मान लीजिए 729, 81, 9, 1, dots एक अनुक्रम है औ | vedclass

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Question

(A) यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 729 = 3^6$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ है।$P_n$ प्रथम $n$ पदों का गुणनफल है: $

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$73$

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(A) यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 729 = 3^6$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ है।$P_n$ प्रथम $n$ पदों का गुणनफल है: $P_n = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{6n} \cdot 3^{-n(n-1)} = 3^{7n - n^2}$.अतः,$(P_n)^{\frac{1}{n}} = 3^{7-n}$.हमें $2 \sum_{n=1}^{40} 3^{7-n}$ का मान ज्ञात करना है।यह $40$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $A = 3^6$ और सार्व अनुपात $R = \frac{1}{3}$ है।योग $= 2 \cdot 3^6 \left( \frac{1 - (1/3)^{40}}{1 - 1/3} \right) = \frac{3^{40}-1}{3^{33}}$.तुलना करने पर,$\alpha = 40$ और $\beta = 33$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = 40 + 33 = 73$.

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