नीचे दो कथन दिए गए हैं:कथन I: f(x) = frac{x}{ | vedclass

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Question

(B) कथन $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \ \frac{x}{1-x}, & x < 0 \end{case

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कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सही हैं।

Vedclass · Answer

(B) कथन $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \ \frac{x}{1-x}, & x $x \ge 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$.$x  0$.चूंकि अवकलज हमेशा धनात्मक है,फलन निरंतर वर्धमान है और इसलिए यह एकैकी है। अतः,कथन $I$ सही है।कथन $II$: $f(x) = \frac{x^2+4x-30}{x^2-8x+18}$.यह जांचने के लिए कि क्या यह बहु-एक है,हम देखते हैं कि क्या ऐसे $x_1 
eq x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ हो।मान लीजिए $f(x) = k$. तब $k(x^2-8x+18) = x^2+4x-30$.$(k-1)x^2 - (8k+4)x + (18k+30) = 0$.इसके दो अलग-अलग मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ धनात्मक होना चाहिए।$D = (8k+4)^2 - 4(k-1)(18k+30) > 0$.$16(2k+1)^2 - 24(k-1)(3k+5) > 0$.$16(4k^2+4k+1) - 24(3k^2+2k-5) > 0$.$64k^2+64k+16 - 72k^2-48k+120 > 0$.$-8k^2+16k+136 > 0 \Rightarrow k^2-2k-17 चूंकि $k$ की ऐसी सीमा मौजूद है जिसके लिए दो अलग-अलग मूल प्राप्त होते हैं,इसलिए फलन बहु-एक है। अतः,कथन $II$ सही है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A) f(-5)+f(0)+f(-1)$	$(I) 16$
$(B) f(f(5)+10f(-3))$	$(II) 40$
$(C) f(f(-4))$	$(III) -31$
$(D) f(f(f(1)))$	$(IV) -12$
	$(V) 19$

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