$ \alpha $ के उन सभी मानों का योग,जिनके लिए रेखाओं $ \frac{x+1}{\alpha}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{-\alpha} $ और $ \frac{x}{\alpha}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2\alpha} $ के बीच की न्यूनतम दूरी $ \sqrt{2} $ है,है

बिंदु $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ से गुजरने वाली और बिंदुओं $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ तथा $-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ को जोड़ने वाली रेखा के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

$2, 1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं $x = y + 2 = z$ और $x + 2 = 2y = 2z$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर मिलती है। यदि बिंदु $(1, 2, 12)$ से रेखा $PQ$ पर डाले गए लंब की लंबाई $l$ है,तो $l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ के किस मान के लिए रेखाएँ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{\lambda} = \frac{z + 1}{-1}$ और $\frac{x + 1}{-\lambda} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ एक-दूसरे पर लंब हैं?

मान लीजिए $Q$ वह घन है जिसके शीर्षों का समुच्चय $\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in \{0,1\}\}$ है। मान लीजिए $F$ घन $Q$ के छह फलकों के विकर्णों को समाहित करने वाली सभी बारह रेखाओं का समुच्चय है। मान लीजिए $S$ घन $Q$ के मुख्य विकर्णों को समाहित करने वाली सभी चार रेखाओं का समुच्चय है; उदाहरण के लिए,शीर्ष $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ से गुजरने वाली रेखा $S$ में है। रेखाओं $\ell_1$ और $\ell_2$ के लिए,मान लीजिए $d(\ell_1, \ell_2)$ उनके बीच की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है। तब $d(\ell_1, \ell_2)$ का अधिकतम मान,जैसे-जैसे $\ell_1$ समुच्चय $F$ पर और $\ell_2$ समुच्चय $S$ पर परिवर्तित होता है,क्या होगा?

रेखाओं $L_1: x-1=y-2=z$ और $L_2: x-2=y=z-1$ पर विचार करें। मान लीजिए कि बिंदु $P(5,1,-3)$ से रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर डाले गए लंब के पाद क्रमशः $Q$ और $R$ हैं। यदि त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $4A^2$ का मान ज्ञात कीजिए: