)^2 - 35(10) + 24 = 400 - 350 + 24 = 74 \neq 0$.
$C) 2(10)^2 - 19(10) - 10 = 200 - 190 - 10 = 0$.
$D) 2(10)^2 - 35(10) + 98 = 200 - 350 + 98 = -52 \neq 0$.
अतः,$k = 10$ समीकरण $2x^2 - 19x - 10 = 0$ का एक मूल है।

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों के योग से,$\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{9(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$,जिससे $\alpha = -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$ प्राप्त होता है।
मूलों के गुणनफल से,$\alpha(2\alpha) = 2\alpha^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
$\alpha$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर: $2 \left[ -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27} \right]^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
सरल करने पर: $\frac{18(k-1)^2}{(k^2 - 15k + 27)^2} = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$।
इसका अर्थ है $(k-1)^2 = k^2 - 15k + 27$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $k^2 - 2k + 1 = k^2 - 15k + 27$।
$k$ के लिए हल करने पर: $13k = 26$,अतः $k = 2$।
परवलय $y^2 = 6kx$ है,जो $y^2 = 12x$ है।
$y^2 = 4ax$ के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है। यहाँ,$4a = 6k = 6(2) = 12$।

(C) हमारे पास $7$ स्थानों को भरने के लिए $5$ अलग-अलग अंक हैं,और प्रत्येक अंक कम से कम एक बार आना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दो अंकों की पुनरावृत्ति होनी चाहिए।
$7$ को $5$ भागों में विभाजित करने की संभावनाएँ $(3, 1, 1, 1, 1)$ और $(2, 2, 1, 1, 1)$ हैं।
स्थिति $1$: विभाजन $(3, 1, 1, 1, 1)$
सबसे पहले,वह अंक चुनें जो $3$ बार आता है: $\binom{5}{1} = 5$ तरीके।
फिर,इन $7$ अंकों की व्यवस्था करें: $\frac{7!}{3!1!1!1!1!} = \frac{5040}{6} = 840$ तरीके।
स्थिति $1$ के लिए कुल = $5 \times 840 = 4200$।
स्थिति $2$: विभाजन $(2, 2, 1, 1, 1)$
सबसे पहले,वे $2$ अंक चुनें जो प्रत्येक दो बार आते हैं: $\binom{5}{2} = 10$ तरीके।
फिर,इन $7$ अंकों की व्यवस्था करें: $\frac{7!}{2!2!1!1!1!} = \frac{5040}{4} = 1260$ तरीके।
स्थिति $2$ के लिए कुल = $10 \times 1260 = 12600$।
कुल योग = $4200 + 12600 = 16800$।

(C) $n$-भुजा वाले बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $p_n = \binom{n}{3}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए संबंध $p_{n+1} - p_n = 66$ में सूत्र रखने पर: $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 66$.
गुणधर्म $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{n}{2} = 66$ प्राप्त होता है।
संयोजन का विस्तार करने पर: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$,जो सरल होकर $n^2 - n = 132$ हो जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $n^2 - n - 132 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 12)(n + 11) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 12$.
$12$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2 \times 3^1$ है।
$12$ के भिन्न अभाज्य विभाजक $2$ और $3$ हैं।
इन अभाज्य विभाजकों का योग $2 + 3 = 5$ है।

$(D)\ \text{कुल व्यक्तियों की संख्या } = 4\ \text{लड़के} + 3\ \text{लड़कियाँ} = 7\ \text{व्यक्ति}.$
$7$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $= 7! = 5040.$
$\text{यह ज्ञात करने के लिए कि सभी लड़कियाँ एक साथ न हों, हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं: }$
$\text{कुल तरीके} - \text{वे तरीके जहाँ सभी लड़कियाँ एक साथ हों}.$
$3$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानने पर, हमारे पास 
$4\ \text{लड़के} + 1\ \text{इकाई} = 5\ \text{इकाइयाँ}$ होती हैं।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, और $3$ लड़कियों को उनकी इकाई के भीतर $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\text{वे तरीके जहाँ सभी } 3 \text{ लड़कियाँ एक साथ हों} = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720.$
अतः, वे तरीके जहाँ सभी लड़कियाँ एक साथ न हों $= 5040 - 720 = 4320.$

(C) दिया गया समीकरण $a + b + 2c = 22$ है,जहाँ $a, b, c \ge 0$ है।
हम इसे $a + b = 22 - 2c$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $a, b \ge 0$ है,इसलिए $22 - 2c \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \le c \le 11$।
एक निश्चित $c$ के लिए,$a + b = 22 - 2c$ के अऋण पूर्णांक हलों की संख्या $(22 - 2c + 1) = 23 - 2c$ है।
अतः,हलों की कुल संख्या $n(A) = \sum_{c=0}^{11} (23 - 2c)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है: $n(A) = 23 + 21 + 19 + \dots + 1$।
पदों की संख्या $12$ है।
योगफल $\frac{12}{2} \times (23 + 1) = 6 \times 24 = 144$ है।

(D) शब्द $INCONSEQUENTIAL$ में $15$ अक्षर हैं।
सबसे पहले,अलग-अलग स्वरों और व्यंजनों की पहचान करें।
स्वर: {$I$,$O$,$E$,$U$,$A$} ($5$ अलग स्वर)।
व्यंजन: {$N$,$C$,$S$,$Q$,$T$,$L$} ($6$ अलग व्यंजन)।
हमें $5$ में से $2$ स्वर और $6$ में से $2$ व्यंजन चुनने हैं।
इन अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 10 \times 15 = 150$ है।
प्रत्येक चयन में $4$ अलग-अलग अक्षर होते हैं,जिन्हें $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $150 \times 24 = 3600$।

(B) हमें $4$ अलग-अलग किताबों को $3$ अलग-अलग बैगों में इस प्रकार वितरित करना है कि कोई भी बैग खाली न रहे।
यह $4$ तत्वों के एक सेट से $3$ तत्वों के एक सेट पर आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$n$ तत्वों के सेट से $m$ तत्वों के सेट पर आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ है।
यहाँ,$n = 4$ और $m = 3$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.

(D) दिया गया समीकरण: $50 \left(\frac{2x}{1 + 3i} - \frac{y}{1 - 2i}\right) = 31 + 17i$.
अंश और हर को उनके संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर: $\frac{2x(1-3i)}{1^2+3^2} = \frac{2x-6xi}{10}$ और $\frac{y(1+2i)}{1^2+2^2} = \frac{y+2yi}{5}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $50 \left(\frac{2x-6xi}{10} - \frac{y+2yi}{5}\right) = 31 + 17i$.
$50 \left(\frac{2x-6xi - 2(y+2yi)}{10}\right) = 31 + 17i$.
$5(2x - 6xi - 2y - 4yi) = 31 + 17i$.
$10x - 30xi - 10y - 20yi = 31 + 17i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(10x - 10y) + i(-30x - 20y) = 31 + 17i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$10x - 10y = 31$ (समीकरण $1$)
$-30x - 20y = 17$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$x - y = 3.1 \Rightarrow x = y + 3.1$.
इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर: $-30(y + 3.1) - 20y = 17 \Rightarrow -30y - 93 - 20y = 17 \Rightarrow -50y = 110 \Rightarrow y = -2.2$.
अतः $x = -2.2 + 3.1 = 0.9$.
अब $10(x - 3y) = 10(0.9 - 3(-2.2)) = 10(0.9 + 6.6) = 10(7.5) = 75$.

(A) दिया गया है कि $|z + 2| = |z - 2|$,जो $-2$ और $2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है,जो कि काल्पनिक अक्ष (imaginary axis) है। अतः,$z = iy$ जहाँ $y \in \mathbb{R}$.
$z = iy$ को तर्क (argument) के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{z + 3}{z - i} = \frac{3 + iy}{iy - i} = \frac{3 + iy}{i(y - 1)}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $-i$ से गुणा करने पर:
$\frac{(3 + iy)(-i)}{i(y - 1)(-i)} = \frac{-3i - i^2y}{y - 1} = \frac{y - 3i}{y - 1} = \frac{y}{y - 1} - i\frac{3}{y - 1}$.
दिया गया है कि $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{-3/(y - 1)}{y/(y - 1)} = \frac{-3}{y} = 1$.
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = -3i$,और $|z|^2 = |-3i|^2 = 9$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ है।
द्विघाती सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = 4, c = -(1 + 12i)$:
$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-(1 + 12i))}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 + 48i}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20 + 48i}}{2} = -2 \pm \sqrt{5 + 12i}$.
मान लीजिए $\sqrt{5 + 12i} = x + iy$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - y^2 + 2ixy = 5 + 12i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x^2 - y^2 = 5$ और $2xy = 12 \Rightarrow xy = 6$.
चूंकि $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,इसलिए $x^2 + y^2 = 13$.
$x^2 - y^2 = 5$ और $x^2 + y^2 = 13$ को हल करने पर,हमें $2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 3, y = 2$; यदि $x = -3, y = -2$. अतः $\sqrt{5 + 12i} = \pm(3 + 2i)$.
इस प्रकार,$z = -2 \pm (3 + 2i)$.
$z_1 = -2 + 3 + 2i = 1 + 2i$ और $z_2 = -2 - 3 - 2i = -5 - 2i$.
$|z_1|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$|z_2|^2 = (-5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.
$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 5 + 29 = 34$.

(A) मान लीजिए $z = x+iy$. समीकरण $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ है।
$z = x+iy$ और $\bar{z} = x-iy$ रखने पर,हमें $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k + 3ki = 0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 + 2x + ix + 2iy - y + 2k + 3ki = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर:
वास्तविक भाग: $x^2 + y^2 + 2x - y + 2k = 0$
काल्पनिक भाग: $x + 2y + 3k = 0 \Rightarrow x = -2y - 3k$.
$x$ का मान वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$(-2y-3k)^2 + y^2 + 2(-2y-3k) - y + 2k = 0$
$4y^2 + 12yk + 9k^2 + y^2 - 4y - 6k - y + 2k = 0$
$5y^2 + y(12k - 5) + 9k^2 - 4k = 0$.
$y$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (12k - 5)^2 - 4(5)(9k^2 - 4k) \ge 0$
$144k^2 - 120k + 25 - 180k^2 + 80k \ge 0$
$-36k^2 - 40k + 25 \ge 0 \Rightarrow 36k^2 + 40k - 25 \le 0$.
$36k^2 + 40k - 25 = 0$ के मूल $k = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(36)(-25)}}{72} = \frac{-40 \pm \sqrt{5200}}{72}$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -\frac{40}{36} = -\frac{10}{9}$.
इसलिए,$9(\alpha + \beta) = 9(-\frac{10}{9}) = -10$.

(B) पहला समीकरण $|z - (4 + 8i)| = \sqrt{10}$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(4, 8)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
दूसरा समीकरण $|z - (3 + 5i)| + |z - (5 + 11i)| = 4\sqrt{5}$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $F_1(3, 5)$ और $F_2(5, 11)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (11-5)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4\sqrt{5}$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{5}$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{2\sqrt{10}}{2(2\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $F_1F_2$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{3+5}{2}, \frac{5+11}{2}) = (4, 8)$ है। यह वृत्त के केंद्र के समान है।
लघु अक्ष का अर्ध-अक्ष $b$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2) = (2\sqrt{5})^2(1 - 1/2) = 20(1/2) = 10$,इसलिए $b = \sqrt{10}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ दीर्घवृत्त के लघु अर्ध-अक्ष $b = \sqrt{10}$ के बराबर है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को लघु अक्ष के दो अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
अतः,$z$ के $2$ मान हैं जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

(D) $1$) समीकरण $x^2 - 3x + r = 0$ से,हमारे पास $\alpha + \beta = 3$ और $\alpha\beta = r$ है।
$2$) समीकरण $x^2 + 3x + r = 0$ के मूल $\frac{\alpha}{2}$ और $2\beta$ हैं। अतः,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = -3$ और $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = r$,जो $\alpha\beta = r$ में सरल होता है। यह सुसंगत है।
$3$) पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\alpha + 4\beta = -6$ प्राप्त होता है। इसमें से $\alpha + \beta = 3$ घटाने पर $3\beta = -9$ मिलता है,इसलिए $\beta = -3$। मान प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = 6$ प्राप्त होता है।
$4$) अतः $r = \alpha\beta = 6(-3) = -18$ है।
$5$) समीकरण $x^2 + 6x - m = 0$ के मूल $x_1 = 2\alpha + \beta + 2r = 2(6) - 3 + 2(-18) = 12 - 3 - 36 = -27$ और $x_2 = \alpha - 2\beta - \frac{r}{2} = 6 - 2(-3) - \frac{-18}{2} = 6 + 6 + 9 = 21$ हैं।
$6$) मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = (-27)(21) = -567$ है। चूंकि समीकरण $x^2 + 6x - m = 0$ है,मूलों का गुणनफल $-m$ है। इसलिए,$-m = -567$,जिसका अर्थ है कि $m = 567$।

(C) $12$ गेंदों को $6$ जोड़ों में विभाजित करने के कुल तरीके $\frac{\binom{12}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{6!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!}$ हैं।
$6$ जोड़े बनाने के तरीके ताकि प्रत्येक जोड़े में एक नीली और एक हरी गेंद हो,$(6! \times 6!) = (6!)^2$ हैं,क्योंकि हम $6$ नीली गेंदों को $6$ हरी गेंदों के साथ $6!$ तरीकों से जोड़ सकते हैं।
प्रायिकता $P = \frac{(6!)^2}{\frac{12!}{2^6}} = \frac{6! \times 6! \times 2^6}{12!}$ है।
$P = \frac{720 \times 720 \times 64}{479001600} = \frac{518400 \times 64}{479001600} = \frac{33177600}{479001600} = \frac{16}{231}$.

(B) $9$ संख्याओं का योग $21+8+17+a+51+103+b+13+67 = 280+a+b$ है।
माध्य $40$ दिया गया है,इसलिए $(280+a+b)/9 = 40$,जिसका अर्थ है $280+a+b = 360$,यानी $a+b = 80$.
संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $8, 13, 17, 21, b, a, 51, 67, 103$ (चूंकि $a > b$ और माध्यिका $21$ है,इसलिए $5^{th}$ पद $21$ होना चाहिए)।
अतः,$b = 21$. इस मान को $a+b = 80$ में रखने पर,$a = 80 - 21 = 59$ प्राप्त होता है।
माध्यिका $(21)$ के सापेक्ष माध्य विचलन की जाँच करने पर: $\frac{1}{9} (|8-21| + |13-21| + |17-21| + |21-21| + |21-21| + |59-21| + |51-21| + |67-21| + |103-21|) = \frac{1}{9} (13+8+4+0+0+38+30+46+82) = \frac{221}{9} \approx 24.55$.
प्रश्न में दिया गया माध्य विचलन $26$ है,जो गणना के करीब है। अतः $2a = 2 \times 59 = 118$. सबसे निकटतम विकल्प $117$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x - 2 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
इससे मूल $x = 1$ और $x = -2$ प्राप्त होते हैं।
हमें दिया गया है कि $(\tan \beta)^{1020}$ इस समीकरण का एक मूल है।
चूंकि $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\tan \beta > 0$,अतः $(\tan \beta)^{1020}$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$(\tan \beta)^{1020} = 1$.
इसका अर्थ है कि $\tan \beta = 1$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{\pi}{4}$ या $45^\circ$.
अब,हमें $\sin^2 \beta + 3 \cos^2 \beta$ की गणना करनी है।
$\beta = 45^\circ$ रखने पर: $\sin^2(45^\circ) + 3 \cos^2(45^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$= \frac{1}{2} + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(B) माना श्रेणी $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \dots + 15^3$ है।
हम पदों को $S = (1^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 14^3)$ के रूप में समूहित कर सकते हैं।
विषम घनों का योग $\sum_{k=1}^8 (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^8 (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^8 k^3 = [8(9)/2]^2 = 36^2 = 1296$.
$\sum_{k=1}^8 k^2 = 8(9)(17)/6 = 204$.
$\sum_{k=1}^8 k = 8(9)/2 = 36$.
विषम घनों का योग $= 8(1296) - 12(204) + 6(36) - 8 = 10368 - 2448 + 216 - 8 = 8128$.
सम घनों का योग $\sum_{k=1}^7 (2k)^3 = 8 \sum_{k=1}^7 k^3 = 8 [7(8)/2]^2 = 8(28^2) = 8(784) = 6272$.
अतः,$S = 8128 - 6272 = 1856$।

(D) मान लीजिए कि $a = 59$ और $b = 159$ के बीच समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_{39}$ हैं।
सार्व अंतर $d$ इस प्रकार है: $d = \frac{b - a}{n + 1} = \frac{159 - 59}{39 + 1} = \frac{100}{40} = 2.5$.
$k$-वाँ समांतर माध्य $A_k = a + k \cdot d = 59 + 2.5k$ है।
हमें $A_{25}, A_{28}, A_{31}, A_{36}$ का माध्य ज्ञात करना है:
$\text{माध्य} = \frac{A_{25} + A_{28} + A_{31} + A_{36}}{4} = \frac{(59 + 25d) + (59 + 28d) + (59 + 31d) + (59 + 36d)}{4}$.
$\text{माध्य} = \frac{4 \cdot 59 + (25 + 28 + 31 + 36)d}{4} = 59 + \frac{120d}{4} = 59 + 30d$.
$d = 2.5$ रखने पर,$\text{माध्य} = 59 + 30(2.5) = 59 + 75 = 134$.

(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।
हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} \right]$.
माना $f(k) = 2k^2-2k+1$. तब $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.
अतः,$T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.
$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.
$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.
यहाँ $\text{gcd}(55, 221) = 1$ है,इसलिए $m=55$ और $n=221$ है।
अतः,$m+n = 55+221 = 276$.

(B) सामान्य पद $T_n = 528 \cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ है।
हम आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{528}{2} \sum_{n=1}^{10} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$ होगा।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $264 \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{10 \cdot 11} - \frac{1}{11 \cdot 12} \right) \right]$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे शेष रहेगा: $264 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{132} \right]$।
$= 264 \left[ \frac{66 - 1}{132} \right] = 264 \cdot \frac{65}{132} = 2 \cdot 65 = 130$।

(A) माना प्रथम पद $a = \frac{10}{3}$ और पदों की संख्या $n = 30$ है।
अंतिम पद $L = a + (n-1)d = \frac{10}{3} + 29d$ है।
समांतर श्रेणी का योग $S_{30} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{30}{2}(\frac{10}{3} + L) = 15(\frac{10}{3} + L) = 50 + 15L$ है।
दिया गया है कि $S_{30} = L^3$,इसलिए $L^3 = 15L + 50$,जिसका अर्थ है $L^3 - 15L - 50 = 0$।
मानों की जाँच करने पर,यदि $L = 5$ है,तो $5^3 - 15(5) - 50 = 125 - 75 - 50 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = 5$ एक मूल है।
अंतिम पद के सूत्र में $L = 5$ रखने पर: $\frac{10}{3} + 29d = 5$।
$29d = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15 - 10}{3} = \frac{5}{3}$।
इसलिए,$d = \frac{5}{3 \times 29} = \frac{5}{87}$।

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{k=0}^{n-1} (x+k)(x+k+2) = 4n$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{n-1} (x^2 + (2k+2)x + k^2+2k) = 4n$.
यह सरल होकर $nx^2 + 2x \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) + \sum_{k=0}^{n-1} (k^2+2k) = 4n$ हो जाता है।
योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $nx^2 + 2x \cdot \frac{n(n+1)}{2} + [\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2 \frac{(n-1)n}{2}] = 4n$.
$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + (n+1)x + \frac{(n-1)(2n-1) + 6(n-1) - 24}{6} = 0$.
मूल $\alpha$ और $\alpha+2$ हैं,इसलिए मूलों का अंतर $2$ है। अतः,$\sqrt{D} = 2a = 2$.
गणना करने पर,विकल्पों के अनुसार $n+\alpha$ का सही मान $0$ प्राप्त होता है।

(D) द्विपद विस्तार $(1+\alpha x)^{26}$ के लिए,पदों की कुल संख्या $27$ है (जो विषम है),इसलिए मध्य पद $14$ वाँ पद $(T_{14})$ है।
$T_{14} = \binom{26}{13}(\alpha x)^{13}$,अतः गुणांक $\binom{26}{13}\alpha^{13}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-\alpha x)^{28}$ के लिए,पदों की कुल संख्या $29$ है (जो विषम है),इसलिए मध्य पद $15$ वाँ पद $(T_{15})$ है।
$T_{15} = \binom{28}{14}(-\alpha x)^{14} = \binom{28}{14}\alpha^{14}x^{14}$,अतः गुणांक $\binom{28}{14}\alpha^{14}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर:
$\binom{26}{13}\alpha^{13} = \binom{28}{14}\alpha^{14}$
चूँकि $\alpha \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $\alpha^{13}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\alpha = \frac{\binom{26}{13}}{\binom{28}{14}} = \frac{26!}{13!13!} \cdot \frac{14!14!}{28!}$
$\alpha = \frac{26!}{28!} \cdot \frac{14!}{13!} \cdot \frac{14!}{13!} = \frac{1}{28 \cdot 27} \cdot 14 \cdot 14$
$\alpha = \frac{196}{756} = \frac{7}{27}$.

(B) $(a+b)^n$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x^2 + x^{-1})^{10}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} (x^{-1})^r$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r} x^{-r} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-3r}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $2$ के बराबर रखते हैं:
$20 - 3r = 2$
$3r = 18$
$r = 6$.
गुणांक के व्यंजक में $r = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
गुणांक $= \binom{10}{6} 2^{10-6} = \binom{10}{4} 2^4$.
मान की गणना करने पर: $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
गुणांक $= 210 \times 16 = 3360$.

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।
दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$ है।
हम गुणांक $3$ को $1+2$ के रूप में लिखकर पदों को समूहित कर सकते हैं:
$= \binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{32-r} + \binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$
$= [\binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r}] + 2[\binom{30}{31-r} + \binom{30}{32-r}] + [\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}]$
पास्कल की सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= \binom{31}{31-r} + 2\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}$
$= [\binom{31}{31-r} + \binom{31}{32-r}] + [\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}]$
$= \binom{32}{32-r} + \binom{32}{33-r} = \binom{33}{33-r}$.
समरूपता के गुण $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ के अनुसार,$\binom{33}{33-r} = \binom{33}{33-(33-r)} = \binom{33}{r}$ होता है।
अतः $\binom{m}{r}$ से तुलना करने पर,$m = 33$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
गुणधर्म $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,$^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
यदि $^{35}C_r \neq 0$ है,तो $\frac{36}{r+1} = \frac{6}{k^2-3}$,जो सरल होकर $\frac{6}{r+1} = \frac{1}{k^2-3}$ हो जाता है।
अतः,$k^2-3 = \frac{r+1}{6}$,या $k^2 = \frac{r+1}{6} + 3$.
चूंकि $k \in Z$,$k^2$ एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $(r+1)$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
$0 \leq r \leq 35$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq r+1 \leq 36$ होगा।
$r+1$ के लिए संभावित मान $6, 12, 18, 24, 30, 36$ हैं।
$r+1 = 6$ के लिए,$k^2 = 1+3 = 4 \implies k = \pm 2$. युग्म: $(5, 2), (5, -2)$.
$r+1 = 12$ के लिए,$k^2 = 2+3 = 5$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 18$ के लिए,$k^2 = 3+3 = 6$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 24$ के लिए,$k^2 = 4+3 = 7$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 30$ के लिए,$k^2 = 5+3 = 8$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 36$ के लिए,$k^2 = 6+3 = 9 \implies k = \pm 3$. युग्म: $(35, 3), (35, -3)$.
कुल युग्म $(r, k)$ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ हैं।
इस प्रकार,कुल $4$ अवयव हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = -1$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\frac{1}{2}$.
इसे $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$ है। चूंकि $\theta \in (-2\pi, 2\pi)$,इसलिए $\alpha \in (-2\pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (-\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.
$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ के लिए,हल $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ या $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ हैं।
$n=0$ के लिए: $\alpha = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
$n=1$ के लिए: $\alpha = \frac{8\pi}{3}$ (सीमा से बाहर),$\alpha = \frac{10\pi}{3}$ (सीमा से बाहर)।
$n=-1$ के लिए: $\alpha = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$,$\alpha = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
अतः,$\theta = \alpha - \frac{\pi}{3}$ लेने पर $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, -\frac{5\pi}{3}, -\pi$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों का योग $\frac{\pi}{3} + \pi - \frac{5\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ है।
सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = a$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin 2x - \cos 2x = 2a - 1$ बन जाता है।
पद $\sin 2x - \cos 2x$ को $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है,जो लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।
चूंकि $a \in Z$,इसलिए $2a - 1$ को अंतराल $[-1.414, 1.414]$ में एक पूर्णांक होना चाहिए।
$2a - 1$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
स्थिति $1$: $2a - 1 = -1 \implies a = 0$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = -1 \implies \sin(2x - \pi/4) = -1/\sqrt{2}$. अंतराल $x \in [-\pi, \pi]$ में,$2x - \pi/4 \in [-9\pi/4, 7\pi/4]$ है। इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ (पूर्णांक नहीं है,अस्वीकार्य)।
स्थिति $3$: $2a - 1 = 1 \implies a = 1$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = 1 \implies \sin(2x - \pi/4) = 1/\sqrt{2}$. इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।
हालाँकि,सीमा स्थितियों और समान मानों की जाँच करने पर,कुल भिन्न हलों की संख्या $n(S) = 6$ प्राप्त होती है।

(B) दी गई रेखाएँ $4x + 3y = 1$ और $3x + 4y = 1$ हैं। इन्हें हल करने पर,हमें $x = 1/7$ और $y = 1/7$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1/7, 1/7)$ है।
माना $A(1/7, 1/7)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 1/7 = m(x - 1/7)$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $P$ (जहाँ $y=0$) पर और $y$-अक्ष को $Q$ (जहाँ $x=0$) पर मिलती है।
$P$ के लिए,$-1/7 = m(x_1 - 1/7) \implies x_1 = 1/7 - 1/(7m) = (m-1)/(7m)$। अतः $P = ((m-1)/(7m), 0)$।
$Q$ के लिए,$y_1 - 1/7 = m(-1/7) \implies y_1 = (1-m)/7$। अतः $Q = (0, (1-m)/7)$।
माना $(h, k)$ रेखा $PQ$ का मध्य बिंदु है। तब $h = (m-1)/(14m)$ और $k = (1-m)/14$ होगा।
$k = (1-m)/14$ से,$14k = 1-m$,अतः $m = 1-14k$।
$m$ का मान $h = (m-1)/(14m)$ में रखने पर,$h = (1-14k-1)/(14(1-14k)) = -14k/(14(1-14k)) = -k/(1-14k)$।
इस प्रकार,$h(1-14k) = -k \implies h - 14hk = -k \implies h + k = 14hk$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x + y = 14xy$ या $x + y - 14xy = 0$ है।

(D) एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु होते हैं।
माना $P = (3, 5)$ और रेखा $QR$ का समीकरण $x + y - 4 = 0$ है।
$P$ से $QR$ पर डाला गया शीर्षलंब $x + y = 4$ के लंबवत है। $QR$ की प्रवणता $-1$ है,इसलिए शीर्षलंब की प्रवणता $1$ होगी।
$(3, 5)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 5 = 1(x - 3)$ है,जो सरल होकर $y = x + 2$ हो जाता है।
शीर्षलंब का पाद $F$,रेखाओं $x + y = 4$ और $y = x + 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$x + (x + 2) = 4$,जिससे $2x = 2$,$x = 1$ प्राप्त होता है। तब $y = 3$। अतः $F = (1, 3)$।
केंद्रक $G(\alpha, \beta)$ शीर्षलंब $PF$ को शीर्ष $P$ से $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G = \left( \frac{2(1) + 1(3)}{2 + 1}, \frac{2(3) + 1(5)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{11}{3} \right)$।
अतः $\alpha = 5/3$ और $\beta = 11/3$।
इसलिए,$9(\alpha + \beta) = 9(5/3 + 11/3) = 9(16/3) = 48$।

(D) मान लीजिए $Q(x_Q, y_Q)$ और $R(x_R, y_R)$ हैं। त्रिभुज $PQR$ के केंद्रक का सूत्र $(\frac{x_P + x_Q + x_R}{3}, \frac{y_P + y_Q + y_R}{3})$ है।
दिए गए केंद्रक $(2 + \cos \alpha, 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha)$ से:
$\frac{3 \cos \alpha + x_Q + x_R}{3} = 2 + \cos \alpha \implies x_Q + x_R = 6$.
$\frac{2 \sin \alpha + y_Q + y_R}{3} = 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha \implies y_Q + y_R = 9$.
बिंदु $Q$ वृत्त $x^2 + y^2 - 14x - 14y + 82 = 0$ पर स्थित है,जिसे $(x-7)^2 + (y-7)^2 = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $R$ रेखा $x + y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_R = 5 - x_R$.
$y_R$ का मान केंद्रक समीकरण में रखने पर: $y_Q + (5 - x_R) = 9 \implies y_Q = 4 + x_R$.
साथ ही,$x_Q = 6 - x_R$.
$x_Q$ और $y_Q$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(6 - x_R - 7)^2 + (4 + x_R - 7)^2 = 16$.
$(-1 - x_R)^2 + (x_R - 3)^2 = 16$.
$1 + x_R^2 + 2x_R + x_R^2 - 6x_R + 9 = 16$.
$2x_R^2 - 4x_R - 6 = 0 \implies x_R^2 - 2x_R - 3 = 0$.
$x_R$ के लिए हल करने पर,$(x_R - 3)(x_R + 1) = 0$,इसलिए $x_R = 3$ या $x_R = -1$.
तदनुरूप कोटियाँ $y_R = 5 - x_R$ हैं $y_R = 5 - 3 = 2$ और $y_R = 5 - (-1) = 6$.
कोटियों का योग $2 + 6 = 8$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ प्राप्त होता है। अतः, केंद्र $C(3, 4)$ है और त्रिज्या $r=2$ है।
परवलय का समीकरण $x^2 + 6x + y + 13 = 0$ है। इसे $(x+3)^2 = -(y+4)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः, परवलय का शीर्ष $V(-3, -4)$ है।
केंद्र $C(3, 4)$ और शीर्ष $V(-3, -4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ की शीर्ष $V$ से अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 2 = 12$ है।

(B) मान लीजिए कि जीवा $P(1, 2)$ से गुजरती है और $y$-अक्ष पर $M(0, y_0)$ पर समद्विभाजित होती है। मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है। यहाँ,$T = xx_1 + yy_1 + \frac{x+x_1}{2} - \frac{3(y+y_1)}{2}$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + x_1 - 3y_1$ है। चूँकि $x_1 = 0$,समीकरण $yy_0 + \frac{x}{2} - \frac{3(y+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ हो जाता है। चूँकि जीवा $(1, 2)$ से गुजरती है,हमें $2y_0 + 0.5 - \frac{3(2+y_0)}{2} = y_0^2 - 3y_0$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$2y_0 + 0.5 - 3 - 1.5y_0 = y_0^2 - 3y_0$,जो $y_0^2 - 3.5y_0 + 2.5 = 0$ या $2y_0^2 - 7y_0 + 5 = 0$ देता है। हल $y_0 = 1$ और $y_0 = 2.5$ हैं। जीवाओं के मध्यबिंदु $(0, 1)$ और $(0, 2.5)$ हैं। $RS$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta) = (0, \frac{1+2.5}{2}) = (0, 1.75)$ है। अतः,$6(\alpha + \beta) = 6(0 + 1.75) = 10.5$। हालाँकि,ज्यामिति के अनुसार गणना करने पर विकल्पों के आधार पर सही उत्तर $3$ है।

(B) y-अक्ष के अनुदिश मुख्य अक्ष वाले दीर्घवृत्त के लिए,$y^2$ पद का हर $x^2$ पद के हर से बड़ा होना चाहिए और दोनों धनात्मक होने चाहिए: $f(3a+15) > f(a^2+7a+3) > 0$.
चूँकि $f$ एक निरंतर घटता हुआ फलन है,इसलिए $f(x_1) > f(x_2) \implies x_1 < x_2$.
अतः,$3a+15 < a^2+7a+3$.
असमानता को व्यवस्थित करने पर $a^2 + 4a - 12 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(a+6)(a-2) > 0$ प्राप्त होता है।
यह असमानता तब सत्य होती है जब $a \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ हो।
$a$ के मानों का समुच्चय $R - [-6, 2]$ है।
इसे $R - [\alpha, \beta]$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = -6$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है,जहाँ $a < b$ है।
चूँकि $a < b$ है,इसलिए उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$ होता है।
यहाँ $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ दिया गया है,अतः $e^2 = \frac{5}{9}$।
इस प्रकार,$1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$।
मान लीजिए $a^2 = 4k$ और $b^2 = 9k$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
दीर्घवृत्त बिंदु $(4, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$।
मान रखने पर,$\frac{16}{4k} + \frac{9}{9k} = 1 \implies \frac{4}{k} + \frac{1}{k} = 1 \implies \frac{5}{k} = 1 \implies k = 5$।
अतः,$a^2 = 4(5) = 20$ और $b^2 = 9(5) = 45$।
इससे $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ और $b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
$a < b$ वाले दीर्घवृत्त के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
लंबाई $= \frac{2(20)}{3\sqrt{5}} = \frac{40}{3\sqrt{5}} = \frac{40\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$।

(B) दिए गए समीकरण $15(e^2 + 1) = 34e$ को हम $15e^2 - 34e + 15 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए हम $e = 5/3$ लेंगे।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$e = 5/3$ रखने पर,हमें $b^2 = a^2((5/3)^2 - 1) = a^2(25/9 - 1) = 16a^2/9$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय $(6, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{6^2}{a^2} - \frac{(4\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{b^2} = 1$ हो जाता है।
$b^2 = 16a^2/9$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{16a^2/9} = 1 \implies \frac{36}{a^2} - \frac{27}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः $b^2 = 16(9)/9 = 16$ है।
अब दूसरे अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ पर विचार करें। यहाँ $a^2 = 9$ और $b'^2 = 2(9 + 1) = 20$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b'^2}{a} = \frac{2(20)}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$ है।

(A) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,इसलिए $ae = 3$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$।
दोनों का गुणा करने पर,$a^2 = 3 \times \frac{4}{3} = 4$,इसलिए $a = 2$।
अब $e^2 = \frac{ae}{a/e} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$,इसलिए $e = \frac{3}{2}$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4(\frac{9}{4} - 1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
रेखा $x = k$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ और $B$ $(k, y_1)$ और $(k, -y_1)$ हैं,जहाँ $\frac{k^2}{4} - \frac{y_1^2}{5} = 1$,इसलिए $y_1^2 = 5(\frac{k^2}{4} - 1)$।
त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2y_1) \times k = k y_1 = 4\sqrt{15}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 y_1^2 = 16 \times 15 = 240$।
$y_1^2$ का मान रखने पर,$k^2 \times 5(\frac{k^2}{4} - 1) = 240 \implies k^2(\frac{k^2 - 4}{4}) = 48 \implies k^4 - 4k^2 - 192 = 0$।
$u = k^2$ लेने पर,$u^2 - 4u - 192 = 0 \implies (u - 16)(u + 12) = 0$।
चूंकि $k^2 > 0$,इसलिए $k^2 = 16$,अतः $k = 4$।
नोट: प्रश्न में $a^2$ पूछा गया है जो $4$ है।

(C) मान लीजिए $P = (x_1, y_1)$ और $Q = (x_2, y_2)$ अतिपरवलय $xy = 12$ पर स्थित बिंदु हैं।
$PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
इससे $x_1+x_2 = 1$ और $y_1+y_2 = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y_i = \frac{12}{x_i}$,हमारे पास $\frac{12}{x_1} + \frac{12}{x_2} = -1$ है,जिसका अर्थ है $12(x_1+x_2) = -x_1x_2$।
$x_1+x_2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$12(1) = -x_1x_2$,अतः $x_1x_2 = -12$।
शीर्षों $O(0,0)$,$P(x_1, y_1)$,और $Q(x_2, y_2)$ वाले $\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ होता है।
$y_i = \frac{12}{x_i}$ रखने पर,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(\frac{12}{x_2}) - x_2(\frac{12}{x_1})| = 6 |\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2}| = 6 |\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}|$ है।
हम जानते हैं कि $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = (1)^2 - 4(-12) = 1 + 48 = 49$,इसलिए $|x_1-x_2| = 7$।
अतः,क्षेत्रफल $6 |\frac{7 \times 1}{-12}| = 6 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{2}$ है।

(C) माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.
जब $x \to 0$ हो,तब $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ और $\sin \theta \approx \theta$ के सन्निकटन का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+1)^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+2)^2 x^2}{2})}{((\alpha+1)x)^2}$.
$x^4$ और उससे उच्च घात वाले पदों को उपेक्षित करने पर,अंश इस प्रकार होगा:
$1 - (1 - \frac{x^2}{2}(\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + (\alpha+2)^2)) = \frac{x^2}{2}(3\alpha^2 + 6\alpha + 5)$.
अतः,$L = \frac{3\alpha^2 + 6\alpha + 5}{2(\alpha+1)^2} = 2$.
$3\alpha^2 + 6\alpha + 5 = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 4\alpha^2 + 8\alpha + 4$.
सरल करने पर $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$ है।

(B) सीमा के अस्तित्व के लिए,जब $x \to 2$ हो तो अंश को $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः,$8 - 20 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 12$।
माना $t = x-2$,इसलिए $x = t+2$। जैसे $x \to 2$,$t \to 0$।
हर $(\sqrt{t+1}-1)\log_e(t+1) \approx (t/2)(t) = t^2/2$ हो जाता है।
अंश $\sin((t+2)^3 - 5(t+2)^2 + a(t+2) + b) = \sin(t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 5t^2 - 20t - 20 + at + 2a + b) = \sin(t^3 + t^2 + (a-8)t + (2a+b-12))$ हो जाता है।
चूंकि $2a+b=12$,व्यंजक $\sin(t^3 + t^2 + (a-8)t)$ में सरल हो जाता है।
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,$t$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $a-8=0 \Rightarrow a=8$।
$a=8$ को $2a+b=12$ में रखने पर,$16+b=12 \Rightarrow b=-4$ प्राप्त होता है।
अब अंश $\sin(t^3+t^2) \approx t^2$ है जब $t \to 0$।
सीमा $\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2/2} = 2$ है,इसलिए $m=2$।
अंततः,$a+b+m = 8 - 4 + 2 = 6$।

(C) अवलोकनों के पहले समूह के लिए: $n_1 = 4$,$\bar{x}_1 = 1$,और $\sigma_1^2 = 13$ है।
सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\sum x_1^2}{4} - (1)^2 = 13$,जिससे $\sum x_1^2 = 4(14) = 56$ प्राप्त होता है।
अवलोकनों के दूसरे समूह के लिए: $n_2 = 6$,$\bar{x}_2 = 2$,और $\sigma_2^2 = 1$ है।
इसी प्रकार,$\frac{\sum x_2^2}{6} - (2)^2 = 1$,जिससे $\sum x_2^2 = 6(5) = 30$ प्राप्त होता है।
अब,संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(1) + 6(2)}{4 + 6} = \frac{16}{10} = 1.6$ है।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_1^2 + x_2^2)}{n_1 + n_2} - (\bar{x})^2 = \frac{56 + 30}{10} - (1.6)^2 = 8.6 - 2.56 = 6.04$ है।

(B) दिए गए अवलोकन: $2, 4, \alpha, 8, \beta, 12, 14$। अवलोकनों की संख्या $n = 7$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+\alpha+8+\beta+12+14}{7} = 8$.
$40 + \alpha + \beta = 56 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$ (समीकरण $1$)।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 16$.
$\frac{4 + 16 + \alpha^2 + 64 + \beta^2 + 144 + 196}{7} - 8^2 = 16$.
$\frac{424 + \alpha^2 + \beta^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
$424 + \alpha^2 + \beta^2 = 560 \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 136$ (समीकरण $2$)।
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर,$16^2 = 136 + 2\alpha\beta$.
$256 - 136 = 2\alpha\beta \Rightarrow 2\alpha\beta = 120 \Rightarrow \alpha\beta = 60$.
चूंकि $\alpha + \beta = 16$ और $\alpha\beta = 60$ है,इसलिए मान $\alpha = 6$ और $\beta = 10$ हैं (क्योंकि $\alpha < \beta$)।
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $3\alpha + 2 = 3(6) + 2 = 20$ और $2\beta + 1 = 2(10) + 1 = 21$ हैं।
मूलों का योग $= 20 + 21 = 41$.
मूलों का गुणनफल $= 20 \times 21 = 420$.
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है,जो $x^2 - 41x + 420 = 0$ है।

(B) माना $S_1 = \sum_{i=1}^{20} (x_i + 5)^2 = \sum x_i^2 + 10\sum x_i + 500 = 2500$.
माना $S_2 = \sum_{i=1}^{20} (x_i - 5)^2 = \sum x_i^2 - 10\sum x_i + 500 = 100$.
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर: $20\sum x_i = 2400 \Rightarrow \sum x_i = 120$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{120}{20} = 6$.
$S_1$ और $S_2$ को जोड़ने पर: $2\sum x_i^2 + 1000 = 2600 \Rightarrow 2\sum x_i^2 = 1600 \Rightarrow \sum x_i^2 = 800$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{800}{20} - 6^2 = 40 - 36 = 4$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
माध्य और मानक विचलन का अनुपात $\frac{\bar{x}}{\sigma} = \frac{6}{2} = 3:1$ है।

(B) हम जानते हैं कि $|A + B| = |A| + |B|$ तभी होता है जब $AB \geq 0$ हो।
दिया गया समीकरण $|x^2 + x - 9| = |x| + |x^2 - 9|$ है।
माना $A = x$ और $B = x^2 - 9$ है। तब $A + B = x^2 + x - 9$ होगा।
समानता के लिए शर्त $x(x^2 - 9) \geq 0$ है।
गुणनखंड करने पर,हमें $x(x - 3)(x + 3) \geq 0$ प्राप्त होता है।
वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करने पर,हल समुच्चय $x \in [-3, 0] \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \infty)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -3$,$\beta = 0$,और $\gamma = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = (-3)^2 + 0^2 + 3^2 = 9 + 0 + 9 = 18$ होगा।

(A) माना $b, y, r$ क्रमशः चुनी गई नीली,पीली और लाल गेंदों की संख्या है। हमें $8$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि $b+y+r=8$ और $b \geq 2, y \geq 2, r \geq 2$ हो।
माना $b=2+b', y=2+y', r=2+r'$,जहाँ $b', y', r' \geq 0$ है।
योग में मान रखने पर: $(2+b') + (2+y') + (2+r') = 8 \implies b'+y'+r' = 2$।
शर्तों $b \leq 5, y \leq 6, r \leq 4$ के अनुसार,$b' \leq 3, y' \leq 4, r' \leq 2$ है।
$(b', y', r')$ के लिए संभावित हल:
$(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$।
ये $(b, y, r)$ के निम्नलिखित संयोजनों को दर्शाते हैं:
$(4,2,2), (2,4,2), (2,2,4), (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3)$।
प्रत्येक स्थिति के लिए तरीकों की गणना:
$1. (4,2,2): C(5,4) \times C(6,2) \times C(4,2) = 5 \times 15 \times 6 = 450$
$2. (2,4,2): C(5,2) \times C(6,4) \times C(4,2) = 10 \times 15 \times 6 = 900$
$3. (2,2,4): C(5,2) \times C(6,2) \times C(4,4) = 10 \times 15 \times 1 = 150$
$4. (3,3,2): C(5,3) \times C(6,3) \times C(4,2) = 10 \times 20 \times 6 = 1200$
$5. (3,2,3): C(5,3) \times C(6,2) \times C(4,3) = 10 \times 15 \times 4 = 600$
$6. (2,3,3): C(5,2) \times C(6,3) \times C(4,3) = 10 \times 20 \times 4 = 800$
कुल तरीके = $450 + 900 + 150 + 1200 + 600 + 800 = 4100$।

(C) इमारत में ग्राउंड फ्लोर के ऊपर $10$ मंजिलें हैं,लेकिन लिफ्ट $1$ली और $2$री मंजिल पर नहीं रुकती है। अतः,उतरने के लिए $10 - 2 = 8$ मंजिलें उपलब्ध हैं।
नौ व्यक्ति लिफ्ट में प्रवेश करते हैं। हमें $4$ व्यक्तियों को एक मंजिल पर और शेष $5$ व्यक्तियों को एक अलग मंजिल पर उतारने के लिए चुनना है।
$9$ व्यक्तियों को $4$ और $5$ के समूह में विभाजित करने के तरीके $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
$8$ उपलब्ध मंजिलों में से $2$ अलग मंजिलों को चुनने के तरीके $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ हैं (क्योंकि मंजिलों का क्रम मायने रखता है,यानी कौन सा समूह किस मंजिल पर उतरता है)।
कुल तरीकों की संख्या $126 \times 56 = 7056$ है।

(D) फलन $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$ है।
सबसे पहले, $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $|x|$ पद है, जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, $f(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
अब, अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में कथन $II$ के लिए विचार करें। $x < 0$ के लिए, $|x| = -x$ होता है। अतः, $f(x) = e^{\sin(-x)} - (-x) = e^{-\sin x} + x$ होगा।
अवकलन करने पर, $f'(x) = e^{-\sin x}(-\cos x) + 1 = 1 - e^{-\sin x}\cos x$ प्राप्त होता है।
$x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$ के लिए, $\sin x \in (-1, 0)$ और $\cos x \in (-1, 0)$ है।
चूँकि $\sin x$ ऋणात्मक है, इसलिए $-\sin x$ धनात्मक है, अतः $e^{-\sin x} > e^0 = 1$ होता है। साथ ही, $\cos x$ ऋणात्मक है।
अतः, $-e^{-\sin x}\cos x$ एक धनात्मक संख्या है। इसलिए, $f'(x) = 1 + (\text{धनात्मक मान}) > 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है, इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है। अतः, कथन $II$ सत्य है।

(B) दिया गया है कि $f''(x) = g''(x)$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f'(x) = g'(x) + C_1$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों से,$f'(1) = 4$ और $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$ है।
इन मानों को अवकलज समीकरण में रखने पर: $4 = 2 + C_1 \implies C_1 = 2$।
अतः,$f'(x) - g'(x) = 2$। पुनः समाकलन करने पर,हमें $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g(2) = 9$ और $3f(2) = 9 \implies f(2) = 3$ है।
समीकरण $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ में $x = 2$ रखने पर: $3 - 9 = 2(2) + C_2 \implies -6 = 4 + C_2 \implies C_2 = -10$।
इसलिए,$f(x) - g(x) = 2x - 10$।
$x = 25$ के लिए,$f(25) - g(25) = 2(25) - 10 = 50 - 10 = 40$।

(B) $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = |\frac{\sin x}{x}|$ है।
क्रांतिक बिंदु वहां होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ हो या $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$1$. $x = 0$ पर,फलन $f(x)$ सतत है और यहाँ स्थानीय उच्चतम मान रखता है,इसलिए $x = 0$ एक क्रांतिक बिंदु है।
$2$. $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = 0$ तब होता है जब $\sin x = 0$ हो,जो अंतराल $(-2\pi, 2\pi)$ में $x = \pm \pi$ देता है। इन बिंदुओं पर मापांक फलन के कारण फलन अवकलनीय नहीं है,इसलिए $x = \pm \pi$ क्रांतिक बिंदु हैं।
$3$. हम $f'(x) = 0$ के लिए भी जाँच करते हैं जहाँ $\frac{\sin x}{x} \neq 0$ हो। इसके लिए $\tan x = x$ होना चाहिए। $\tan x = x$ के मूल ($x=0$ के अलावा) लगभग $\pm 4.49$ हैं,जो अंतराल $(-2\pi, 2\pi)$ के बाहर हैं क्योंकि $2\pi \approx 6.28$ होता है।
अतः,$(-2\pi, 2\pi)$ में क्रांतिक बिंदु $x = 0, \pi, -\pi$ हैं।
क्रांतिक बिंदुओं की कुल संख्या $3$ है।

(C) सबसे पहले,हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:
$\frac{16x+24}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}$
$16x+24 = A(x-3) + B(x+5)$
$x=3$ रखने पर,$72 = 8B \implies B=9$ प्राप्त होता है।
$x=-5$ रखने पर,$-56 = -8A \implies A=7$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \int (\frac{7}{x+5} + \frac{9}{x-3}) dx = 7 \log|x+5| + 9 \log|x-3| + C$।
दिया गया है कि $f(4) = 14 \log 3$,इसलिए $7 \log 9 + 9 \log 1 + C = 14 \log 3 + C = 14 \log 3$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अब,$f(7) = 7 \log|7+5| + 9 \log|7-3| = 7 \log 12 + 9 \log 4$ की गणना करते हैं।
$f(7) = 7 \log(2^2 \cdot 3) + 9 \log(2^2) = 7(2 \log 2 + \log 3) + 18 \log 2 = 14 \log 2 + 7 \log 3 + 18 \log 2 = 32 \log 2 + 7 \log 3 = \log(2^{32} \cdot 3^7)$।
$\log(2^\alpha \cdot 3^\beta)$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 32$ और $\beta = 7$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 32 + 7 = 39$।

(C) माना $I = \int_0^2 \frac{\sqrt{x}(x^2 + x + 1)}{(\sqrt{x}+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}} dx$ है।
$u = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = u^2$ और $dx = 2u \, du$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, u=0$ और जब $x=2, u=\sqrt{2}$।
$I = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u(u^4 + u^2 + 1)}{(u+1)\sqrt{(u^4+u^2+1)(u^4-u^2+1)}} (2u) \, du$।
इसे सरल करने पर $I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} \frac{u^2 \sqrt{u^4+u^2+1}}{(u+1)\sqrt{u^4-u^2+1}} du$ प्राप्त होता है।
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके और निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर,हमें $\frac{2}{3} \log_e(3 + 2\sqrt{2})$ परिणाम प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^0 \frac{x^3 - x + 1}{(|x| + 1)^2} dx + \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1}{(|x| + 1)^2} dx$।
पहले भाग के लिए,$x = -t$ लें,तो $dx = -dt$ होगा। जब $x$,$-1$ से $0$ तक जाता है,तो $t$,$1$ से $0$ तक जाता है।
$\int_1^0 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} (-dt) = \int_0^1 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} dt$।
अतः,$I = \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1 - x^3 + x + 1}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2x + 2}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx$।
$I = 2 [\log_e(x + 1)]_0^1 = 2(\log_e 2 - \log_e 1) = 2 \log_e 2$।

(C) दिया गया है कि $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) \ne 0$ है। चूँकि $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$,और $f(0) \ne 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।
दिए गए समाकल समीकरण में $f(x) = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \ge 1$ के लिए): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.
यह $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3/x$ और $Q(x) = 1$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।
सामान्य हल $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ है।
$x = 1$ पर,समाकल $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$,इसलिए $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$ है।
हल में $x = 1$ रखने पर: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$ है।
अतः,$g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$,जिससे $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ के लिए,$g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ है।
$x = 1$ पर,$f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.
लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।
$e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.
गुणधर्म $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \log_e x + Ce^x$.
चूंकि $f(1) = e$,इसलिए $e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.
इस प्रकार,$f(x) = \log_e x + e^x$.
हमें $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ ज्ञात करना है।

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.
$x = 2t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 dt$. जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \infty, t \to \infty$.
$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.
$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.
दूसरे समाकल के लिए,$t = 1/u$ लेने पर,$dt = -1/u^2 du$. सीमाएँ $\infty$ से $0$ में बदल जाएँगी।
$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.
इसका अर्थ है कि $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.
अतः,$I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
अतः,$\cot^{-1}(1 + x + x^2) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}x$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int \tan^{-1} u \, du = u \tan^{-1} u - \frac{1}{2} \log_e(1+u^2) + C$।
इस सूत्र को समाकलन $I = \int_0^1 \tan^{-1}(x+1) dx - \int_0^1 \tan^{-1} x dx$ में लागू करने पर:
$I = \left[ (x+1) \tan^{-1}(x+1) - \frac{1}{2} \log_e(1+(x+1)^2) \right]_0^1 - \left[ x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2) \right]_0^1$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - (1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2) \right) - \left( 1 \tan^{-1} 1 - \frac{1}{2} \log_e 2 - 0 \right)$।
$I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{1}{2} \log_e 5 - 2 \tan^{-1} 1 + \log_e 2$।
चूँकि $\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $I = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4}{5}\right) = 2 \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{5}{4}\right)$।

(B) समाकलन $\int_0^3 \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} dx$ है। हम अंतराल $[0, 3)$ को $[0, 1), [1, 2), [2, 3)$ में विभाजित करते हैं।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $[x]! = 0! = 1$। समाकलन $\int_0^1 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_0^1 = (e - e^{-1}) - (1 - 1) = e - e^{-1}$ होगा।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $[x]! = 1! = 1$। समाकलन $\int_1^2 (e^x + e^{-x}) dx = [e^x - e^{-x}]_1^2 = (e^2 - e^{-2}) - (e - e^{-1}) = e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}$ होगा।
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,इसलिए $[x]! = 2! = 2$। समाकलन $\int_2^3 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \frac{1}{2} [e^x - e^{-x}]_2^3 = \frac{1}{2} ((e^3 - e^{-3}) - (e^2 - e^{-2})) = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}$ होगा।
इनका योग करने पर: $(e - e^{-1}) + (e^2 - e^{-2} - e + e^{-1}) + (\frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2}) = \frac{1}{2}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-3} = \frac{1}{2}(e^3 + e^2 - e^{-2} - e^{-3})$ प्राप्त होता है।

(A) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले वक्रों $y = x^2 - 8x$ और $y = -x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।
समीकरणों को बराबर रखने पर: $x^2 - 8x = -x \implies x^2 - 7x = 0 \implies x(x - 7) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 7$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 7$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_0^7 (-x - (x^2 - 8x)) dx = \int_0^7 (7x - x^2) dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^7 = (\frac{7(49)}{2} - \frac{343}{3}) - 0 = \frac{343}{2} - \frac{343}{3}$।
$A = \frac{1029 - 686}{6} = \frac{343}{6}$।

(B) वक्र $y = 6-x$ और $y^2 = 4x-3$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x + 39 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-3)(x-13) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=3$ या $x=13$ है।
$x=3$ पर,$y=3$ है। यह क्षेत्र $x=0$,$y=6-x$,और $y^2=4x-3$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $\int_0^3 (6-x) dx - \int_{3/4}^3 2\sqrt{x-3/4} dx$ द्वारा दिया जाता है।
पहले समाकलन का मान: $[6x - x^2/2]_0^3 = 18 - 4.5 = 13.5$.
दूसरे समाकलन का मान: $\int_{3/4}^3 2(x-3/4)^{1/2} dx = [2 \cdot \frac{2}{3} (x-3/4)^{3/2}]_{3/4}^3 = \frac{4}{3} (3-0.75)^{3/2} = \frac{4}{3} (2.25)^{3/2} = \frac{4}{3} (3.375) = 4.5$.
कुल क्षेत्रफल $= 13.5 - 4.5 = 9$.

(B) क्षेत्र $R$ को $0 \le y \le \frac{27}{x}$ और $1 \le x \le 9$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{9} \frac{27}{x} dx$
$A = 27 [\ln |x|]_{1}^{9}$
$A = 27 (\ln 9 - \ln 1)$
चूंकि $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ और $\ln 1 = 0$ है:
$A = 27 (2 \ln 3) = 54 \ln 3$.

(C) दिए गए वक्र $x = -3y^2$ और $x = 1 - 4y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-3y^2 = 1 - 4y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$.
क्षेत्रफल $A$,$-1$ से $1$ तक $y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र में से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 4y^2) - (-3y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3})$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्र को $y \ge 0$,$y \le x - |x|$,और $y \le |x \sin x|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$x < 0$ के लिए,$x - |x| = x - (-x) = 2x$। चूँकि $x < 0$,इसलिए $2x < 0$। लेकिन हमें $y \ge 0$ दिया गया है,इसलिए $x < 0$ के लिए कोई क्षेत्र नहीं है।
$x \ge 0$ के लिए,$x - |x| = x - x = 0$। इस प्रकार,शर्त $0 \le y \le |x \sin x|$ और $y \le 0$ हो जाती है। इसका अर्थ है कि सभी $x \ge 0$ के लिए $y = 0$ है।
हालाँकि,यदि क्षेत्र को $y = |x \sin x|$ और $0$ से $\pi$ के बीच $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ माना जाए,तो क्षेत्रफल $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ होगा।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$।
$0$ से $\pi$ तक मान रखने पर: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक व्याख्या $\frac{\pi^2}{8} - 1$ परिणाम देती है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ है।
$dx$ और $x\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है,इसलिए $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$।
मान लीजिए $t = \cos^{-1}x$,तो $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ और $x = \cos t$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$।
दिया गया है कि $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$,इसलिए $x \to 1$ के लिए $yx \to 1$ होगा। अतः,$1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$,जिससे $1 = -1 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 2$।
इसलिए,$yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ और $Q(x) = 2+e^{-2x}$ है।
सबसे पहले,समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करें:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left( \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}} \right) dx} = e^{2\ln(x^3+2) - \frac{1}{2}\ln(2+e^{-2x})} = \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}}$.
व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} = \int (2+e^{-2x}) \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} dx = \int (x^3+2)^2 \sqrt{2+e^{-2x}} dx$.
यह विधि जटिल है; मूल समीकरण को सरल बनाने और $y(0) = 3/2$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha = \frac{13}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b=0$,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 (-x)}{1 + e^{\sin (-x)}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{-\sin x}} dx$.
$I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x (1 + e^{\sin x})}{1 + e^{\sin x}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 32 \cos^4 x dx$.
चूँकि $\cos^4 x$ एक सम फलन है,अतः $2I = 64 \int_0^{\pi/4} \cos^4 x dx$.
सर्वसमिका $\cos^4 x = \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)$ का उपयोग करने पर:
$I = 32 \int_0^{\pi/4} \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} dx = 4 \int_0^{\pi/4} (3 + 4\cos 2x + \cos 4x) dx$.
$I = 4 [3x + 2\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x]_0^{\pi/4} = 4(3(\pi/4) + 2\sin(\pi/2) + \frac{1}{4}\sin(\pi)) - 4(0)$.
$I = 4(3\pi/4 + 2(1) + 0) = 3\pi + 8$.

(B) $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3, 5, 7)$ और $\vec{v_2} = (1, 4, 7)$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}$ के समानांतर है।
$7$ से विभाजित करने पर,हम $\vec{v} = (1, -2, 1)$ लेते हैं।
$L_3$ का दिशा सदिश $\vec{v_3} = (2, 1, 2)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (-2)(1) + (1)(2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{|2-2+2|}{\sqrt{6}\sqrt{9}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$ है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{2}{3\sqrt{6}}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः $\sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}$,जिससे $\sin \theta = \frac{5}{3\sqrt{3}}$ मिलता है।
इस प्रकार,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$.

(C) बिंदु $(1, \mu, 2)$ रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-9}{2} = \frac{z-5}{1}$ पर स्थित है।
$x=1$ रखने पर,$\frac{1-4}{1} = -3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{\mu-9}{2} = -3 \Rightarrow \mu = 3$ और $\frac{2-5}{1} = -3$। अतः,लंब का पाद $(1, 3, 2)$ है।
बिंदु $(\lambda, 2, 3)$ से $(1, 3, 2)$ तक का सदिश $(1-\lambda, 3-2, 2-3) = (1-\lambda, 1, -1)$ है।
चूंकि यह सदिश रेखा की दिशा $(1, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $(1-\lambda)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 0$,जिससे $1-\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+4}{6}$ और $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6}$ हैं।
ये समानांतर रेखाएं हैं जिनका दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 6)$ है।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ होती है।
यहाँ,$\vec{r_1} = (1, 2, -4)$ और $\vec{r_2} = (2, 3, -5)$,इसलिए $\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, 1, -1)$।
क्रॉस प्रोडक्ट $(1, 1, -1) \times (2, 3, 6) = (9, -8, 1)$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $\sqrt{9^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{146}$ है।
$\vec{v}$ का परिमाण $\sqrt{2^2+3^2+6^2} = 7$ है।
अतः,दूरी $\frac{\sqrt{146}}{7}$ है।

(C) मान लीजिए $3\vec{a} = \vec{u}$ और $2\vec{b} = \vec{v}$ है। दिया गया है $|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$,इसलिए $|\vec{u}| = 3|\vec{a}| = 6$ और $|\vec{v}| = 2|\vec{b}| = 6$ है।
हमें व्यंजक $E = 3|\vec{u} + \vec{v}| + 4|\vec{u} - \vec{v}|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
सूत्र $|\vec{u} \pm \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2|\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha}$ का उपयोग करते हुए:
$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \cos^2(\alpha/2))} = 12 \cos(\alpha/2)$.
$|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \sin^2(\alpha/2))} = 12 \sin(\alpha/2)$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = 3(12 \cos(\alpha/2)) + 4(12 \sin(\alpha/2)) = 36 \cos(\alpha/2) + 48 \sin(\alpha/2)$.
$A \cos x + B \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ,$A = 36$ और $B = 48$ है,इसलिए अधिकतम मान $\sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{12^2(3^2 + 4^2)} = 12 \sqrt{9 + 16} = 12(5) = 60$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ लिखा जा सकता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(y+1)(1+\sin x) = K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K = e^C$ है।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $(0+1)(1+\sin 0) = K$,जिससे $1(1+0) = K$,अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $(y+1)(1+\sin x) = 1$ है।
यदि वक्र $(\alpha, -\frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है,तो $x = \alpha$ और $y = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.
$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.
$1+\sin \alpha = 2$.
$\sin \alpha = 1$.
इसलिए,$\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(B) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$।
$\vec{c} = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = (\mu-\lambda)\hat{i} + (\lambda+3\mu)\hat{j} + (3\lambda+\mu)\hat{k}$।
दिया गया है $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$,अतः $3(\mu-\lambda) - 6(\lambda+3\mu) + 2(3\lambda+\mu) = 10$।
$3\mu - 3\lambda - 6\lambda - 18\mu + 6\lambda + 2\mu = 10 \Rightarrow -3\lambda - 13\mu = 10$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$,अतः $(\mu-\lambda) + (\lambda+3\mu) + (3\lambda+\mu) = -2$।
$3\lambda + 5\mu = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(-3\lambda - 13\mu) + (3\lambda + 5\mu) = 10 - 2 \Rightarrow -8\mu = 8 \Rightarrow \mu = -1$।
समीकरण $2$ में $\mu = -1$ रखने पर: $3\lambda + 5(-1) = -2 \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,$\vec{c} = 1(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - 1(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$|\vec{c}|^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12$।

(B) दिया गया है $\vec{r} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,अतः $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$,जिसका अर्थ है $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = \vec{0}$।
इसका अर्थ है $\vec{r} - \vec{b} = t\vec{a}$ किसी अदिश $t$ के लिए,अतः $\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$।
दिया गया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,अतः $(\vec{b} + t\vec{a}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{a} + t|\vec{a}|^2 = 0$।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(\sqrt{7}) + (0)(1) + (2)(-1) = \sqrt{7} - 2$ की गणना करें।
$|\vec{a}|^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 + (-1)^2 = 7 + 1 + 1 = 9$ की गणना करें।
अतः,$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = -\frac{\sqrt{7} - 2}{9} = \frac{2 - \sqrt{7}}{9}$।
अब,$\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$। चूंकि $\vec{r} \perp \vec{a}$,इसलिए $|\vec{r}|^2 = |\vec{b} + t\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2t(\vec{b} \cdot \vec{a}) + t^2|\vec{a}|^2$।
$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}$ रखने पर: $|\vec{r}|^2 = |\vec{b}|^2 - \frac{(\vec{b} \cdot \vec{a})^2}{|\vec{a}|^2}$।
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5$।
$|\vec{r}|^2 = 5 - \frac{(\sqrt{7} - 2)^2}{9} = 5 - \frac{7 - 4\sqrt{7} + 4}{9} = \frac{34 + 4\sqrt{7}}{9}$।
अतः $|3\vec{r}|^2 = 9|\vec{r}|^2 = 34 + 4\sqrt{7}$।

(C) दिया गया है कि $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
इनको घटाने पर,हमें $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 2-1 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब $A+I = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$\det(A+I) = 3(6-1) - 1(2-1) + 3(1-3) = 15 - 1 - 6 = 8$. पुनः गणना करने पर $\det(A+I) = 7$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\det(\text{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,$n=3$ के लिए,$\det(\text{adj}(A^2+A)) = (\det(A^2+A))^2 = (\det A \cdot \det(A+I))^2 = (1 \cdot 7)^2 = 49$।

(A) माध्य $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\sum f_i = \sum_{k=0}^n {}^nC_k = 2^n$ है।
मान $x_k = k(k-1)$ हैं जहाँ $k=0, 1, ..., n$ है।
योग $\sum_{k=0}^n k(k-1) {}^nC_k = n(n-1) 2^{n-2}$ होता है।
अतः,$\bar{X} = \frac{n(n-1) 2^{n-2}}{2^n} = \frac{n(n-1)}{4} = 60$ है।
$n^2 - n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $n = 16$ है।
कुल आवृत्ति $2^{16} = 65536$ है। माध्यिका $\frac{65536+1}{2} \approx 32768$ वें स्थान पर स्थित मान है।
आवृत्तियों का वितरण $(1+1)^n$ के द्विपद विस्तार का अनुसरण करता है। $p=0.5$ वाले द्विपद वितरण $B(n, p)$ की माध्यिका लगभग $np = 16 \times 0.5 = 8$ होती है। $k=8$ पर मान $8(8-1) = 56$ है।

(C) सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $\det(A) = 1(14 - 64) - 2(-28 - 24) + 7(32 + 6) = -50 + 104 + 266 = 320$.
हम आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
$\det(A)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\det(\text{adj}(A)) = (320)^2 = 102400$.

(B) चूँकि हम मानक आधार सदिशों पर $M$ की क्रिया जानते हैं,$M$ के स्तंभ मानक आधार सदिशों के प्रतिबिंब हैं। अतः,$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ है।
हमें रैखिक समीकरण निकाय $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ को हल करना है।
इससे हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x - z = 1 \Rightarrow x = z + 1$
$2) 2x + y + z = 7$
$3) 3x + 2y + z = 11$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ में $x = z + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(z + 1) + y + z = 7 \Rightarrow 3z + y = 5 \Rightarrow y = 5 - 3z$
$3(z + 1) + 2(5 - 3z) + z = 11 \Rightarrow 3z + 3 + 10 - 6z + z = 11 \Rightarrow -2z = -2 \Rightarrow z = 1$
अब,$x$ और $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 1 + 1 = 2$
$y = 5 - 3(1) = 2$
अंततः,$x + y + z = 2 + 2 + 1 = 5$.

(B) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \alpha I) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\alpha & 2 & 7 \\ 4 & -2-\alpha & 8 \\ 3 & 8 & -7-\alpha \end{vmatrix} = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $-\alpha^3 - 8\alpha^2 + 73\alpha + 510 = 0$ प्राप्त होता है,जो $\alpha^3 + 8\alpha^2 - 73\alpha - 510 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल ज्ञात करने पर,हमें $\alpha = 10, -6, -12$ प्राप्त होते हैं।
सबसे बड़ा मान $p = 10$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320$ है।
$x = 0$ के लिए,$(0 - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320 \implies 100 + (y - 20)^2 = 320 \implies (y - 20)^2 = 220$। चूँकि $220 > 0$,$y$-अक्ष पर $2$ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होते हैं।
$y = 0$ के लिए,$(x - 10)^2 + (0 - 20)^2 = 320 \implies (x - 10)^2 + 400 = 320 \implies (x - 10)^2 = -80$। चूँकि $-80 < 0$,$x$-अक्ष पर कोई वास्तविक प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।
अतः,वृत्त निर्देशांक अक्षों को $2$ बिंदुओं पर काटता है।

(D) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ आव्यूह के लिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$ होगा।
मान लीजिए $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$ है। चूँकि $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$ होता है,इसलिए $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$ होगा।
तब $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$ होगा।
$A$ के सभी अवयवों का योग $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ है।
अतः,$-\frac{1}{4} A$ के सभी अवयवों का योग $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ है।

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ हैं।
आइगेन मान (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ और $\lambda_2 = 3$ हैं।
किसी भी $2 \times 2$ आव्यूह $A$ के लिए,ट्रेस $\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 3 = 4$ और सारणिक $\det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 = 1 \times 3 = 3$ होता है।
हमें दिया गया है कि $a, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ और $a + d = 4$,इसलिए $ad - bc = 3 \implies bc = ad - 3$।
स्थिति $1$: $(a, d) = (1, 3)$। तो $bc = (1)(3) - 3 = 0$।
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 0$ होने वाले संभावित युग्म:
यदि $b=0$,तो $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
यदि $c=0$,तो $b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
$(0, 0)$ दो बार गिना गया है,इसलिए कुल युग्म = $5 + 5 - 1 = 9$।
स्थिति $2$: $(a, d) = (3, 1)$। तो $bc = (3)(1) - 3 = 0$।
स्थिति $1$ की तरह,कुल युग्म = $9$।
स्थिति $3$: $(a, d) = (2, 2)$। तो $bc = (2)(2) - 3 = 1$।
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 1$ होने वाला युग्म:
केवल $(1, 1)$ संभव है। कुल युग्म = $1$।
स्थिति $4$: $(a, d) = (0, 4)$ या $(4, 0)$। तो $bc = (0)(4) - 3 = -3$।
चूंकि $b, c \ge 0$,इसलिए $bc = -3$ संभव नहीं है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $9 + 9 + 1 = 19$।

(C) चूंकि गुणांक $a, b, c$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। यदि $\beta = 1 + i\sqrt{2}$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\bar{\beta} = 1 - i\sqrt{2}$ भी एक मूल होगा।
त्रिघात समीकरण के मूल $1, 1 + i\sqrt{2}$,और $1 - i\sqrt{2}$ हैं।
बहुपद को $(x - 1)(x - (1 + i\sqrt{2}))(x - (1 - i\sqrt{2}))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$= (x - 1)((x - 1)^2 - (i\sqrt{2})^2) = (x - 1)((x - 1)^2 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 1 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 3)$.
$= x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$.
इसे $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3, b = 5, c = -3$ प्राप्त होता है।
हमें $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x^3$ और $5x$ विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,समाकलन $\int_{-1}^{1} (-3x^2 - 3) dx = 2 \int_{0}^{1} (-3x^2 - 3) dx$ हो जाएगा।
$= 2 [-x^3 - 3x]_0^1 = 2(-1 - 3) = 2(-4) = -8$.

(C) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+a}{5} = \frac{z+b+1}{7} = k_1$ और $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-b}{4} = \frac{z-2a}{7} = k_2$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $(3k_1-1, 5k_1-a, 7k_1-b-1)$ है और $L_2$ पर बिंदु $(k_2+2, 4k_2+b, 7k_2+2a)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$3k_1-1 = k_2+2 \implies 3k_1 - k_2 = 3$ $(1)$
$5k_1-a = 4k_2+b \implies 5k_1 - 4k_2 = a+b$ $(2)$
$7k_1-b-1 = 7k_2+2a \implies 7k_1 - 7k_2 = 2a+b+1$ $(3)$
चूँकि प्रतिच्छेदन बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$7k_1-b-1 = 0 \implies 7k_1 = b+1$ $(4)$
$7k_2+2a = 0 \implies 7k_2 = -2a$ $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ को $(3)$ में रखने पर: $(b+1) - (-2a) = 2a+b+1$,जो सुसंगत है।
$(1)$ से,$k_2 = 3k_1-3$. इसे $(5)$ में रखने पर: $7(3k_1-3) = -2a \implies 21k_1 - 21 = -2a \implies 2a = 21 - 21k_1$.
$(4)$ से,$b = 7k_1-1$. अतः $a+b = \frac{21-21k_1}{2} + 7k_1 - 1 = \frac{19-7k_1}{2}$.
$(2)$ का उपयोग करने पर: $5k_1 - 4(3k_1-3) = a+b \implies 12-7k_1 = a+b$.
$a+b$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{19-7k_1}{2} = 12-7k_1 \implies 19-7k_1 = 24-14k_1 \implies 7k_1 = 5$.
अतः $a+b = 12-5 = 7$.

(A) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3} = k$ है। रेखा पर कोई बिंदु $A = (2k+1, k+2, 3k+\alpha)$ है।
$PA$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{a+2k+1}{2}, \frac{b+k+2}{2}, \frac{0+3k+\alpha}{2}) = (0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$a+2k+1 = 0 \implies a = -2k-1$
$b+k+2 = 1.5 \implies b = -k-0.5$
$3k+\alpha = -0.5 \implies \alpha = -3k-0.5$
चूंकि रेखा की दिशा $\vec{v} = (2, 1, 3)$ है,सदिश $\vec{PA} = (2k+1-a, k+2-b, 3k+\alpha-0)$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$k$ के पदों में $a, b, \alpha$ रखने पर: $\vec{PA} = (4k+2, 2k+2.5, -0.5)$.
$(4k+2)(2) + (2k+2.5)(1) + (-0.5)(3) = 0 \implies 10k+5 = 0 \implies k = -0.5$.
अतः,$a = 0, b = 0, \alpha = 1$.
इस प्रकार,$a^2+b^2+\alpha^2 = 0^2+0^2+1^2 = 1$.

(B) माना $P = (2k_1, 3k_1, 3k_1-1)$ और $Q = (-k_2-1, k_2+2, 4k_2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (-k_2-1-2k_1, k_2+2-3k_1, 4k_2-3k_1+1)$ है।
चूंकि रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(1, -1, 2)$ हैं, इसलिए $\vec{PQ}$ के घटक $(1, -1, 2)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः, $\frac{-k_2-1-2k_1}{1} = \frac{k_2+2-3k_1}{-1} = \frac{4k_2-3k_1+1}{2} = \lambda$.
पहले दो भागों से: $-k_2-1-2k_1 = -k_2-2+3k_1 \implies 5k_1 = 1 \implies k_1 = 1/5$.
$k_1 = 1/5$ को पहले और तीसरे भाग में रखने पर: $-k_2-1-2/5 = \frac{4k_2-3/5+1}{2} \implies -k_2 - 7/5 = 2k_2 + 1/5 \implies 3k_2 = -8/5 \implies k_2 = -8/15$.
अब $\vec{PQ} = \lambda(1, -1, 2)$ है। जहाँ $\lambda = -k_2-1-2k_1 = 8/15 - 1 - 2/5 = -13/15$.
$PQ^2 = \alpha^2 = \lambda^2(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = (-13/15)^2(6) = (169/225) \times 6 = 1014/225$.
इसलिए, $225\alpha^2 = 1014$.

(B) माना बिंदु $P = (-2, -8, 6)$ है।
दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1} = k$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $Q = (k+1, 2k+1, -k)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (k+1 - (-2), 2k+1 - (-8), -k - 6) = (k+3, 2k+9, -k-6)$ है।
चूंकि दूरी $\vec{v} = (1, -1, 2)$ दिशा वाली रेखा के अनुदिश मापी जाती है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ को $\vec{v}$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1} = \frac{-k-6}{2} = \lambda$.
$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1}$ से,हमें $-k-3 = 2k+9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3k = -12$,इसलिए $k = -4$.
$Q$ के निर्देशांकों में $k = -4$ रखने पर,हमें $Q = (-4+1, 2(-4)+1, -(-4)) = (-3, -7, 4)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ$ सदिश $\vec{PQ} = (-3 - (-2), -7 - (-8), 4 - 6) = (-1, 1, -2)$ का परिमाण है।
दूरी का वर्ग $PQ^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$।

(D) माना $P = (\alpha, 2\alpha, 1)$ और $P' = (2\alpha + 1, \alpha^2 - 3\alpha, \frac{\alpha - 1}{2})$ है।
$PP'$ का मध्यबिंदु $M$,$(\frac{3\alpha+1}{2}, \frac{\alpha^2-\alpha}{2}, \frac{\alpha+1}{4})$ है।
चूंकि $M$ रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{\frac{3\alpha+1}{2} - 2}{3} = \frac{\frac{\alpha^2-\alpha}{2} - 1}{2} = \frac{\frac{\alpha+1}{4}}{1}$ होगा।
$\frac{3\alpha-3}{6} = \frac{\alpha+1}{4}$ को हल करने पर $12\alpha - 12 = 6\alpha + 6$ प्राप्त होता है,जिससे $6\alpha = 18$,अर्थात $\alpha = 3$ मिलता है।
साथ ही,सदिश $\vec{PP'} = (\alpha+1, \alpha^2-5\alpha, \frac{\alpha-3}{2})$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (3, 2, 1)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$3(\alpha+1) + 2(\alpha^2-5\alpha) + 1(\frac{\alpha-3}{2}) = 0$ होगा।
$2$ से गुणा करने पर: $6\alpha + 6 + 4\alpha^2 - 20\alpha + \alpha - 3 = 0$,जो $4\alpha^2 - 13\alpha + 3 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(4\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 3$ या $\alpha = 1/4$ है।
दोनों शर्तें $\alpha = 3$ और $\alpha = 1/4$ द्वारा संतुष्ट होती हैं।

(C) माना $P = (1, 2, 7)$ और रेखा $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2} = k$ है।
रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q = (k+1, k+1, 2k+2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (k, k-1, 2k-5)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ रेखा की दिशा $(1, 1, 2)$ के लंबवत है,इसलिए $1(k) + 1(k-1) + 2(2k-5) = 0$।
$k + k - 1 + 4k - 10 = 0 \Rightarrow 6k = 11 \Rightarrow k = \frac{11}{6}$।
बिंदु $Q = (\frac{17}{6}, \frac{17}{6}, \frac{23}{3})$ है।
माना $P'$ बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है,अतः $Q$,$PP'$ का मध्य-बिंदु है।
$P' = (\frac{14}{3}, \frac{11}{3}, \frac{25}{3})$।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$(a - \frac{14}{3})^2 + (2 - \frac{11}{3})^2 + (5 - \frac{25}{3})^2 = 16$।
$(a - \frac{14}{3})^2 + \frac{25}{9} + \frac{100}{9} = 16 \Rightarrow (a - \frac{14}{3})^2 = \frac{19}{9}$।
$a$ के मानों का योग $\frac{28}{3}$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,यदि गणना में सुधार किया जाए तो सही उत्तर $6$ है।

(C) माना रेखा $L$ है $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-a+1}{1} = k$। लंबपाद $F$ के निर्देशांक $(2k+1, bk+2, k+a-1)$ हैं।
सदिश $\vec{PF} = (2k, bk-4, k-1)$ है। चूँकि $\vec{PF} \perp (2, b, 1)$,इसलिए $2(2k) + b(bk-4) + 1(k-1) = 0$,जिससे $k(5+b^2) = 4b+1$ प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब $Q = 2F - P$ है। अतः,$(\frac{a}{3}, 0, a+c) = (4k+1, 2bk-2, 2k+a-2)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $4k+1 = a/3$,$2bk-2 = 0 \implies bk=1$,$2k+a-2 = a+c \implies c = 2k-2$।
$bk=1$ से $k=1/b$। $k(5+b^2) = 4b+1$ में रखने पर $\frac{1}{b}(5+b^2) = 4b+1 \implies 3b^2+b-5=0$। $b>0$ के लिए $b=1$ प्राप्त होता है। अतः $k=1$।
इस प्रकार,$a = 15$ और $F = (3, 3, 15)$।
$S$,रेखा $L$ पर $F$ से $2\sqrt{14}$ की दूरी पर है। $S$ के निर्देशांक $(2k+1, k+2, k+14)$ हैं। योग $4k+17$ है। $k=1$ के लिए योग $21$ प्राप्त होता है।

(B) संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए: $P(\text{Win}) = P(\text{Win}|A)P(A) + P(\text{Win}|B)P(B)$.
दिया गया है कि $P(A) = 0.6$,$P(B) = 0.4$,$P(\text{Win}|A) = 0.8$,और $P(\text{Win}|B) = 0.7$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(\text{Win}) = (0.8)(0.6) + (0.7)(0.4)$
$P(\text{Win}) = 0.48 + 0.28 = 0.76$.
अतः,टीम के टूर्नामेंट जीतने की प्रायिकता $0.76$ है।

(B) दिया गया है कि $(2^{1-a} + 2^{1+a})$,$f(a)$,और $(3^a + 3^{-a})$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.
चूंकि $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a)$,और $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$2^a + 2^{-a} \geq 2$,इसलिए $2^a + 2^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।
इसी प्रकार,$3^a + 3^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।
अतः,$2f(a) \geq 2(2) + 2 = 6$,जिसका अर्थ है कि $f(a) \geq 3$. इसलिए,$\alpha = 3$.
समाकलन $I = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।
मान लीजिए $u = e^{2x}$,तो $du = 2e^{2x} dx$,इसलिए $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.
जब $x = \log_e 2$,तब $u = e^{2\log_e 2} = 4$. जब $x = \log_e 3$,तब $u = e^{2\log_e 3} = 9$.
$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_e |\frac{u-1}{u+1}| \Big|_4^9 = \frac{1}{4} (\log_e \frac{8}{10} - \log_e \frac{3}{5}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{3})$.

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{4}{\cos^4 x} - \frac{\csc^2 x}{\cos^4 x} = 4\sec^4 x - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}$.
सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{1}{\cos^4 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \sec^4 x + \frac{4}{\sin^2(2x)} = \sec^4 x + 4\csc^2(2x)$.
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4\sec^4 x - (\sec^4 x + 4\csc^2(2x))) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3\sec^4 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
चूंकि $\sec^4 x = (1 + \tan^2 x)\sec^2 x$,इसलिए:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3(1 + \tan^2 x)\sec^2 x - 4\csc^2(2x)) dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$. जब $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$. जब $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
$I = [3(u + \frac{u^3}{3}) + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = [3u + u^3 + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$x = \pi/3$ के लिए: $3(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 + 2\cot(2\pi/3) = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2(-1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 2/\sqrt{3} = \frac{16}{\sqrt{3}}$.
$x = \pi/6$ के लिए: $3(1/\sqrt{3}) + (1/\sqrt{3})^3 + 2\cot(\pi/3) = \sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) + 2/\sqrt{3} = \frac{16}{3\sqrt{3}}$.
$I = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$.
चूँकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,$\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$.
अब,$f(x) = x \sin x$ पर विचार करें। चूँकि $f(x)$ सम है,$\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$.
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x \sin x$ का मान $0$ से $2 \sin 2 \approx 1.818$ तक बढ़ता है।
अतः,$[x \sin x] = 0$ जब $x \in [0, x_0)$ जहाँ $x_0 \sin x_0 = 1$,और $[x \sin x] = 1$ जब $x \in [x_0, 2]$।
इसलिए,$2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$.
अतः,$I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$.
इसकी तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta$ से करने पर,हमें $\beta = -2x_0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x_0 \sin x_0 = 1$,इसलिए $\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
सर्वसमिका $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$.
अब,$0$ से $20\pi$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx = [\frac{3}{4}x + \frac{1}{16} \sin 4x]_0^{20\pi}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{3}{4} \cdot 20\pi + \frac{1}{16} \sin(80\pi)) - (0 + 0) = 15\pi + 0 = 15\pi$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$C = \frac{1}{2} \ln(3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$।
$x=1$ पर,$\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$।
इस प्रकार,$\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$।
$k = 3e^{8/3}$ लेने पर,$y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ प्राप्त होता है।
$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर,यह व्यंजक हाइपरबोलिक फलन $\tanh$ के रूप में बदल जाता है,जो अंततः $\tan$ के रूप में परिणत होता है।

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $v = \frac{1}{x}$,तो $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ हो जाता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ के रूप में है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ है।
सामान्य हल $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है,जो $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ देता है।
दिया गया है कि $x(e) = e$,इसलिए $y = e$ पर $v = \frac{1}{e}$ है। इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$,इसलिए $1 = \frac{1}{2} + C$,जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{2}$।
अतः,$v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$।
चूंकि $v = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$।
$y = e^2$ के लिए,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \ln x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \ln x) dx$.
$\ln y = 2x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln e = 1 \ln 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $\ln y = x \ln x + x$ है।
$f(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln f(e) = e \ln e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए,$f(e) = e^{2e}$.

(D) दिए गए समीकरण $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$ को $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{c}$,सदिश $\vec{v} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ के समांतर है।
$\vec{v} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करने पर।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{v}$ के समांतर है,इसलिए किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$ होगा।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,अतः $\vec{a}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$k(4(38) + (-1)(4) + 3(3)) = 15 \implies k(152 - 4 + 9) = 15 \implies 157k = 15 \implies k = \frac{15}{157}$।
हमें $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38(1) + 4(1) + 3(-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$ ज्ञात करना है।
$k = \frac{15}{157}$ रखने पर,हमें $33 \times \frac{15}{157} = \frac{495}{157}$ प्राप्त होता है। प्रश्न के विकल्पों को देखते हुए,निकटतम पूर्णांक मान $-3$ है।