(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.. | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$,और $n = 1001$ पद हैं।योग सूत्र $S = a \

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${}^{1002}C_{500}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$,और $n = 1001$ पद हैं।योग सूत्र $S = a \frac{1-r^n}{1-r}$ का उपयोग करने पर:$S = (1+x)^{1000} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{1001}}{1-\frac{x}{1+x}}$$S = (1+x)^{1001} - x^{1001}$$x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग:$(1+x)^{1001}$ में $x^{499}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{499}$ है और $x^{500}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{500}$ है।अतः,अभीष्ट योग ${}^{1001}C_{499} + {}^{1001}C_{500} = {}^{1002}C_{500}$ है।

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?

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