मान लीजिए f(x) = int frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(x) = \int \frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1/2}}	ext{।}$मान लीजिए $x = t^6$,तो $dx = 6t^5 dt	ext{।}$इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित

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$-11$

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(C) दिया गया है कि $f(x) = \int \frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1/2}}	ext{।}$मान लीजिए $x = t^6$,तो $dx = 6t^5 dt	ext{।}$इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \int \frac{6t^5 dt}{t^4 + 2t^3} = \int \frac{6t^2 dt}{t + 2} = 6 \int \frac{t^2 - 4 + 4}{t + 2} dt	ext{।}$$f(x) = 6 \int (t - 2 + \frac{4}{t + 2}) dt = 6 [\frac{t^2}{2} - 2t + 4 \log_{e}(t + 2)] + C	ext{।}$$t = x^{1/6}$ रखने पर:$f(x) = 3x^{1/3} - 12x^{1/6} + 24 \log_{e}(x^{1/6} + 2) + C	ext{।}$दिया गया है कि $f(0) = -26 + 24 \log_{e}(2)	ext{।}$$x = 0$ पर,$f(0) = 0 - 0 + 24 \log_{e}(2) + C = 24 \log_{e}(2) + C	ext{।}$तुलना करने पर,$C = -26	ext{।}$अब,$f(1) = 3(1)^{1/3} - 12(1)^{1/6} + 24 \log_{e}(1^{1/6} + 2) - 26	ext{।}$$f(1) = 3 - 12 + 24 \log_{e}(3) - 26 = -35 + 24 \log_{e}(3)	ext{।}$दिया गया है कि $f(1) = a + b \log_{e}(3)$,इसलिए $a = -35$ और $b = 24	ext{।}$अतः,$a + b = -35 + 24 = -11	ext{।}$

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1/2}}$ इस प्रकार है कि $f(0) = -26 + 24 \log_{e}(2)\text{।}$ यदि $f(1) = a + b \log_{e}(3)$,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$,तो $a + b$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(x + 9)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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