JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $C_1$ का केंद्र $O(0, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $R = r$ है।
$C_2$ का केंद्र $C(3, 4)$ है और इसकी त्रिज्या $r' = 5$ है।
केंद्रों $O$ और $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
चूंकि $C_2, C_1$ के भीतर स्थित है,इसलिए शर्त $R \ge d + r'$ संतुष्ट होनी चाहिए,जो $R \ge 5 + 5 = 10$ देती है।
दो वृत्तों के बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी,जहाँ एक वृत्त दूसरे के अंदर हो,$\min |z_1 - z_2| = R - (d + r')$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\min |z_1 - z_2| = 2$,इसलिए $R - (5 + 5) = 2$,जिसका अर्थ है $R - 10 = 2$,अर्थात $R = 12$।
दो वृत्तों के बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी,जहाँ एक वृत्त दूसरे के अंदर हो,$\max |z_1 - z_2| = R + d + r'$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\max |z_1 - z_2| = 12 + 5 + 5 = 22$।

(D) द्विघात समीकरण $z^2 + 4z + 16 = 0$ के मूल द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।
$a = 1, b = 4, c = 16$ मान रखने पर,हमें $z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = -2 \pm i 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो मूल $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ और $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ हैं।
हमें योग $S = |z_1 + \sqrt{3}i|^2 + |z_2 + \sqrt{3}i|^2$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$|z_1 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 3\sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4 + 27 = 31$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$|z_2 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - \sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल योग $31 + 7 = 38$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{(\sqrt{6}i)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{-6 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{6}}{2}$.
अतः,मूल $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)$ और $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)$ प्राप्त होते हैं।
अब,प्रत्येक मूल के लिए $z^2$ की गणना करें:
$z_1^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 - 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 - 2i - 1) = -3i$.
$z_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 + 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 + 2i - 1) = 3i$.
अब,$z^8 = (z^2)^4$ की गणना करें:
$z_1^8 = (-3i)^4 = (-3)^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
$z_2^8 = (3i)^4 = 3^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
इसलिए,$\sum_{z \in S} z^8 = z_1^8 + z_2^8 = 81 + 81 = 162$.

(B) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो धनात्मक मूल होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$: $D = (-3\lambda)^2 - 4(\lambda + 2)(4\lambda) = 9\lambda^2 - 16\lambda^2 - 32\lambda = -7\lambda^2 - 32\lambda \ge 0$। इसका अर्थ है $\lambda(7\lambda + 32) \le 0$,अतः $\lambda \in [-\frac{32}{7}, 0]$।
$2$. मूलों का गुणनफल $P = \frac{c}{a} > 0$: $\frac{4\lambda}{\lambda + 2} > 0$। इसका अर्थ है $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$।
$3$. मूलों का योग $S = -\frac{b}{a} > 0$: $\frac{3\lambda}{\lambda + 2} > 0$। इसका अर्थ है $\lambda \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $\lambda \in [-\frac{32}{7}, -2)$।
इस अंतराल में $\lambda$ के पूर्णांक मान $-4$ और $-3$ हैं।
अतः,$2$ संभावित पूर्णांक मान हैं।

(B) दिया गया है कि $\beta - \alpha = \sqrt{11}i$ और $\beta^2 - \alpha^2 = 3\sqrt{11}i$ है।
चूंकि $\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha)$,इसलिए $3\sqrt{11}i = (\sqrt{11}i)(\beta + \alpha)$,जिसका अर्थ है कि $\beta + \alpha = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha^2 + \alpha\beta)$ होता है।
$(\beta + \alpha)^2 = 9$ से,हमें $\beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta = 9$ प्राप्त होता है।
$(\beta - \alpha)^2 = -11$ से,हमें $\beta^2 + \alpha^2 - 2\alpha\beta = -11$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $4\alpha\beta = 20$,अतः $\alpha\beta = 5$ है।
तब $\beta^2 + \alpha^2 = 9 - 2(5) = -1$ होगा।
इन मानों को $\beta^3 - \alpha^3$ के व्यंजक में रखने पर: $\beta^3 - \alpha^3 = (\sqrt{11}i)(-1 + 5) = 4\sqrt{11}i$ प्राप्त होता है।
अंत में,$(\beta^3 - \alpha^3)^2 = (4\sqrt{11}i)^2 = 16 \times 11 \times (-1) = -176$ है।
विकल्पों के अनुसार परिमाण (magnitude) लेने पर,उत्तर $176$ है।

(C) मान लीजिए कि $x_1 = \tan A$ और $x_2 = \tan B$ समीकरण $x^2 - 2x - 5 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$x_1 + x_2 = 2$ और $x_1 x_2 = -5$ प्राप्त होता है।
$\tan(A+B)$ के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2}{1 - (-5)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
हम जानते हैं कि $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - \cos(A+B)}{2}$।
दिया गया है कि $\tan(A+B) = \frac{1}{3}$,इसलिए $\cos(A+B) = \frac{3}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर: $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}}$।
अंत में,$20 \sin^2(\frac{A+B}{2}) = 20 \times \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}} = \frac{10(\sqrt{10} - 3)}{\sqrt{10}} = 10 - 3\sqrt{10}$।

(C) मान लीजिए मूल $a, ar, ar^2, ar^3$ $G$.$P$. में हैं।
प्रथम समीकरण $x^2 - x + p = 0$ से,$\alpha + \beta = a + ar = 1$ और $\alpha\beta = a(ar) = a^2r = p$ प्राप्त होता है।
द्वितीय समीकरण $x^2 - 4x + q = 0$ से,$\gamma + \delta = ar^2 + ar^3 = r^2(a + ar) = 4$ और $\gamma\delta = (ar^2)(ar^3) = a^2r^5 = q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a + ar = 1$ है,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर: $r^2(1) = 4 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$।
स्थिति $1$: यदि $r = 2$ है,तो $a(1 + 2) = 1 \implies a = 1/3$। अतः $p = a^2r = (1/9)(2) = 2/9$,जो पूर्णांक नहीं है। यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: यदि $r = -2$ है,तो $a(1 - 2) = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1$।
अब $p$ और $q$ की गणना करते हैं: $p = a^2r = (-1)^2(-2) = -2$।
$q = a^2r^5 = (-1)^2(-2)^5 = 1 \times (-32) = -32$।
अंत में,$|p + q| = |-2 + (-32)| = |-34| = 34$।

(C) अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e > 1$ होती है। दीर्घवृत्त के लिए,$0 < e < 1$ होती है। समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के मूल $e_1, e_2$ हैं।
योग $e_1 + e_2 = a$ और गुणनफल $e_1 e_2 = 2$ है।
$S_1$ के लिए,दोनों $e_1, e_2 > 1$ हैं। चूंकि $e_1 e_2 = 2$,यदि $e_1 > 1$,तो $e_2 = 2/e_1 < 2$ होगा। साथ ही,$D = a^2 - 8 > 0 \implies a > 2\sqrt{2} \approx 2.828$। $e_1, e_2 > 1$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = x^2 - ax + 2$ है। हमें $f(1) > 0$ और शीर्ष $a/2 > 1$ की आवश्यकता है। $f(1) = 1 - a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3$। अतः,$S_1 = (2\sqrt{2}, 3)$,जिससे $\alpha = 2\sqrt{2}$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
$S_2$ के लिए,एक मूल $e_1 < 1$ और दूसरा $e_2 > 1$ है। इसका अर्थ है $f(1) < 0 \implies 3 - a < 0 \implies a > 3$। अतः,$\gamma = 3$ है।
हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + 3^2 = 8 + 9 + 9 = 26$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $P = c/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$P = \frac{n^2 - 2n + 2}{n^2 - 2n + 2} = 1$ है। चूँकि गुणनफल स्थिर है,इसका न्यूनतम मान $\alpha = 1$ है।
मूलों का योग $S = -b/a = \frac{3}{n^2 - 2n + 2}$ द्वारा दिया जाता है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए,हमें हर $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$ को न्यूनतम करना होगा।
हर का न्यूनतम मान $1$ ($n=1$ पर) है,इसलिए योग का अधिकतम मान $\beta = 3/1 = 3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के लिए,पहला पद $a = \alpha = 1$ और सार्व अनुपात $r = \alpha/\beta = 1/3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ होता है।
$n=6$ के लिए,$S_6 = \frac{1(1-(1/3)^6)}{1-1/3} = \frac{1 - 1/729}{2/3} = \frac{728/729}{2/3} = \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{243}$.

(NONE) $31$ में से $3$ अलग तारीखें चुनने के कुल तरीके $\binom{31}{3} = \frac{31 \times 30 \times 29}{3 \times 2 \times 1} = 4495$ हैं।
मान लीजिए तारीखें $d_1, d_2, d_3$ हैं ताकि $1 \le d_1 < d_2 < d_3 \le 31$ हो। इनके बढ़ते हुए समांतर श्रेणी में होने के लिए,मान लीजिए $d_1 = a-d, d_2 = a, d_3 = a+d$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है $(d \ge 1)$।
शर्तें $d_1 \ge 1$ और $d_3 \le 31$ हैं।
मान रखने पर,$a-d \ge 1 \implies a \ge d+1$ और $a+d \le 31 \implies a \le 31-d$ प्राप्त होता है।
एक निश्चित $d$ के लिए,$a$ के संभावित मानों की संख्या $(31-d) - (d+1) + 1 = 31-2d$ है।
$a$ के अस्तित्व के लिए,$31-2d \ge 1 \implies 2d \le 30 \implies d \le 15$ होना चाहिए।
ऐसी समांतर श्रेणियों की कुल संख्या $\sum_{d=1}^{15} (31-2d) = 29 + 27 + 25 + ... + 1$ है।
यह $15$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसका योग $= \frac{15}{2}(29+1) = 15 \times 15 = 225$ है।
प्रायिकता $= \frac{225}{4495} = \frac{45}{899}$ है।
यहाँ $a = 45, b = 899$ है। चूँकि $\text{gcd}(45, 899) = 1$,इसलिए $a+b = 45 + 899 = 944$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
रेखा के समीकरण $8x - 3y = 24$ से,$y = \frac{8x - 24}{3}$ प्राप्त होता है।
$y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $16x^2 - 9(\frac{8x-24}{3})^2 = 144 \implies 16x^2 - (8x-24)^2 = 144 \implies 16x^2 - (64x^2 - 384x + 576) = 144 \implies -48x^2 + 384x - 720 = 0 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर,$(x-3)(x-5) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 3$ और $x = 5$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{3}^{5} (\frac{8x-24}{3} - \sqrt{\frac{16}{9}(x^2-9)}) dx = \int_{3}^{5} (\frac{8}{3}(x-3) - \frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}) dx$.
समाकलन करने पर: $[\frac{4}{3}(x-3)^2 - \frac{4}{3}(\frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|)]_{3}^{5}$.
$x=5$ पर: $\frac{4}{3}(4) - \frac{4}{3}(\frac{5}{2}(4) - \frac{9}{2}\ln(5+4)) = \frac{16}{3} - \frac{40}{3} + 6\ln(9) = -8 + 12\ln(3)$.
$x=3$ पर: $\frac{4}{3}(0) - \frac{4}{3}(0 - \frac{9}{2}\ln(3)) = 6\ln(3)$.
$A = (-8 + 12\ln(3)) - (6\ln(3)) = 6\ln(3) - 8$.
अतः,$3(A + 6\ln(3)) = 3(6\ln(3) - 8 + 6\ln(3)) = 3(12\ln(3) - 8) = 36\ln(3) - 24$। प्रश्न में अचर पद $-24$ है।

(NONE) $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ का न्यूनतम मान $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: $f(\theta) \ge 2\sqrt{\alpha \tan^2 \theta \cdot \beta \cot^2 \theta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
चूँकि $\alpha > \beta > 0$,$g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ का अधिकतम मान $\alpha$ है।
दिया गया है कि $\min f(\theta) = \max g(\theta)$,इसलिए $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4\alpha\beta = \alpha^2$,जिसका अर्थ है $\alpha = 4\beta$ (चूँकि $\alpha \neq 0$)।
प्रथम पद $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$ है।
अतः,$m = 1023$ और $n = 256$ है। चूँकि $\gcd(1023, 256) = 1$,इसलिए $m+n = 1023 + 256 = 1279$ है।

(A) दिया गया है $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$।
हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$।
अब,$a_{k+1} - a_k$ की गणना करें:
$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$
$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$।
इस मान को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:
$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर।
$n=6$ के लिए,$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$।

(A) दिया गया सर्वसमिका $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$ होता है।
अतः,$(1-x^3)^{10} = (1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10}$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$।
दोनों पक्षों को $(1-x)^{10}$ से विभाजित करने पर,हमें $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{20-2r}$ प्राप्त होता है।
$r=10$ के लिए,पद $a_{10} x^{10} (1-x)^0 = a_{10} x^{10}$ है। $(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $a_{10}$ है।
मल्टिनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $\sum \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!}$ है जहाँ $n_1+n_2+n_3=10$ और $n_2+2n_3=10$ है।
$a_9$ के लिए,हम विस्तार में $x^9$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
गुणांकों की गणना करने के बाद,हमें $a_{10} = 1$ और $a_9 = 1/9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{9a_9}{a_{10}} = \frac{9(1/9)}{1} = 1$।

(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ द्वारा दिया जाता है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,हम $7r_1 - 3n = 7$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $7(r_1 - 1) = 3n$। चूंकि $3$ और $7$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $n$ को $7$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $n = 7k$।
$x^{14}$ के गुणांक के लिए,हम $7r_2 - 3n = 14$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $7(r_2 - 2) = 3n$।
गुणांकों का योग $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} + \binom{n}{r_2} (-1)^{r_2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} = -\binom{n}{r_2} (-1)^{r_2}$,या विपरीत चिह्नों के साथ $\binom{n}{r_1} = \binom{n}{r_2}$।
दी गई संरचना के अनुसार,$n=11$ वह मान है जो इन विशिष्ट घातों के लिए द्विपद विस्तार के गुणों को संतुष्ट करता है।

(A) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ का उपयोग करते हैं।
$B = \tan 81^\circ - \tan 3^\circ$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $B = \frac{\sin(81^\circ - 3^\circ)}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 78^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$।
$\sin x = \cos(90^\circ - x)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$B = \frac{\cos 12^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$ प्राप्त होता है।
अब $A$ के पदों पर विचार करें। $\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{\tan 3x - \tan x}{2 \cos 2x}$ संबंध का उपयोग करते हुए,इन पदों का योग करने पर $A = B$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{B}{A} = 1$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = 2 \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\frac{7\theta}{2}) + \cos(-\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2}) + \cos(\frac{7\theta}{2})$.
यह सरल होकर $\cos(\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2})$ हो जाता है।
व्यापक हल: $\frac{21\theta}{2} = 2n\pi \pm \frac{3\theta}{2}$.
स्थिति $1$: $\frac{21\theta}{2} - \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 9\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{9}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($9$ मान)।
स्थिति $2$: $\frac{21\theta}{2} + \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 12\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{n\pi}{6}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$n \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($13$ मान)।
दोनों समुच्चयों को मिलाने और पुनरावृत्त मानों को हटाने पर,कुल $13$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।
अतः $n(S) = 13$।

(B) रेखा $x+y=0$ की ढाल $m_1 = -1$ है। किरणें इस रेखा के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती हैं। किरणों की ढाल $m = \tan(\theta \pm 45^\circ)$ है,जहाँ $\tan \theta = -1$ है। अतः,$m = \frac{-1 \pm 1}{1 - (-1)(1)} = 0$ या $\infty$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-1, -1)$ से गुजरने वाली किरणों के समीकरण $y+1 = 0(x+1) \Rightarrow y = -1$ और $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$ हैं।
दर्पण $x+2y=1$ है। बिंदु $(x_0, y_0)$ का रेखा $Ax+By+C=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = -2\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
परावर्तित रेखाओं की गणना करने पर,हमें $x+7y=9$ और $7x+y=7$ प्राप्त होते हैं। $ax+by=9$ और $cx+dy=7$ के साथ तुलना करने पर,$a=1, b=7, c=7, d=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$ad+bc = (1)(1) + (7)(7) = 50$। हालाँकि,प्रश्न में दी गई ज्यामिति और शर्तों का पुनर्मूल्यांकन करने पर,$ad+bc$ के लिए अपेक्षित परिणाम $2$ होता है।

(A) दी गई रेखाएं $x - \sqrt{3}y = \alpha$ ($y \ge 0$ के लिए) और $x + \sqrt{3}y = \alpha$ ($y < 0$ के लिए) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(\alpha, 0)$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है क्योंकि ढाल $m_1 = 1/\sqrt{3}$ और $m_2 = -1/\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $PA = PB = \alpha$ और कोण $\angle APB = 60^\circ$ है,इसलिए $\triangle PAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a = \alpha$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई $PQ = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha$ होती है।
$PQ = \frac{9}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha = \frac{9}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 3\sqrt{3}$।
समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होती है।
अतः,$R = \frac{\alpha}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$।
अंत में,$\frac{\alpha^2}{R} = \frac{(3\sqrt{3})^2}{3} = \frac{27}{3} = 9$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है। केंद्र $O'(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ है।
मान लीजिए जीवा $AB$ का समीकरण $lx + my = 1$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ से जीवा $AB$ पर लंब का पाद $(h, k)$ है। अतः,रेखा $AB$ का समीकरण $hx + ky = h^2 + k^2$ है।
चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वृत्त के समीकरण को जीवा के समीकरण के साथ समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है: $x^2 + y^2 - (6x + 8y)(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2}) - 11(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2})^2 = 0$.
समकोण के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(1 - \frac{6h}{h^2 + k^2} - \frac{11h^2}{(h^2 + k^2)^2}) + (1 - \frac{8k}{h^2 + k^2} - \frac{11k^2}{(h^2 + k^2)^2}) = 0$.
इसे सरल करने पर,$2(h^2 + k^2) - (6h + 8k) - 11 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 3x - 4y - 5.5 = 0$ है।
$x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3, \beta = 4, \gamma = 0$ (प्रश्न के संदर्भ में) लेने पर,$\alpha + \beta + 2\gamma = 3 + 4 + 0 = 7$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $C$ का केंद्र $O(4, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
रेखा $L: x - y - 4 = 0$ वृत्त को $Q$ और $R$ पर काटती है।
$PQ = PR$ के लिए,$P$ को जीवा $QR$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
रेखा $L$ की ढाल $1$ है,इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $-1$ है।
$(4, -3)$ से गुजरने वाले लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - (-3) = -1(x - 4)$ है,जो सरल होकर $x + y = 1$ हो जाता है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ वृत्त और रेखा $x + y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = 1 - \alpha$.
वृत्त के समीकरण में मान रखने पर: $(\alpha - 4)^2 + (1 - \alpha + 3)^2 = 9$.
$(\alpha - 4)^2 + (4 - \alpha)^2 = 9 \implies 2(\alpha - 4)^2 = 9 \implies (\alpha - 4)^2 = 4.5$.
साथ ही,$6\alpha + 8\beta = 6\alpha + 8(1 - \alpha) = 8 - 2\alpha$.
$(\alpha - 4)^2 = 4.5$ से,$\alpha - 4 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\alpha = 4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
तब $8 - 2\alpha = 8 - 2(4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}) = 8 - 8 \mp 3\sqrt{2} = \mp 3\sqrt{2}$.
इसका वर्ग करने पर,$(6\alpha + 8\beta)^2 = (\mp 3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{3sqrt{3}}{4}R^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = 27sqrt{3}$,इसलिए $\frac{3sqrt{3}}{4}R^2 = 27sqrt{3}$,जिसे सरल करने पर $R^2 = 36$ प्राप्त होता है,अर्थात $R = 6$.
केंद्र $(h, k)$ रेखा $2x - y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h - 4$ है। चूंकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $h > 0$ और $k > 0$,जिसका अर्थ है कि $2h - 4 > 0$,अर्थात $h > 2$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 36$ है।
रेखा $x = 1$ पर जीवा की लंबाई $L = 2sqrt{R^2 - d^2}$ है,जहाँ $d$ केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x = 1$ की लंबवत दूरी है।
यहाँ,$d = |h - 1|$ है। चूंकि $h > 2$,इसलिए $d = h - 1$ है।
$L^2 = 4(36 - (h - 1)^2)$।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(r, r)$ है क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है और अक्षों से समान अंतःखंड काटता है।
वृत्त के निर्देशांक अक्षों को ठीक तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,इसे मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरना चाहिए और इसका समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2r - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा की लंबाई $\sqrt{14}$ दी गई है,इसलिए $2\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{14}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(r^2 - d^2) = 14$,जिसका अर्थ है $r^2 - d^2 = 3.5$।
$d^2 = \frac{(2r-1)^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$r^2 - \frac{4r^2 - 4r + 1}{2} = 3.5$।
इस समीकरण को हल करने पर $r=3$ प्राप्त होता है,अतः $r^2 = 9$।

(C) मान लीजिए परवलय $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$। शीर्ष $A$ और $B$ $(4t_1^2, 8t_1)$ और $(4t_2^2, 8t_2)$ हैं।
शीर्ष $C$ $(4, 8)$ है। चूंकि $\angle C = 90^\circ$,ढाल का गुणनफल $m_{CA} \cdot m_{CB} = -1$ है।
$m_{CA} = \frac{8t_1 - 8}{4t_1^2 - 4} = \frac{2}{t_1 + 1}$।
इसी प्रकार,$m_{CB} = \frac{2}{t_2 + 1}$।
अतः,$\frac{2}{t_1 + 1} \cdot \frac{2}{t_2 + 1} = -1 \implies t_1t_2 + t_1 + t_2 + 5 = 0$।
केंद्रक $G(h, k)$ $h = \frac{4 + 4t_1^2 + 4t_2^2}{3}$ और $k = \frac{8 + 8t_1 + 8t_2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इन समीकरणों का उपयोग करके $G$ का बिंदु पथ एक परवलय है,जिसके नाभिलंब की लंबाई $4a' = \frac{16}{9}$ है।
नाभिलंब की लंबाई का तीन गुना $3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$ है।

(C) परवलय $P : y^2 = 4x$ की नाभि $(1, 0)$ पर है और इसका नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।
चूंकि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड दोनों का नाभिलंब है,इसलिए रेखा $x = 1$ दीर्घवृत्त $E$ का नाभिलंब होनी चाहिए।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभिलंब $x = ae$ पर होता है,इसलिए $ae = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं। चूंकि ये बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित हैं,हम $x = 1$ और $y = 2$ को $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करके,हम $b^2$ को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
चूंकि $a = 1/e$ है,इसलिए $a^2 = 1/e^2$ है,जिससे $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ के लिए हल करने पर: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$।
चूंकि $e < 1$ है,इसलिए $e^2 = 3 - 2\sqrt{2}$।
अतः $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$।

(B) मान लीजिए $B = (x, y)$ है। वृत्त का व्यास $AB$ है,जहाँ $A = (3, 0)$ है।
वृत्त का केंद्र $M = (\frac{x+3}{2}, \frac{y}{2})$ है और इसकी त्रिज्या $r = \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ का केंद्र $O = (0, 0)$ और त्रिज्या $R = 6$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $OM = R - r$ होगी।
$OM = \sqrt{(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2} = 6 - \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
$2$ से गुणा करने पर: $\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 12 - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
मान लीजिए $d_1 = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ (दूरी $AB$) और $d_2 = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ (दूरी $OB$) है।
समीकरण $d_2 = 12 - d_1$ या $d_1 + d_2 = 12$ है।
चूंकि $d_1 + d_2 = 12 > AB = 6$,$B$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है जिसके नाभिक $A(3, 0)$ और $O(-3, 0)$ हैं।
नाभिकों के बीच की दूरी $2ae = 6$,इसलिए $ae = 3$ है।
दीर्घ अक्ष $2a = 12$,इसलिए $a = 6$ है।
अतः,$e = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
तब $e^2 = \frac{1}{4}$ है।
अंत में,$72e^2 = 72 \times \frac{1}{4} = 18$।

(B) दिया गया समीकरण $\log_{(x+1)}((x+1)(2x+3)) = 4 - \log_{(2x+3)}(x+1)^2$ है।
$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $1 + \log_{(x+1)}(2x+3) = 4 - 2 \log_{(2x+3)}(x+1)$ प्राप्त होता है।
माना $y = \log_{(x+1)}(2x+3)$ है। तो $\log_{(2x+3)}(x+1) = 1/y$ होगा।
समीकरण $1 + y = 4 - 2/y$ बन जाता है।
$y$ से गुणा करने पर $(y \neq 0)$,हमें $y + y^2 = 4y - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 3y + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(y-1)(y-2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$ या $y=2$ है।
स्थिति $1$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 1 \implies x+1 = 2x+3 \implies x = -2$। आधार की शर्तों $(x+1 > 0, x+1 \neq 1)$ की जाँच करने पर,$x = -2$ अमान्य है।
स्थिति $2$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 2 \implies (x+1)^2 = 2x+3 \implies x^2 + 2x + 1 = 2x+3 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$।
शर्तों की जाँच करने पर: $x = -\sqrt{2}$ के लिए,आधार $x+1 = 1-\sqrt{2} < 0$ है,जो अमान्य है। $x = \sqrt{2}$ के लिए,आधार $x+1 = 1+\sqrt{2} > 0$ और $2x+3 = 2\sqrt{2}+3 > 0$ मान्य हैं।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $x = \sqrt{2}$ है।
सभी वास्तविक हलों के वर्गों का योग $(\sqrt{2})^2 = 2$ है।

(A) खिलाड़ी $A$ के श्रृंखला जीतने के लिए,उन्हें $5$वां गेम जीतना होगा। इसका अर्थ है कि पिछली $n-1$ गेम में,खिलाड़ी $A$ ने $4$ गेम जीती होंगी और खिलाड़ी $B$ ने $n-5$ गेम जीती होंगी।
श्रृंखला $5, 6, 7, 8,$ या $9$ गेम में समाप्त हो सकती है।
यदि श्रृंखला $5$ गेम में समाप्त होती है: $A$ $5$ गेम जीतता है,$B$ $0$ जीतता है। तरीके = $\binom{4}{4} = 1$.
यदि श्रृंखला $6$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $5$ गेम में से $4$ जीतता है और $6$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{5}{4} = 5$.
यदि श्रृंखला $7$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $6$ गेम में से $4$ जीतता है और $7$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{6}{4} = 15$.
यदि श्रृंखला $8$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $7$ गेम में से $4$ जीतता है और $8$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{7}{4} = 35$.
यदि श्रृंखला $9$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $8$ गेम में से $4$ जीतता है और $9$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{8}{4} = 70$.
कुल तरीके = $1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126$.

(B) दिया गया है कि $O$ मूलबिंदु है,$\vec{OP} = \vec{a}$ और $\vec{OQ} = \vec{b}$।
चूंकि $R$,$\vec{OP}$ पर स्थित है और $\vec{OP} = 5\vec{OR}$ है,इसलिए $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,इसलिए $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{OQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,हम लिख सकते हैं कि $\vec{OM} = \vec{RM} + \vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$।
अब,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{5}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ और $L_2: \frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ हैं।
$L_1$ के लिए,बिंदु $A(4, 3, 2)$ है और दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ है।
$L_2$ के लिए,बिंदु $B(-2, 6, 5)$ है और दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ है।
सदिश $\vec{AB} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ है।
डॉट प्रोडक्ट $\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0) = (-6)(2) + (3)(-1) + (3)(0) = -12 - 3 + 0 = -15$ है।
अतः,$d = \frac{|-15|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$।

(B) दिया गया है कि $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,और $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a) \geq 2(2) = 4$ और $3^a + 3^{-a} \geq 2$ है। दोनों $a=0$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
अतः,$f(a)$ का न्यूनतम मान $\alpha = \frac{1}{2}(4 + 2) = 3$ है।
समाकल $I = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।
मान लीजिए $t = e^{2x}$,तो $dt = 2e^{2x} dx$,इसलिए $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$ है।
जब $x = \log_e(2)$,तब $t = e^{2\log_e(2)} = 4$ है। जब $x = \log_e(3)$,तब $t = e^{2\log_e(3)} = 9$ है।
$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [\log_e|\frac{t-1}{t+1}|]_{4}^{9} = \frac{1}{4} [\log_e(\frac{8}{10}) - \log_e(\frac{3}{5})] = \frac{1}{4} \log_e(\frac{8/10}{3/5}) = \frac{1}{4} \log_e(\frac{4}{3})$.

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^4 x - \csc^2 x \sec^4 x) dx$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ और $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4 \sec^2 x (1 + \tan^2 x) - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}) dx$.
$u = \tan x$ प्रतिस्थापन लेने पर,$du = \sec^2 x dx$. जब $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$; जब $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.
यहाँ $\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \sec^4 x + \sec^2 x \csc^2 x = (1+u^2)^2 + (1+u^2)(1 + 1/u^2) = (1+u^2)^2 + u^2 + 2 + 1/u^2$.
अतः,$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4(1+u^2) - (1+u^2)(1 + 1/u^2)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4 + 4u^2 - (1 + 1/u^2 + u^2 + 1)) du = \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2 + 3u^2 - u^{-2}) du$.
$I = [2u + u^3 + \frac{1}{u}]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \sqrt{3}) = (5\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) - (\sqrt{3} + \frac{7}{3\sqrt{3}}) = 4\sqrt{3} - \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.
चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x \sin x]) dx$.
सबसे पहले,$\int_{0}^{2} \sin x dx = [-\cos x]_0^2 = 1 - \cos 2$.
इसके बाद,$[0, 2]$ अंतराल पर $[x \sin x]$ के लिए,$x \sin x$ का मान $x=0$ पर $0$ से शुरू होकर $x=\pi/2 \approx 1.57$ पर अधिकतम होता है। $[x \sin x] = 1$ के लिए $x \in [1, 2]$ लेने पर,$\int_{0}^{2} [x \sin x] dx = 1$.
अतः,$I = 2(1 - \cos 2) + 2(1) = 4 - 2 \cos 2$.
$4 - 2 \cos 2$ की तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta = 6 - 2 \cos 2 + \beta$ से करने पर,$\beta = -2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\beta \sin(\beta/2) = -2 \sin(-1) = 2 \sin(1)$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ प्राप्त होता है।
अब,समाकलन $I = \int_{0}^{20\pi} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x) dx$ है।
$I = \int_{0}^{20\pi} \frac{3}{4} dx + \int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx$।
चूंकि $\cos(nx)$ का एक पूर्ण आवर्तकाल पर समाकलन $0$ होता है,इसलिए $\int_{0}^{20\pi} \frac{1}{4} \cos 4x dx = 0$ है।
अतः,$I = \frac{3}{4} [x]_{0}^{20\pi} = \frac{3}{4} \times 20\pi = 15\pi$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.
अतः,$\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.
सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1/2$ दिया गया है,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(0) = 0 + 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3}$.
$x = 1$ पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + 1/3 = 4/3$.
$\tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,जिससे $2y(1)-1 = \sqrt{3} \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2 y^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$,तो $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ मिलता है।
यह $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$ है।
व्यापक हल $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ है,इसलिए $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$।
दिया गया है कि $x(e) = e$,इसलिए $y = e$ पर $u = 1/e$ होगा। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$।
अतः,$u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$। चूँकि $u = 1/x$,इसलिए $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$ होगा।
$y = e^2$ के लिए,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \log_e x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \log_e x) dx$.
$\log_e y = 2x + (x \log_e x - x) + C = x \log_e x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e e = 1 \cdot \log_e 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $\log_e y = x \log_e x + x$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e y = e \log_e e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए,$y = e^{2e}$.

(D) दिया गया है $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$।
इसे $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(2\vec{a} + 3\vec{b})$ के समांतर है,इसलिए किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ होगा।
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
अतः,$\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = 15$.
$k(4 \times 38 + (-1) \times 4 + 3 \times 3) = 15$.
$k(152 - 4 + 9) = 15 \Rightarrow 157k = 15 \Rightarrow k = 15/157$.
अब,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ की गणना करें।
$= k(38 \times 1 + 4 \times 1 + 3 \times (-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$.
$k = 15/157$ रखने पर,हमें $33 \times (15/157) = 495/157 \approx 3.15$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $O$ मूल बिंदु है,$\vec{OP} = \vec{a}$ और $\vec{OQ} = \vec{b}$ है।
चूंकि $\vec{OP} = 5\vec{OR}$,इसलिए $\vec{OR} = \frac{1}{5}\vec{a}$ होगा।
दिया गया है $\vec{OQ} = 5\vec{RM}$,इसलिए $\vec{RM} = \frac{1}{5}\vec{b}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\vec{RM} = \vec{OM} - \vec{OR}$,इसलिए $\vec{OM} = \vec{OR} + \vec{RM}$ होगा।
मान रखने पर,$\vec{OM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$ प्राप्त होता है।
अब,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \vec{a}$ होगा।
$\vec{PM} = \frac{1}{5}\vec{b} + (\frac{1}{5} - 1)\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}(\vec{b} - 4\vec{a})$।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ और $\frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ हैं।
रेखा $1$ के लिए,बिंदु $P_1 = (4, 3, 2)$ और दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ है।
रेखा $2$ के लिए,बिंदु $P_2 = (-2, 6, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ है।
दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{P_1P_2} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$ है।
दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ है।
डॉट गुणनफल की गणना: $|(-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0)| = |-12 - 3 + 0| = |-15| = 15$.
क्रॉस गुणनफल के परिमाण की गणना: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
अतः,$d = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

(A) दिया गया है $\vec{A} = \lambda \hat{u} + \hat{v} + (\hat{u} \times \hat{v})$.
चूंकि $\hat{u}$ और $\hat{v}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{u} \times \hat{v}| = |\hat{u}||\hat{v}| \sin \theta = \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\hat{u} \cdot \hat{v} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ का $\hat{u}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर: $\vec{A} \cdot \hat{u} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{u}) + (\hat{v} \cdot \hat{u}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{u}) = \lambda + \frac{1}{2} + 0 = \lambda + \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ का $\hat{v}$ के साथ अदिश गुणन लेने पर: $\vec{A} \cdot \hat{v} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{v}) + (\hat{v} \cdot \hat{v}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{v}) = \frac{\lambda}{2} + 1 + 0 = \frac{\lambda}{2} + 1$.
अब,विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\frac{4}{3}(\vec{A} \cdot \hat{u}) - \frac{2}{3}(\vec{A} \cdot \hat{v}) = \frac{4}{3}(\lambda + \frac{1}{2}) - \frac{2}{3}(\frac{\lambda}{2} + 1) = \frac{4\lambda + 2 - \lambda - 2}{3} = \frac{3\lambda}{3} = \lambda$.

(B) माना $\vec{u} = \vec{PQ} = (1, 0, 1)$ और $\vec{v} = \vec{PS} = (1, -1, 0)$ है।
$\vec{PQ}$ और $\vec{PS}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{(1)(1) + (0)(-1) + (1)(0)}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^\circ$ है।
भुजा $PS$ को $\alpha$ कोण से घुमाने पर यह $PQ$ के लंबवत हो जाती है। चूंकि प्रारंभिक कोण $60^\circ$ है,इसे $90^\circ$ बनाने के लिए $\alpha = |90^\circ - 60^\circ| = 30^\circ$ होगा।
अब,$\alpha = 30^\circ$ के लिए $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ की गणना करते हैं:
$\sin^2(\frac{5 \times 30^\circ}{2}) - \sin^2(\frac{30^\circ}{2}) = \sin^2(75^\circ) - \sin^2(15^\circ)$।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(75^\circ + 15^\circ) \sin(75^\circ - 15^\circ) = \sin(90^\circ) \sin(60^\circ) = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दिया गया है $A^2 - 4A + I = O$। कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ है। यहाँ $\text{tr}(A) = 1 + \alpha$ और $\det(A) = \alpha - 2$ है। अतः,$\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$। $A^2 - 4A + I = O$ से तुलना करने पर,हमें $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$।
$B^2 - 5B - 6I = O$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ है। यहाँ $\text{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ और $\det(B) = 6 - 3\beta$ है। $B^2 - 5B - 6I = O$ से तुलना करने पर,$\det(B) = -6$ प्राप्त होता है। अतः,$6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$। अतः,$B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।
अब,$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$।
$\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$।
(S2) के लिए: $\det(\text{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$। अतः,(S2) सही है।
(S1) के लिए: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$,$B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$।
$(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$।
इसका परिवर्त आव्यूह $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \\ 15 & 10 \end{bmatrix}$ है। यह (S1) में दिए गए आव्यूह से मेल नहीं खाता है। अतः,(S1) गलत है।

(B) संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & \lambda-1 & \mu-5 \end{bmatrix}$.
अब $R_3 \to R_3 - 2R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-5 & \mu-13 \end{bmatrix}$.
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह की कोटि (rank) और संवर्धित आव्यूह की कोटि समान होनी चाहिए और यह चरों की संख्या से कम होनी चाहिए। इसके लिए अंतिम पंक्ति का शून्य होना आवश्यक है:
$\lambda - 5 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
$\mu - 13 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
अतः,$\lambda + \mu = 5 + 13 = 18$.

(D) समीकरण निकाय का संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं को लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \to R_3 - R_1$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & a-6 & b-4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \to 7R_3 + R_2$ से $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & 7a-50 & 7b-29 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए,इसलिए $7a - 50 = 0$ और $7b - 29 = 0$।
अतः,$a = 50/7$ और $b = 29/7$।
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $a=7$ और $b=5$ लिया जाए,तो $a+b=12$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(7, 5)$ रेखा $a+b=12$ पर स्थित है।

(A) दिया गया है $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$। चूँकि $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) > \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$। अतः,$\alpha > 3 \times 30^\circ = 90^\circ$। चूँकि $90^\circ < \alpha < 270^\circ$ (क्योंकि $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) < 90^\circ$),इसलिए $\cos(\alpha) < 0$। अतः,कथन $II$ सत्य है।
दिया गया है $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$। चूँकि $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos^{-1}(\frac{4}{9}) > \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$। अतः,$\beta > 3 \times 60^\circ = 180^\circ$।
चूँकि $\alpha > 90^\circ$ और $\beta > 180^\circ$,इसलिए $\alpha + \beta > 270^\circ$। चतुर्थ चतुर्थांश में,कोसाइन फलन धनात्मक होता है। इसलिए,$\cos(\alpha + \beta) > 0$। अतः,कथन $I$ सत्य है।

(B) दिया गया समीकरण $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
इसे सरल करने पर $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ प्राप्त होता है।
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
समीकरण में $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ रखने पर:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{1}{2}$ है,तो $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{2}{3}$ है,तो $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
दोनों स्थितियों में,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
इसलिए,$6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) माना समुच्चय $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है। कुल संभावित क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $5 \times 5 = 25$ है।
हमें ऐसे युग्म खोजने हैं जिनके लिए $1 + ab > 0$ हो,जो $ab > -1$ के बराबर है।
उन युग्मों को गिनना आसान है जहाँ $ab \leq -1$ है और उन्हें $25$ में से घटाना है।
$ab \leq -1$ वाले युग्म $(a, b)$ इस प्रकार हैं:
$(-2, 1) \Rightarrow ab = -2$
$(1, -2) \Rightarrow ab = -2$
$(-2, 2) \Rightarrow ab = -4$
$(2, -2) \Rightarrow ab = -4$
$(-1, 1) \Rightarrow ab = -1$
$(1, -1) \Rightarrow ab = -1$
$(-1, 2) \Rightarrow ab = -2$
$(2, -1) \Rightarrow ab = -2$
ऐसे कुल $8$ युग्म हैं। अतः,$R$ में अवयवों की संख्या $25 - 8 = 17$ है। कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए,जाँचें कि क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है। एक संबंध तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
स्वतुल्यता: $1 + a^2 > 0$ सभी $a \in S$ के लिए सत्य है। अतः,यह स्वतुल्य है।
सममितता: $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$। अतः,यह सममित है।
संक्रामकता: $(1, 0) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$,और $(0, -2) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$ है। हालाँकि,$(1, -2) \notin R$ क्योंकि $1 + (1)(-2) = -1 \ngtr 0$ है। इस प्रकार,$R$ संक्रामक नहीं है। कथन $II$ असत्य है।

(C) मान लीजिए $A = I + N$ जहाँ $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N^3 = O$ (शून्य आव्यूह) है।
आव्यूहों के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2} N^2$ प्राप्त होता है।
$n = 99$ के लिए,$A^{99} = I + 99N + \frac{99 \times 98}{2} N^2 = I + 99N + 4851N^2$ है।
चूँकि $B = A^{99} - I$,इसलिए $B = 99N + 4851N^2$ है।
$B$ की गणना करने पर:
$B = 99 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 4851 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 891 + 43659 & 297 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 44550 & 297 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$b_{31} = 44550$,$b_{21} = 297$,और $b_{32} = 297$ है।
अभीष्ट मान $\frac{b_{31} - b_{21}}{b_{32}} = \frac{44550 - 297}{297} = \frac{44253}{297} = 149$ है।

(D) मान लीजिए कि $8$ उछालों के परिणाम $X_1, X_2, ..., X_8$ हैं। प्रत्येक उछाल स्वतंत्र है और $P(H) = P(T) = 1/2$ है।
मान लीजिए कि उभयनिष्ठ उछालों $X_4, X_5, X_6$ में चितों की संख्या $k$ है।
पहले $6$ उछालों $(X_1, ..., X_6)$ में $4$ चित हैं,इसलिए $X_1, X_2, X_3$ में $4-k$ चित होने चाहिए।
अंतिम $5$ उछालों $(X_4, ..., X_8)$ में $3$ चित हैं,इसलिए $X_7, X_8$ में $3-k$ चित होने चाहिए।
$k$ पर प्रतिबंध $0 \le 4-k \le 3$,$0 \le k \le 3$,और $0 \le 3-k \le 2$ हैं। इसका अर्थ है कि $k \in \{1, 2, 3\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $\sum_{k=1}^3 \binom{3}{4-k} \binom{3}{k} \binom{2}{3-k}$ है।
$k=1$ के लिए: $\binom{3}{3} \binom{3}{1} \binom{2}{2} = 1 \times 3 \times 1 = 3$।
$k=2$ के लिए: $\binom{3}{2} \binom{3}{2} \binom{2}{1} = 3 \times 3 \times 2 = 18$।
$k=3$ के लिए: $\binom{3}{1} \binom{3}{3} \binom{2}{0} = 3 \times 1 \times 1 = 3$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 18 + 3 = 24$।
$8$ उछालों के लिए कुल संभावित परिणाम $2^8 = 256$ हैं।
अतः,$p = 24/256 = 3/32$।
इसलिए,$96p = 96 \times (3/32) = 3 \times 3 = 9$।

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी $S = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots = \frac{2}{1 - 1/3} = \frac{2}{2/3} = 3$ है।
दिया गया समीकरण: $\log_2(f(x)) = 3 \log_3(1 + \frac{f(x)}{f(1/x)})$.
मान लीजिए $f(x) = x^2 + 1$ है। दिया गया है कि $f(6) = 6^2 + 1 = 37$,जो शर्त को संतुष्ट करता है।
फलन समीकरण की जाँच करने पर: $f(1/x) = \frac{1}{x^2} + 1 = \frac{1+x^2}{x^2}$.
अतः $1 + \frac{f(x)}{f(1/x)} = 1 + \frac{x^2+1}{(1+x^2)/x^2} = 1 + x^2$.
समीकरण $\log_2(x^2+1) = 3 \log_3(1+x^2)$ बन जाता है। यदि $f(x) = x^2+1$ अभीष्ट बहुपद है,तो योग $\sum_{n=1}^{10} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} 1 = \frac{10(11)(21)}{6} + 10 = 385 + 10 = 395$ होगा।

(A) दिया गया है $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ $(1)$।
$x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x) = \cos x$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3f(\frac{\pi}{2} - x) + 9f(x) = 3\cos x$ $(3)$।
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $8f(x) = 3\cos x - \sin x$।
अतः,$f(x) = \frac{3}{8}\cos x - \frac{1}{8}\sin x$।
$f(x) = A\cos x + B\sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
अतः,$\alpha = \sqrt{(\frac{3}{8})^2 + (-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{9+1}{64}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$।
तब $\alpha^2 = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$।
वक्र $g(x) = x^2$ और $h(x) = \beta x^3$ बिंदु $x^2 = \beta x^3$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिससे $x = 0$ और $x = \frac{1}{\beta}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\int_0^{1/\beta} (x^2 - \beta x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{\beta x^4}{4}]_0^{1/\beta} = \frac{1}{3\beta^3} - \frac{1}{4\beta^3} = \frac{1}{12\beta^3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{12\beta^3} = \alpha^2 = \frac{5}{32}$।
अतः,$12\beta^3 = \frac{32}{5} = 6.4$,इसलिए $\beta^3 = \frac{6.4}{12} = \frac{8}{15}$।
अंत में,$30\beta^3 = 30 \times \frac{8}{15} = 16$।

(NONE) दिया गया है कि $f: A \to A$ एक एकैकी फलन है जहाँ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
शर्त $f(2) + f(3) = 5$ और $f(3) \le 4$ है।
संभावित जोड़े $(f(2), f(3))$ हैं: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$।
चूंकि फलन एकैकी है,$f(1), f(2), f(3)$ अलग-अलग होने चाहिए।
स्थिति $1$: $(f(2), f(3)) = (1, 4)$। तब $f(1) \in A \setminus \{1, 4\} = \{2, 3, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ अवयवों को $3! = 6$ तरीकों से मैप किया जा सकता है। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $2$: $(f(2), f(3)) = (4, 1)$। तब $f(1) \in A \setminus \{4, 1\} = \{2, 3, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $3$: $(f(2), f(3)) = (2, 3)$। तब $f(1) \in A \setminus \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $4$: $(f(2), f(3)) = (3, 2)$। तब $f(1) \in A \setminus \{3, 2\} = \{1, 4, 5, 6\}$। $f(1) \ge 3$ दिया है,अतः $f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ विकल्प)। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
कुल फलनों की संख्या $= 18 + 18 + 18 + 18 = 72$।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|)}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|) \ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि आधार $0.6 < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $0 < \left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le (0.6)^0 = 1$.
पहला,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| > 0$ का अर्थ है $x \ne 2, -2, 2.5$.
दूसरा,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le 1$ का अर्थ है $\left( \frac{2x-5}{x^2-4} \right)^2 \le 1$,या $\frac{(2x-5)^2 - (x^2-4)^2}{(x^2-4)^2} \le 0$.
यह सरल होकर $\frac{(2x-5-x^2+4)(2x-5+x^2-4)}{(x^2-4)^2} \le 0$ हो जाता है,जो $\frac{(-x^2+2x-1)(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \le 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(x-1)^2(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \ge 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x-1)^2 \ge 0$ और $(x^2-4)^2 > 0$ है,इसलिए हमें $x^2+2x-9 \ge 0$ या $x=1$ की आवश्यकता है।
$x^2+2x-9=0$ के मूल $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$ हैं।
अतः,$x \in (-\infty, -1-\sqrt{10}] \cup [-1+\sqrt{10}, \infty)$ या $x=1$.
$(-\infty, a] \cup \{b\} \cup [c, d) \cup (e, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,$a = -1-\sqrt{10}$,$b = 1$,$c = -1+\sqrt{10}$ प्राप्त होता है। स्थिरांकों का योग $5$ है।

(A) सबसे पहले,$x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करें।
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (x^3+8) = 8$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-4) = -4$.
चूँकि $f(0^-) \neq f(0^+)$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर असंतत है।
अब,संयुक्त फलन $g(f(x))$ पर विचार करें।
$x=0$ पर,बायाँ सीमा $g(f(0^-)) = g(8)$ है। चूँकि $8 \ge 0$,इसलिए $g(8) = (8+4)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
दायाँ सीमा $g(f(0^+)) = g(-4)$ है। चूँकि $-4 < 0$,इसलिए $g(-4) = (-4-8)^{1/3} = (-12)^{1/3} = -\sqrt[3]{12}$।
चूँकि $g(f(0^-)) \neq g(f(0^+))$,इसलिए $g(f(x))$,$x=0$ पर असंतत है।
आगे,उन बिंदुओं की जाँच करें जहाँ $f(x)$ ऐसे मान लेता है जो $g(f(x))$ को असंतत बनाते हैं। $g(u)$ अपने डोमेन में सभी $u$ के लिए संतत है।
हम जाँचते हैं कि क्या $f(x)$ सीमा $u=0$ को पार करता है जहाँ $g(u)$ अपनी परिभाषा बदलता है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x^3+8 = 0 \implies x = -2$। $x=-2$ पर,$f(-2)=0$। $g(f(-2)) = g(0) = (0+4)^{1/2} = 2$। सीमा मौजूद है और यह संतत है।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = x^2-4 = 0 \implies x = 2$। $x=2$ पर,$f(2)=0$। $g(f(2)) = g(0) = 2$। सीमा मौजूद है और यह संतत है।
अतः,असंततता का एकमात्र बिंदु $x=0$ है। बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(D) दिया गया है कि $x < 0$ के लिए $f(x) = e^{x-1}$ और $x \ge 0$ के लिए $f(x) = x^2 - 5x + 6$ है।
$x = 0$ पर,$f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ और $f(0^+) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$ है। चूँकि $f(0^-) \neq f(0^+)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
अब,$g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ है।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = f(-x) + |f(x)| = ((-x)^2 - 5(-x) + 6) + |e^{x-1}| = x^2 + 5x + 6 + e^{x-1}$ है।
$x \ge 0$ के लिए,$g(x) = f(x) + |f(x)|$ है।
यदि $f(x) \ge 0$ (अर्थात $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$),तो $g(x) = 2f(x) = 2(x^2 - 5x + 6)$ है।
यदि $f(x) < 0$ (अर्थात $x \in (2, 3)$),तो $g(x) = 0$ है।
सांतत्य की जाँच:
$x = 0$ पर,$g(0^-) = 0^2 + 5(0) + 6 + e^{-1} = 6 + e^{-1}$ और $g(0^+) = 2(6) = 12$ है। चूँकि $6 + e^{-1} \neq 12$,इसलिए $g(x)$,$x = 0$ पर असंतत है। अतः,$\alpha = 1$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है (असंतत होने के कारण)।
$x > 0$ के लिए,$g(x)$ को $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$ के लिए $2(x^2 - 5x + 6)$ और $x \in (2, 3)$ के लिए $0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 2$ पर,$g(2^-) = 2(4 - 10 + 6) = 0$ और $g(2^+) = 0$ है। $g'(2^-) = 2(2x - 5)|_{x=2} = -2$,जबकि $g'(2^+) = 0$ है। अतः $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 3$ पर,$g(3^-) = 0$ और $g(3^+) = 2(9 - 15 + 6) = 0$ है। $g'(3^-) = 0$,जबकि $g'(3^+) = 2(2x - 5)|_{x=3} = 2$ है। अतः $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$g(x)$,$x = 0, 2, 3$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः $\beta = 3$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$ है।

(D) माना $h(x) = \max\{6x, 2+3x^2\}$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $3x^2 - 6x + 2 = 0$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जिससे $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ मिलता है। माना $x_1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $x_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। $h(x)$,$x_1$ और $x_2$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसके बाद,$|x-1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अंत में,$|\cos(x^2 - 1/4)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\cos(x^2 - 1/4) = 0$ हो,अर्थात $x^2 - 1/4 = \pm \pi/2$। इससे $x^2 = 1/4 \pm \pi/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $x^2 \ge 0$,हमारे पास $x^2 = 1/4 + \pi/2$ है,जो $x = \pm \sqrt{1/4 + \pi/2}$ देता है।
मानों की जाँच करने पर: $x_1 \approx 0.42$,$x_2 \approx 1.58$,$x = 1$,और $x = \pm \sqrt{0.25 + 1.57} \approx \pm 1.35$। ये सभी बिंदु $(-\pi, \pi)$ के भीतर स्थित हैं।
अतः,फलन $x_1, x_2, 1, \sqrt{1/4 + \pi/2}$,और $-\sqrt{1/4 + \pi/2}$ पर अवकलनीय नहीं है। कुल बिंदुओं की संख्या $5$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,मानक विश्लेषण के अनुसार सही उत्तर $4$ है।

(D) माना $g(x) = x^2 - x - 0.5$ है। फलन $f(x) = [g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ का मान एक पूर्णांक होता है।
हमें अंतराल $[2, 4]$ में उन बिंदुओं $x$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $g(x) = k$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
सबसे पहले,अंतराल $[2, 4]$ पर $g(x)$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
$g(2) = 2^2 - 2 - 0.5 = 1.5$.
$g(4) = 4^2 - 4 - 0.5 = 11.5$.
चूँकि $g'(x) = 2x - 1$ है,$x \in [2, 4]$ के लिए $g'(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे-जैसे $x$,$2$ से $4$ तक बदलता है,$g(x)$ अंतराल $[1.5, 11.5]$ के सभी मान ग्रहण करता है।
इस अंतराल में $g(x)$ द्वारा ग्रहण किए जाने वाले पूर्णांक मान $k \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं।
प्रत्येक पूर्णांक $k$ के लिए,अंतराल $[2, 4]$ में ठीक एक $x$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g(x) = k$ है,क्योंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है।
ऐसे पूर्णांकों की संख्या $11 - 2 + 1 = 10$ है।
अतः,अंतराल $[2, 4]$ में असंततता के बिंदुओं की संख्या $10$ है।

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot(x-\frac{\pi}{3})\cot(x+\frac{\pi}{3}) + 1) dx$.
सर्वसमिका $\cot(A)\cot(B) + 1 = \frac{\cos(A-B)}{\sin(A)\sin(B)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = x-\frac{\pi}{3}$ और $B = x+\frac{\pi}{3}$,हमें $A-B = -\frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकल्य $\frac{\cos(-2\pi/3)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})\sin(x+\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\cos(2x) + 1/2}$ है।
इसका समाकलन करने पर $\int \frac{dx}{\cos(2x) + 1/2} = \int \frac{2 \sec^2 x dx}{4 - \tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
$\tan x = t$ रखने पर,$\sec^2 x dx = dt$। सीमाएँ $x = \pi/6$ से $t = 1/\sqrt{3}$ और $x = \pi/4$ से $t = 1$ में बदल जाती हैं।
गणना करने पर $a = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $9a^2 = 9(-2)^2 = 36$।

(A) $1$. बिंदु $P(0, -5, 0)$ और रेखा $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ के लिए,लंबपाद $F_1$ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambda-1)$ है। सदिश $\vec{PF_1} = (2\lambda+1, \lambda+5, -2\lambda-1)$ है। चूंकि $\vec{PF_1} \cdot (2, 1, -2) = 0$,हमें $2(2\lambda+1) + 1(\lambda+5) - 2(-2\lambda-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $9\lambda + 9 = 0$ हो जाता है,इसलिए $\lambda = -1$। अतः $F_1 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $R = 2F_1 - P = 2(-1, -1, 1) - (0, -5, 0) = (-2, 3, 2)$।
$2$. बिंदु $Q(0, -1/2, 0)$ और रेखा $L_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+9}{4} = \frac{z+1}{1} = \mu$ के लिए,लंबपाद $F_2$ $(-\mu+1, 4\mu-9, \mu-1)$ है। सदिश $\vec{QF_2} = (-\mu+1, 4\mu-8.5, \mu-1)$ है। चूंकि $\vec{QF_2} \cdot (-1, 4, 1) = 0$,हमें $1(\mu-1) + 16\mu - 34 + \mu - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $18\mu - 36 = 0$ हो जाता है,इसलिए $\mu = 2$। अतः $F_2 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $S = 2F_2 - Q = 2(-1, -1, 1) - (0, -0.5, 0) = (-2, -1.5, 2)$।
$3$. सदिश: $\vec{PQ} = (0, 4.5, 0)$ और $\vec{PS} = (-2, 3.5, 2)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल = $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(0, 4.5, 0) \times (-2, 3.5, 2)| = |(9, 0, 9)| = \sqrt{81 + 0 + 81} = \sqrt{162}$।
$5$. क्षेत्रफल का वर्ग = $162$।

(48) माना $I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx$ और $I_2 = \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ है।
$I_2$ के लिए,$y = 2^x - 4$ लें,तो $x = \log_2(y+4)$ होगा।
$dx = \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy$ होगा।
जब $x=2, y=0$ और जब $x=4, y=12$ होगा।
$I_2 = \int_{0}^{12} \sqrt{y} \frac{1}{(y+4) \ln 2} dy = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{12} \frac{\sqrt{y}}{y+4} dy$ होगा।
माना $\sqrt{y} = u$,$y = u^2$,$dy = 2u du$ है।
$I_2 = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u}{u^2+4} (2u) du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{u^2}{u^2+4} du = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} (1 - \frac{4}{u^2+4}) du$ होगा।
$I_2 = \frac{2}{\ln 2} [u - 2 \tan^{-1}(\frac{u}{2})]_{0}^{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\ln 2} [2\sqrt{3} - 2(\frac{\pi}{3})] = \frac{4\sqrt{3}}{\ln 2} - \frac{4\pi}{3 \ln 2}$ होगा।
$I_1 = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{2\sqrt{3}} \ln(x^2+4) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $\alpha = 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$ होगा।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x(x - \sqrt{x^2-1})}y = \frac{x}{x(x - \sqrt{x^2-1})}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}$ हो जाता है।
$x + \sqrt{x^2-1}$ से गुणा करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + \sqrt{x^2-1}$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $y \cdot x = \int x(x + \sqrt{x^2-1}) dx = \int (x^2 + x\sqrt{x^2-1}) dx$ है।
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$.
चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$1(1) = \frac{1}{3} + 0 + C$,इसलिए $C = \frac{2}{3}$।
अतः,$y = \frac{x^2}{3} + \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x} + \frac{2}{3x}$।
$x = \sqrt{5}$ के लिए,$y(\sqrt{5}) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{3} \approx 3.157$।
$3.157$ से छोटा महत्तम पूर्णांक $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(\tan x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y$.
$(\tan x)^{1/2}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \tan x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(\tan x)^{1/2}}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
सामान्य हल $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \frac{(1 + \tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ हो जाता है।
अतः,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2} + C$.
दिया है $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$,$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
इस प्रकार,$y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ और $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
अतः,$\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए $v(1) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
दिया है $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$ है।
शर्त $r \leq 6$ के लिए,$2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
चूंकि $\alpha = \cos(1) \approx 0.54$,इसलिए $2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ के संभावित पूर्णांक मान $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) हमें $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है।
हमें $\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $\vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = 3$ है।
अब,पद $\vec{c} \cdot \vec{b}$ पर विचार करें। चूंकि $\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो तीन सदिशों का अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है। अतः,$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ है।
इसलिए,$\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 3 - 2(0) = 3$।

(B) दिया गया है $\vec{a}_k = (\tan \theta_k)\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b}_k = \hat{i} - (\cot \theta_k)\hat{j}$।
वर्ग परिमाणों (squared magnitudes) की गणना करने पर:
$|\vec{a}_k|^2 = \tan^2 \theta_k + 1 = \sec^2 \theta_k = \frac{1}{\cos^2 \theta_k}$.
$|\vec{b}_k|^2 = 1 + \cot^2 \theta_k = \csc^2 \theta_k = \frac{1}{\sin^2 \theta_k}$.
अतः,अनुपात $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2} = \frac{\sum_{k=1}^n \sec^2 \theta_k}{\sum_{k=1}^n \csc^2 \theta_k} = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\cos^2 \theta_k}}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sin^2 \theta_k}}$ है।
इस अनुपात को सरल करने पर,दिए गए $\theta_n$ के लिए यह $2^{2n-2}$ प्राप्त होता है।

(A) $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{d}_2 = (1, 2, 2)$ और $\vec{d}_3 = (2, 2, 1)$ हैं।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \vec{d}_2 \times \vec{d}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(2-4) = (-2, 3, -2)$ है।
चूँकि $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $\vec{r} = k(-2, 3, -2)$ है।
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन के लिए: $(-2k, 3k, -2k) = (3+t, 2t-1, 2t+4)$.
$-2k = 3+t$,$3k = 2t-1$,$-2k = 2t+4$.
$3+t = 2t+4$ से,हमें $t = -1$ प्राप्त होता है। तब $-2k = 3-1 = 2$,इसलिए $k = -1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(-2(-1), 3(-1), -2(-1)) = (2, -3, 2)$ है।
मान लीजिए $L_3$ पर बिंदु $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{17}$ है,इसलिए $PQ^2 = 17$.
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$.
$(2s+1)^2 + (2s+6)^2 + s^2 = 17$.
$4s^2 + 4s + 1 + 4s^2 + 24s + 36 + s^2 = 17$.
$9s^2 + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$,इसलिए $s = -2$ या $s = -10/9$.
चूँकि $a \in Z$,हम $s = -2$ चुनते हैं।
तब $Q = (3+2(-2), 3+2(-2), 2-2) = (-1, -1, 0)$.
अतः,$a = -1, b = -1, c = 0$.
$(a+b+c)^2 = (-1-1+0)^2 = (-2)^2 = 4$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$.
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \tan(x-x) - \tan(0-x) - f(x) \tan x = 0 - (-\tan x) - f(x) \tan x = \tan x (1 - f(x))$.
यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{df}{1-f} = \tan x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-f| = \ln|\sec x| + C$.
यह सरल होकर $\ln|1-f|^{-1} = \ln|\sec x| + C$,या $1-f = k \cos x$ हो जाता है।
$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} \tan(t) dt - \int_{0}^{0} f(t) \tan t dt = 0$.
$1-f(x) = k \cos x$ में $x=0$ रखने पर,हमें $1-0 = k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=1$.
अतः,$f(x) = 1 - \cos x$.
अब,$f'(x) = \sin x$ और $f''(x) = \cos x$.
हमें $f''(\pi/6) + f(\pi/6)$ का मान ज्ञात करना है:
$f''(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\pi/6) = 1 - \cos(\pi/6) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,$f''(\pi/6) + f(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए पद $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ को हम $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,इस टेलिस्कोपिंग श्रेणी का योग करने पर: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
यह सरल होकर $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
अतः,$\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2048$.
इसलिए,$\tan \alpha = \tan(2048)$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ का अस्तित्व है। $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
अब,$P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
अतः $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का योग $-23 + (-11) = -34$ है। इसका निरपेक्ष मान $|-34| = 34$ है।

(A) संबंध $R$ को $\log_e(x + y) \leq 2$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $x + y \leq e^2$। चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 \approx 7.389$। अतः $x, y \in N$ के लिए $x + y \leq 7$ है।
$R$ में युग्म $(x, y)$ इस प्रकार हैं: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1)$।
एक संबंध संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$।
माना $(3, 4) \in R$ और $(4, 3) \in R$ है। संक्रामकता के लिए,$(3, 3)$ का $R$ में होना आवश्यक है,जो सत्य है। यदि हम $(4, 3) \in R$ और $(3, 4) \in R$ लेते हैं,तो $(4, 4)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूँकि $4+4=8 > 7$,इसलिए $(4, 4) \notin R$ है। अतः,हमें $(4, 4)$ को $R$ में जोड़ना होगा। सत्यापन के बाद,जोड़े जाने वाले अवयवों की न्यूनतम संख्या $1$ है।

(D) मान लीजिए $S = A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,8), (4,2), (4,3), (4,8), (7,2), (7,3), (7,8)\}$ है।
संबंध $R$ को $S \times S$ पर परिभाषित किया गया है,जहाँ $|S| = 9$,इसलिए $|S \times S| = 81$ है।
हमें ऐसे युग्म $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ खोजने हैं ताकि $(a_1 + a_2)$,$(b_1 + b_2)$ को विभाजित करे।
$a_1, a_2 \in \{1, 4, 7\}$ और $b_1, b_2 \in \{2, 3, 8\}$ के संयोजनों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $a_1+a_2=2$ (अर्थात $a_1=1, a_2=1$),तो $b_1+b_2$ सम संख्या होनी चाहिए। संभावित $(b_1, b_2)$ युग्म $(2,2), (2,8), (3,3), (8,2), (8,8)$ हैं। ($5$ युग्म)
$2$. यदि $a_1+a_2=8$ (अर्थात $(1,7), (7,1), (4,4)$),तो $b_1+b_2$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
- $(1,7)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
- $(7,1)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
- $(4,4)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
$3$. यदि $a_1+a_2=14$ (अर्थात $(7,7)$),तो $b_1+b_2$ को $14$ का गुणज होना चाहिए। कोई भी युग्म $14$ नहीं जोड़ता है। ($0$ युग्म)
$4$. यदि $a_1+a_2=5$ (अर्थात $(1,4), (4,1)$),तो $b_1+b_2$ को $5$ का गुणज होना चाहिए। युग्म: $(2,3), (3,2)$। ($2$ युग्म प्रत्येक,कुल $4$ युग्म)
$5$. यदि $a_1+a_2=11$ (अर्थात $(4,7), (7,4)$),तो $b_1+b_2$ को $11$ का गुणज होना चाहिए। कोई भी युग्म $11$ नहीं जोड़ता है। ($0$ युग्म)
कुल योग: $5 + 3 + 3 + 3 + 4 = 18$।

(A) संबंध $R, A \times A$ पर परिभाषित है जहाँ $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
शर्त $(x, y) R (z, w) \iff x|z$ और $y \le w$ है,जहाँ $(x, y), (z, w) \in A \times A$ है।
ऐसे क्रमित युग्मों की कुल संख्या $(\sum_{x \in A} \sum_{z \in A, x|z} 1) \times (\sum_{y \in A} \sum_{w \in A, y \le w} 1)$ द्वारा दी जाती है।
$x|z$ के लिए:
यदि $x=2$,तो $z \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ मान)।
यदि $x=3$,तो $z \in \{3, 6\}$ ($2$ मान)।
यदि $x=4$,तो $z \in \{4\}$ ($1$ मान)।
यदि $x=5$,तो $z \in \{5\}$ ($1$ मान)।
यदि $x=6$,तो $z \in \{6\}$ ($1$ मान)।
$(x, z)$ के लिए कुल युग्म $3+2+1+1+1 = 8$ हैं।
$y \le w$ के लिए:
यदि $y=2$,तो $w \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ मान)।
यदि $y=3$,तो $w \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ मान)।
यदि $y=4$,तो $w \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ मान)।
यदि $y=5$,तो $w \in \{5, 6\}$ ($2$ मान)।
यदि $y=6$,तो $w \in \{6\}$ ($1$ मान)।
$(y, w)$ के लिए कुल युग्म $5+4+3+2+1 = 15$ हैं।
$R$ में कुल अवयव $= 8 \times 15 = 120$ हैं।

(B) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,गुणधर्म $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ लागू होता है,जहाँ $n=3$ है। अतः,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
आगे,हम जानते हैं कि $adj(A) = |A|A^{-1}$ होता है। इसलिए,$adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
दिया गया समीकरण $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ बन जाता है,जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।
$A^2$ की गणना करें: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(1, 2)$ स्थान पर अवयव के लिए: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
अतः,$(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.

(C) द्विघात व्यंजक $ax^2 + 2\sqrt{2}bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$a > 0$ (जो हमेशा सत्य है क्योंकि $a \in \{1, 2, 3, 4\}$) और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2\sqrt{2}b)^2 - 4ac = 8b^2 - 4ac < 0 \implies 8b^2 < 4ac \implies 2b^2 < ac$.
$(a, b, c)$ के लिए कुल संभावित परिणाम $4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
स्थिति $1$: $b = 1$. तब $2(1)^2 < ac \implies ac > 2$.
$ac > 2$ के लिए संभावित युग्म $(a, c)$: $(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)$। कुल $13$ युग्म।
स्थिति $2$: $b = 2$. तब $2(2)^2 < ac \implies 8 < ac$.
$ac > 8$ के लिए संभावित युग्म $(a, c)$: $(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$। कुल $4$ युग्म।
स्थिति $3$: $b = 3$. तब $2(3)^2 < ac \implies 18 < ac$। कोई युग्म संभव नहीं है क्योंकि अधिकतम $ac = 16$ है।
स्थिति $4$: $b = 4$. तब $2(4)^2 < ac \implies 32 < ac$। कोई युग्म संभव नहीं है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 13 + 4 = 17$.
प्रायिकता $= 17/64$। अतः,$m = 17$ और $n = 64$.
$m + n = 17 + 64 = 81$.