मान लीजिए f(x)=lim _{theta rightarrow 0}left( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/	heta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/	heta)}(x-1)}$.स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे

Vedclass · Accepted Answer

न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/	heta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/	heta)}(x-1)}$.स्थिति $1$: $|x| स्थिति $2$: $|x| > 1$. जैसे $	heta ightarrow 0$,$x^{(2/	heta)} ightarrow \infty$. अंश और हर को $x^{(2/	heta)}$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x ightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x ightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. चूँकि $LHL = RHL = f(1) = -1$,$f(x)$,$x=1$ पर संतत है। कथन $(I)$ असत्य है।$x=-1$ पर: $LHL = \lim_{x ightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x ightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. चूँकि $LHL 
eq RHL$,$f(x)$,$x=-1$ पर असंतत है। कथन $(II)$ असत्य है।अतः,न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

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$f$ के सभी असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$

फलन $f(x) = \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x}$,$x=0$ पर परिभाषित नहीं है। $x=0$ पर $f$ का मान क्या होना चाहिए ताकि यह $x=0$ पर सतत (continuous) हो?

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