JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) यहाँ $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,सरलीकरण के बाद $m^{10} = 49^{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 49$।

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $S_4 = 6$,अतः $\frac{4}{2}(2a + 3d) = 6 \Rightarrow 2a + 3d = 3$ .... $(1)$
दिया है $S_6 = 4$,अतः $\frac{6}{2}(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 3(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 2a + 5d = \frac{4}{3}$ .... $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(2a + 5d) - (2a + 3d) = \frac{4}{3} - 3$
$2d = \frac{4-9}{3} = -\frac{5}{3} \Rightarrow d = -\frac{5}{6}$
$d$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$2a + 3(-\frac{5}{6}) = 3$ $\Rightarrow 2a - \frac{5}{2} = 3$ $\Rightarrow 2a = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow a = \frac{11}{4}$
अब,$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11d) = 6(2(\frac{11}{4}) + 11(-\frac{5}{6}))$
$S_{12} = 6(\frac{11}{2} - \frac{55}{6}) = 6(\frac{33-55}{6}) = 33 - 55 = -22$

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 12$,अतः $a = 3$ है। परवलय पर स्थित बिंदु $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ और $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ हैं।
चूंकि जीवा $P_{1}P_{2}$ शीर्ष $(0, 0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP_{1}$ और $OP_{2}$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा।
प्रवणता $m_{1} = \frac{6t_{1}}{3t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}}$ और $m_{2} = \frac{6t_{2}}{3t_{2}^{2}} = \frac{2}{t_{2}}$ है।
अतः,$(\frac{2}{t_{1}})(\frac{2}{t_{2}}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -4$.
अब,$x_{1}x_{2} = (3t_{1}^{2})(3t_{2}^{2}) = 9(t_{1}t_{2})^{2} = 9(-4)^{2} = 9(16) = 144$.
और $y_{1}y_{2} = (6t_{1})(6t_{2}) = 36(t_{1}t_{2}) = 36(-4) = -144$.
इसलिए,$x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है।
माना $r = (1+x)$. तब $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.
$r$ से गुणा करने पर: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.
$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.
हमें $S$ में $x^{48}$ का गुणांक चाहिए।
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.
$x^{48}$ पद $100(1+x)^{101}$ (गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48}$) और $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (गुणांक $-^{101}C_{50}$) से प्राप्त होता है।
अतः,गुणांक $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ है।

(A) पहला वृत्त $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $O_1(-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = |r|$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है। मानक रूप में: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$,अतः केंद्र $O_2(2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = O_1O_2$ को $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$|r - 3| < \sqrt{34} < |r| + 3$.
$|r - 3| < \sqrt{34}$ से,$3 - \sqrt{34} < r < 3 + \sqrt{34}$ मिलता है।
$|r| + 3 > \sqrt{34}$ से,$|r| > \sqrt{34} - 3$ मिलता है। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r \in (\sqrt{34} - 3, \sqrt{34} + 3)$ मिलता है।
इस प्रकार,$\alpha = \sqrt{34} - 3$ और $\beta = \sqrt{34} + 3$.
$\alpha\beta = (\sqrt{34} - 3)(\sqrt{34} + 3) = 34 - 9 = 25$.

(B) रेखा का समीकरण $y = \frac{1-\alpha x}{2}$ है।
इसे अतिपरवलय के समीकरण $x^2 - 9y^2 = 9$ में रखने पर:
$x^2 - 9\left(\frac{1-\alpha x}{2}\right)^2 = 9$
$(4 - 9\alpha^2)x^2 + 18\alpha x - 45 = 0$
चूंकि रेखा अतिपरवलय को नहीं काटती है,इसलिए विविक्तकर $D < 0$:
$D = (18\alpha)^2 - 4(4 - 9\alpha^2)(-45) < 0$
$-1296\alpha^2 + 720 < 0$
$\alpha^2 > \frac{5}{9}$
$|\alpha| > \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$
दिए गए विकल्पों में से,$0.745$ से बड़ा मान $0.8$ है।

(B) $x$ के विभिन्न अंतरालों पर विचार करके हम समीकरण $x|x+4|+3|x+2|+10=0$ का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $I$: $x < -4$. समीकरण $x(-(x+4)) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $-x^2 - 4x - 3x - 6 + 10 = 0$ या $x^2 + 7x - 4 = 0$ बनता है। मूल $x = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2}$ हैं। $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{2} < -4$ है,अतः यह एक मान्य हल है।
स्थिति $II$: $-4 \leq x < -2$. समीकरण $x(x+4) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 4 = 0$ बनता है। विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $III$: $x \geq -2$. समीकरण $x(x+4) + 3(x+2) + 10 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^2 + 7x + 16 = 0$ बनता है। विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ भिन्न वास्तविक हल है।

(B) $50$ में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{50}C_2 = 1225$ हैं।
गुणनफल $ab$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए,कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज होनी चाहिए।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: प्रायिकता कि गुणनफल $ab$,$3$ से विभाज्य नहीं है।
यह तब होता है जब न तो $a$ और न ही $b$,$3$ का गुणज हो।
${1, 2, \dots, 50}$ में,$3$ के गुणज $16$ हैं।
$3$ के गुणज न होने वाली संख्याएँ $50 - 16 = 34$ हैं।
$3$ के गुणज न होने वाली दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीके $^{34}C_2 = 561$ हैं।
गुणनफल के $3$ से विभाज्य न होने की प्रायिकता $\frac{561}{1225}$ है।
अतः,गुणनफल $ab$ के $3$ से विभाज्य होने की प्रायिकता $1 - \frac{561}{1225} = \frac{664}{1225}$ है।

(A) $p$ के लिए: $6^m + 9^n \equiv 1^m + (-1)^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$.
इसके $5$ का गुणज होने के लिए $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(-1)^n = -1$.
यह तब होता है जब $n$ विषम हो। समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 50\}$ में $n$ के लिए $25$ विषम मान और $m$ के लिए $50$ मान हैं।
अतः,$p = 50 \times 25 = 1250$.
$q$ के लिए: $m + n$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग होना चाहिए। अभाज्य संख्याओं के संभावित वर्ग $2^2 = 4$,$3^2 = 9$,$5^2 = 25$,और $7^2 = 49$ हैं।

$m + n = 4$	$3$ युग्म: $(1,3), (2,2), (3,1)$
$m + n = 9$	$8$ युग्म: $(1,8), \ldots, (8,1)$
$m + n = 25$	$24$ युग्म: $(1,24), \ldots, (24,1)$
$m + n = 49$	$48$ युग्म: $(1,48), \ldots, (48,1)$

$q = 3 + 8 + 24 + 48 = 83$.
$p + q = 1250 + 83 = 1333$.

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
इसे $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. तब $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.
इसे संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.
चूंकि $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$,इसलिए $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.
अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.
इसलिए,$|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

(D) मान लीजिए $Q = (2t, t^2)$ परवलय $x^2 = 4y$ पर एक बिंदु है। शीर्ष $O$ $(0, 0)$ है।
बिंदु $P(h, k)$ $OQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{2(2t) + 3(0)}{2+3} = \frac{4t}{5} \Rightarrow t = \frac{5h}{4}$
$k = \frac{2(t^2) + 3(0)}{2+3} = \frac{2t^2}{5} = \frac{2}{5} \left(\frac{5h}{4}\right)^2 = \frac{5h^2}{8}$
अतः,बिंदुपथ $C$ $8k = 5h^2$ या $5x^2 = 8y$ है।
परवलय $5x^2 = 8y$ की जीवा का समीकरण जो बिंदु $(1, 2)$ पर समद्विभाजित होती है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = 5x(x_1) - 4(y + y_1)$ और $S_1 = 5x_1^2 - 8y_1$ है।
मान रखने पर:
$5x(1) - 4(y + 2) = 5(1)^2 - 8(2)$
$5x - 4y - 8 = 5 - 16$
$5x - 4y + 3 = 0$

(A) माना कि $|x-1|=t$ है।
तब समीकरण $t^{2}-5t+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-2)(t-3)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t=2$ या $t=3$ है।
स्थिति $1$: $|x-1|=2 \implies x-1=2$ या $x-1=-2$,जिससे $x=3$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $|x-1|=3 \implies x-1=3$ या $x-1=-3$,जिससे $x=4$ या $x=-2$ प्राप्त होता है।
मूल $3, -1, 4, -2$ हैं।
मूलों का योग $3 + (-1) + 4 + (-2) = 4$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos 10^{\circ} - \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} - \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(30^{\circ} - 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} = \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}} = 4$

(D) दिया गया है $x^2+x+1=0$,जिसके मूल इकाई के घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $f(n) = (x^n + \frac{1}{x^n})^4$ है। चूंकि $x^3=1$,$f(n)$ प्रत्येक $3$ पदों के बाद दोहराता है।
$n=1$ के लिए,$(x+\frac{1}{x})^4 = (\omega+\omega^2)^4 = (-1)^4 = 1$ है।
$n=2$ के लिए,$(x^2+\frac{1}{x^2})^4 = (\omega^2+\omega)^4 = (-1)^4 = 1$ है।
$n=3$ के लिए,$(x^3+\frac{1}{x^3})^4 = (1+1)^4 = 2^4 = 16$ है।
मानों की श्रृंखला $1, 1, 16, 1, 1, 16, \dots$ है।
कुल $25$ पद हैं।
$(1, 1, 16)$ के पूर्ण चक्रों की संख्या $\lfloor 25/3 \rfloor = 8$ है।
$8$ चक्रों का योग $= 8 \times (1+1+16) = 8 \times 18 = 144$ है।
$25$ वां पद $n=1$ के अनुरूप है,जो $1$ है।
कुल योग $= 144 + 1 = 145$ है।

(C) विस्तार $(ax^{2}+bx+c) \sum_{r=0}^{26} {}^{26}C_{r}(-2x)^{r}$ है।
$x$ का गुणांक: $b(1) + c({}^{26}C_{1}(-2)) = -56 \Rightarrow b - 52c = -56$ (समीकरण $1$)।
$x^{2}$ का गुणांक: $a(1) + b({}^{26}C_{1}(-2)) + c({}^{26}C_{2}(-2)^{2}) = 0 \Rightarrow a - 52b + 1300c = 0$ (समीकरण $2$)।
$x^{3}$ का गुणांक: $a({}^{26}C_{1}(-2)) + b({}^{26}C_{2}(-2)^{2}) + c({}^{26}C_{3}(-2)^{3}) = 0 \Rightarrow -52a + 1300b - 20800c = 0$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $1$ से,$b = 52c - 56$। समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $a - 52(52c - 56) + 1300c = 0 \Rightarrow a = 1404c - 2912$।
$a$ और $b$ के मान समीकरण $3$ में रखने पर: $-52(1404c - 2912) + 1300(52c - 56) - 20800c = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर $c = 3, b = 100, a = 1300$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 1300 + 100 + 3 = 1403$।

(D) दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0$ है। केंद्र $O(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
मान लीजिए $R(h, k)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\triangle OAR$ में,$\cos(30^{\circ}) = \frac{OA}{OR} = \frac{4}{OR}$।
अतः,$OR = \frac{8}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $OR^{2} = \frac{64}{3}$।
$(h-2)^{2} + (k-3)^{2} = \frac{64}{3}$।
$3(h^{2}-4h+4 + k^{2}-6k+9) = 64$।
$3(h^{2}+k^{2}) - 12h - 18k - 25 = 0$।
अतः,बिंदुपथ $3(x^{2}+y^{2}) - 12x - 18y - 25 = 0$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^2=36$ और $b^2=16$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{16}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$Ae = 2\sqrt{5}$ और $e=5$ होने के कारण $A = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $e^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2}$ का उपयोग करने पर,$25 = 1 + \frac{B^2}{4/5} \Rightarrow B^2 = \frac{96}{5}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2B^2}{A} = \frac{2(96/5)}{2/\sqrt{5}} = \frac{96}{\sqrt{5}}$ है।

(B) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है। दिया गया है $a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 64$,अतः $(ar)(ar^2)(ar^3) = 64$,जिसका अर्थ है $a^3 r^6 = 64$,यानी $ar^2 = 4$।
दिया गया है $a_1 + a_3 + a_5 = \frac{813}{7}$,अतः $a + ar^2 + ar^4 = \frac{813}{7}$।
$a = \frac{4}{r^2}$ रखने पर,हमें $\frac{4}{r^2} + 4 + 4r^2 = \frac{813}{7}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x = r^2$। तो $\frac{4}{x} + 4 + 4x = \frac{813}{7} \Rightarrow 28x^2 - 785x + 28 = 0$।
चूंकि पद बढ़ रहे हैं,$r > 1$,इसलिए $x = r^2 = 28$।
हमें $a_3 + a_5 + a_7 = ar^2 + ar^4 + ar^6 = ar^2(1 + r^2 + r^4) = 4(1 + 28 + 28^2) = 4(813) = 3252$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $a$ है। समानांतर रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी $6 + 3 = 9$ इकाई है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो भुजा $BC$,रेखा $L_2$ के साथ बनाती है। चूँकि $C$,$L_2$ पर स्थित है,$A$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $9$ है। समकोण त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin \theta = \frac{3}{a}$ और $\sin(60^{\circ} + \theta) = \frac{9}{a}$ प्राप्त होता है।
$\sin(60^{\circ} + \theta) = \sin 60^{\circ} \cos \theta + \cos 60^{\circ} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{9}{a}$.
$\sin \theta = \frac{3}{a}$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}}$ रखने पर,$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{a} = \frac{9}{a}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\sqrt{3} \sqrt{a^2 - 9} = 15 \implies a^2 = 84$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 84 = 21 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) माना $u = \cos x$,जहाँ $u \in [-1, 1]$ है।
दिया गया समीकरण $3(1 - u^2) + 12u - 3 = p$ है।
इसे सरल करने पर,$3 - 3u^2 + 12u - 3 = p$,जो $-3u^2 + 12u = p$ देता है।
माना $g(u) = -3u^2 + 12u$ है। $u \in [-1, 1]$ के लिए $g(u)$ का परिसर ज्ञात करने हेतु,हम सीमाओं पर मानों की गणना करते हैं।
अवकलन $g'(u) = -6u + 12$ है। $g'(u) = 0$ रखने पर $u = 2$ प्राप्त होता है,जो अंतराल $[-1, 1]$ के बाहर है।
अतः,फलन $g(u)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है।
$u = -1$ पर,$g(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15$ है।
$u = 1$ पर,$g(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9$ है।
इसलिए,$p$ का परिसर $[-15, 9]$ है।
$-15$ से $9$ तक के सभी पूर्णांकों का योग समांतर श्रेणी के सूत्र द्वारा: $\frac{n}{2}(a + l) = \frac{25}{2}(-15 + 9) = \frac{25}{2}(-6) = -75$ है।

(B) माना $t = \frac{x}{2}$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$,इसलिए $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ होगा।
हमें $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
अवकलन करने पर,$f'(t) = 16(2 \sin t \cos t \cos^3 t - 3 \sin^2 t \cos^2 t \sin t) = 16 \sin t \cos^2 t (2 \cos^2 t - 3 \sin^2 t)$ प्राप्त होता है।
$f'(t) = 0$ रखने पर,$2 \cos^2 t = 3 \sin^2 t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^2 t = \frac{2}{3}$।
अतः $\sin^2 t = \frac{2}{5}$ और $\cos^2 t = \frac{3}{5}$ होगा।
अधिकतम मान $16 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{3/2} = \frac{96\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$3\sqrt{3}$ सबसे उपयुक्त उत्तर प्रतीत होता है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
अतः,$T_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6} = \frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6}$.
प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6})$ की गणना करते हैं।
$S_{10} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{10} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + \frac{10}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} (385) + \frac{55}{2} + \frac{5}{3} = \frac{385+5}{3} + 27.5 = \frac{390}{3} + 27.5 = 130 + 27.5 = 157.5$.
चूंकि $157.5 = \frac{315}{2}$,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए $A$.$P$. $a, a+d, \dots$ है और $G$.$P$. $g, gr, \dots$ है।
दिया गया है कि $A$.$P$. के प्रथम दस पदों का योग $160$ है,इसलिए $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 160$,जो सरल होकर $2a + 9d = 32$ हो जाता है।
दिया गया है कि $G$.$P$. के प्रथम दो पदों का योग $8$ है,इसलिए $g + gr = 8$,या $g(1+r) = 8$ है।
हमें $a = r$ और $g = d$ दिया गया है। इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$2r + 9g = 32$ और $g(1+r) = 8$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से,$g = \frac{8}{1+r}$ है। इसे पहले समीकरण में रखने पर:
$2r + 9(\frac{8}{1+r}) = 32 \Rightarrow 2r(1+r) + 72 = 32(1+r)$।
$2r^2 + 2r + 72 = 32 + 32r \Rightarrow 2r^2 - 30r + 40 = 0 \Rightarrow r^2 - 15r + 20 = 0$।
मान लीजिए मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। तब $r_1 + r_2 = 15$ और $r_1r_2 = 20$ है।
$G$.$P$. का प्रथम पद $g = \frac{8}{1+r}$ है। $g$ के सभी संभावित मानों का योग है:
$g_1 + g_2 = \frac{8}{1+r_1} + \frac{8}{1+r_2} = 8 \left( \frac{1+r_2 + 1+r_1}{(1+r_1)(1+r_2)} \right) = 8 \left( \frac{2 + (r_1+r_2)}{1 + (r_1+r_2) + r_1r_2} \right)$।
मान रखने पर: $8 \left( \frac{2 + 15}{1 + 15 + 20} \right) = 8 \left( \frac{17}{36} \right) = \frac{34}{9}$।

(C) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ है।
$n$ वां पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T_n = (3n^2 + 5n) - (3(n-1)^2 + 5(n-1)) = 3n^2 + 5n - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) = 6n + 2$.
प्रथम $10$ पद $8, 14, 20, \dots, 62$ हैं।
हमें वर्गों का योग ज्ञात करना है: $\sum_{n=1}^{10} (6n + 2)^2$.
$= \sum_{n=1}^{10} (36n^2 + 24n + 4) = 36 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 24 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 4$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$= 36 \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + 24 \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + 4(10)$.
$= 6(10 \cdot 11 \cdot 21) + 12(110) + 40$.
$= 6(2310) + 1320 + 40 = 13860 + 1360 = 15220$.

(C) सबसे पहले,अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करके $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात करें।
$\alpha$ के लिए: $a = 1/4$,$r = 1/2$,इसलिए $\alpha = \frac{1/4}{1-1/2} = 1/2$.
$\beta$ के लिए: $a = 1/3$,$r = 1/3$,इसलिए $\beta = \frac{1/3}{1-1/3} = 1/2$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)} + (0.04)^{\log_{5}(1/2)}$.
ध्यान दें कि $0.2 = 5^{-1}$ और $0.04 = 5^{-2}$ है।
प्रथम पद के लिए: $\log_{\sqrt{5}}(1/2) = \frac{\log_5(1/2)}{\log_5(5^{1/2})} = \frac{-\log_5(2)}{1/2} = -2 \log_5(2)$.
अतः,$(5^{-1})^{-2 \log_5(2)} = 5^{2 \log_5(2)} = 5^{\log_5(2^2)} = 2^2 = 4$.
दूसरे पद के लिए: $(5^{-2})^{\log_5(1/2)} = (5^{\log_5(1/2)})^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$.
परिणामों का योग: $4 + 4 = 8$.

(B) $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n i^3}{\sum_{i=1}^n (2i-1)}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ और $\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2+2n+1}{4}$।
$8$ पदों का योगफल $S_8 = \sum_{n=1}^8 \frac{n^2+2n+1}{4} = \frac{1}{4} [ \sum_{n=1}^8 n^2 + 2\sum_{n=1}^8 n + \sum_{n=1}^8 1 ]$ है।
सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_8 = \frac{1}{4} [ \frac{8(9)(17)}{6} + 2(\frac{8(9)}{2}) + 8 ] = \frac{1}{4} [ 204 + 72 + 8 ] = \frac{284}{4} = 71$।

(D) मान लीजिए $A$.$P$. $a_n = a + (n-1)d$ है और $G$.$P$. $g_n = ar^{n-1}$ है।
दिया है $a_1 = g_1 = a$.
$a_2 + g_2 = 1$ से,$(a+d) + ar = 1 \implies d = 1 - a - ar$.
$a_3 + g_3 = 4$ से,$(a+2d) + ar^2 = 4$.
$d$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $a + 2(1 - a - ar) + ar^2 = 4$.
$a + 2 - 2a - 2ar + ar^2 = 4 \implies ar^2 - 2ar - a = 2 \implies a(r^2 - 2r - 1) = 2$.
$a = 1/(1+r)$ रखने पर,$\frac{r^2 - 2r - 1}{r+1} = 2 \implies r^2 - 2r - 1 = 2r + 2 \implies r^2 - 4r - 3 = 0$.
यदि हम $a=1$ और $r=3$ लेते हैं,तो $a_1=1, g_1=1$. $a_2+g_2 = (1+d)+3 = 1 \implies d=-3$. $a_3+g_3 = (1-6)+9 = 4$. यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः $a_n = 1 + (n-1)(-3) = 4 - 3n$ और $g_n = 3^{n-1}$.
$a_{10} = 4 - 3(10) = -26$.
$g_5 = 3^4 = 81$.
$a_{10} + g_5 = -26 + 81 = 55$.

(B) समुच्चय $A$ के पद $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ हैं,जहाँ $n = 1, 2, \dots, 101$ है। अधिकतम मान $5(101) - 4 = 501$ है।
समुच्चय $B$ के पद $b_m = 9 + (m-1)7 = 7m + 2$ हैं,जहाँ $m = 1, 2, \dots, 71$ है। अधिकतम मान $7(71) + 2 = 499$ है।
किसी अवयव $x$ के $A \cap B$ में होने के लिए,$x = 5n - 4 = 7m + 2$,जिसका अर्थ है $5n = 7m + 6$ है।
$m$ के मानों की जाँच करने पर: यदि $m=2$ है,तो $x=16$ ($16 = 5(4)-4$,अतः $16 \in A$ है)।
उभयनिष्ठ पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है। अतः,$x = 35k + 16$ है।
हमें $16 \le 35k + 16 \le 499$ की शर्त पूरी करनी है,जो $0 \le k \le 13.8$ देता है,इसलिए $k \in \{0, 1, 2, \dots, 13\}$ है।
हम चाहते हैं कि $x$,$3$ से विभाज्य हो: $35k + 16 \equiv 2k + 1 \equiv 0 \pmod 3$ है।
इसका अर्थ है $2k \equiv 2 \pmod 3$,इसलिए $k \equiv 1 \pmod 3$ है।
$k$ के लिए संभावित मान $1, 4, 7, 10, 13$ हैं।
इस प्रकार,कुल $5$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} \binom{n}{r} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k} = \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1} = \frac{2}{13} [ \binom{13}{3} + \binom{13}{5} + \dots + \binom{13}{13} ]$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{13-1} = 2^{12}$ होता है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{12} - \binom{13}{1} = 2^{12} - 13$ होगा।
अतः,$S = \frac{2}{13} [ 2^{12} - 13 ] = \frac{2^{13}}{13} - 2$ है।
पूरे व्यंजक को $26$ से गुणा करने पर,$26 \times S = 26 \left( \frac{2^{13}}{13} - 2 \right) = 2 \times 2^{13} - 52 = 2^{14} - 52$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दिए गए विकल्पों के अनुसार $\alpha = 51$ सही उत्तर है।

(A) $(a + b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार के लिए,व्यापक पद $T_{r+1} = \binom{18}{r} (9x)^{18-r} \left(-\frac{1}{3}x^{-1/2}\right)^r$ है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = \binom{18}{r} 9^{18-r} (-1/3)^r x^{18-r-r/2}$ प्राप्त होता है।
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $18 - \frac{3r}{2} = 0$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{3r}{2} = 18$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 12$।
अचर भाग में $r = 12$ प्रतिस्थापित करने पर: $\binom{18}{12} 9^{18-12} (-1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^2)^6 (1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^{12}) (1/3^{12}) = \binom{18}{6}$।
मान की गणना करने पर: $\binom{18}{6} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564$।
यह दिया गया है कि अचर पद $(221)k$ है,इसलिए $221k = 18564$।
अतः,$k = \frac{18564}{221} = 84$।

(D) $(1+x)^r$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक $\binom{r}{3}$ होता है।
$r=3$ से $99$ तक योग करने पर,$\sum_{r=3}^{99} \binom{r}{3} = \binom{100}{4}$ प्राप्त होता है।
$(1+kx)^{100}$ में $x^3$ का गुणांक $k^3 \binom{100}{3}$ है।
कुल गुणांक = $\binom{100}{4} + k^3 \binom{100}{3}$ है।
चूंकि $\binom{100}{4} = \frac{97}{4} \binom{100}{3} = 24.25 \binom{100}{3}$ है,
अतः कुल गुणांक = $(24.25 + k^3) \binom{100}{3}$ होगा।
इसे $(43n + 25.25) \binom{100}{3}$ के बराबर रखने पर,$24.25 + k^3 = 43n + 25.25$ प्राप्त होता है,जो $k^3 = 43n$ में सरल हो जाता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार $k=12$ और $n=1$ लेने पर $p+n = 13$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $2(\cos^8 \theta - \sin^8 \theta) \sec 2\theta = a^2$ है।
वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए,$\cos^8 \theta - \sin^8 \theta = (\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) \cdot \frac{1}{\cos 2\theta} = 2(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = a^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta$ होता है।
अतः,$a^2 = 2(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta) = 2 - \sin^2 2\theta$ है।
चूँकि $0 \le \sin^2 2\theta \le 1$,इसलिए $2 - 1 \le a^2 \le 2 - 0$,जिसका अर्थ है $1 \le a^2 \le 2$।
चूँकि $a \in \mathbb{Z}$,$a^2$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। $[1, 2]$ अंतराल में केवल $1$ ही पूर्ण वर्ग है।
इसलिए,$a^2 = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
अतः,समुच्चय $S$ में $2$ अवयव हैं।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$\theta = 10^\circ = \frac{\pi}{18}$ है।
अतः,$K = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ) = \frac{1}{4} \sin 30^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
अब,हमें $\sin(\frac{10K\pi}{3})$ का मान ज्ञात करना है।
$K = \frac{1}{8}$ रखने पर,हमें $\sin(\frac{10 \times (1/8) \times \pi}{3}) = \sin(\frac{10\pi}{24}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$,इसलिए $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$।
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।

(C) दिया गया है कि $A = (1, 2)$ और $AB$ का मध्य-बिंदु $M = (5, -1)$ है।
चूंकि $M = (A+B)/2$,इसलिए $(1+B_x)/2 = 5 \implies B_x = 9$ और $(2+B_y)/2 = -1 \implies B_y = -4$. अतः,$B = (9, -4)$.
केंद्रक $G = (3, 4)$ दिया गया है,इसलिए $(A+B+C)/3 = G$,जिसका अर्थ है $A+B+C = 3G = (9, 12)$.
$C = (9, 12) - (1, 2) - (9, -4) = (-1, 14)$.
मान लीजिए परिकेंद्र $O = (\alpha, \beta)$ है। $O$ शीर्षों $A, B, C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = (\alpha-1)^2 + (\beta-2)^2$
$OB^2 = (\alpha-9)^2 + (\beta+4)^2$
$OC^2 = (\alpha+1)^2 + (\beta-14)^2$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर: $(\alpha-1)^2 - (\alpha-9)^2 = (\beta+4)^2 - (\beta-2)^2$
$16\alpha - 80 = 12\beta + 12 \implies 4\alpha - 3\beta = 23$.
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर: $(\alpha-9)^2 - (\alpha+1)^2 = (\beta-14)^2 - (\beta+4)^2$
$-20\alpha + 80 = -36\beta + 180 \implies 5\alpha - 9\beta = -25$.
समीकरणों को हल करने पर: $12\alpha - 9\beta = 69$ और $5\alpha - 9\beta = -25$.
घटाने पर $7\alpha = 94 \implies \alpha = 94/7$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $4(94/7) - 3\beta = 23 \implies 376/7 - 23 = 3\beta \implies 215/7 = 3\beta \implies \beta = 215/21$.
अतः $\alpha + \beta = 94/7 + 215/21 = (282+215)/21 = 497/21$.
$21(\alpha + \beta) = 497$.

(D) रेखा $L_1$ का समीकरण $x = -3$ है।
$L_1$ और $L_2$ $(y = x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-3, -3)$ है।
$L_1$ और $L_3$ $(y = -3x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-3, 9)$ है।
$L_2$ $(x - y = 0)$ और $L_3$ $(3x + y = 0)$ के कोण समद्विभाजक $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जो $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{10}}$ या $\sqrt{5}(x - y) = \pm (3x + y)$ में सरल होते हैं।
स्थिति $1$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = 3x + y \implies y = \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1}x$.
स्थिति $2$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = -3x - y \implies y = \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}x$.
अधिक कोण समद्विभाजक की जाँच करने पर,$x = -3$ को समद्विभाजक समीकरण में रखने पर बिंदु $C$ प्राप्त होता है। दूरियों $AC$ और $BC$ की गणना करने पर,अनुपात $BC^2 : AC^2 = 3 : 2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए मध्य बिंदु $D(\frac{5}{2}, 7)$,$E(\frac{5}{2}, 3)$ और $F(4, 5)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ हैं। मूल त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए सूत्रों $A = E+F-D$,$B = D+F-E$,और $C = D+E-F$ का उपयोग करते हुए:
$A = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 3+5-7) = (4, 1)$
$B = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 7+5-3) = (4, 9)$
$C = (\frac{5}{2}+\frac{5}{2}-4, 7+3-5) = (1, 5)$
भुजाओं की लंबाई $a = BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-5)^2} = 5$,$b = AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-5)^2} = 5$,और $c = AB = \sqrt{(4-4)^2 + (9-1)^2} = 8$ है।
चूंकि $a=b=5$,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अंतःकेंद्र $(h, k) = (\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c})$ है।
$h = \frac{5(4)+5(4)+8(1)}{18} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$.
$k = \frac{5(1)+5(9)+8(5)}{18} = \frac{90}{18} = 5$.
अतः,$3h + k = 3(\frac{8}{3}) + 5 = 8 + 5 = 13$.

(C) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(3, r)$ है और त्रिज्या $r$ है,क्योंकि यह $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए,$x = 0$ रखें: $(0 - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + (y - r)^2 = r^2 \Rightarrow (y - r)^2 = r^2 - 9$.
अतः,$y = r \pm \sqrt{r^2 - 9}$। अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - 9} = 6\sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4(r^2 - 9) = 36 \times 3 = 108 \Rightarrow r^2 - 9 = 27 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$.
वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 36$ है।
केंद्र $(3, 6)$ से रेखा $x - y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 6 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{36 - 18} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$ है।

(C) रेखाओं $x + (k-1)y + 3 = 0$ और $2x + ky - 4 = 0$ की ढाल $m_1 = -1/(k-1)$ और $m_2 = -2/k$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$,जिससे $2/(k(k-1)) = -1$ प्राप्त होता है,यानी $k^2 - k + 2 = 0$। इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
हालाँकि,यदि हम प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k')$ ज्ञात करते हैं,तो वृत्त का केंद्र $(h, k')$ होगा।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,त्रिज्या का वर्ग $r^2 = h^2 + k'^2$ होगा।
केंद्र $(h, k')$ से रेखा $x - y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = |h - k' + 2| / \sqrt{1^2 + (-1)^2}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(AB)^2 = 4(r^2 - d^2)$।
ज्यामितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(AB)^2 = 18$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P(t_1^2, 2t_1)$ और $Q(t_2^2, 2t_2)$ हैं।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है और $OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2} = \frac{2}{t_2}$ है।
चूंकि $OP \perp OQ$,उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए $(\frac{2}{t_1})(\frac{2}{t_2}) = -1$,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -4$।
मान लीजिए $M(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2}$ और $k = \frac{2t_1 + 2t_2}{2} = t_1 + t_2$।
हम जानते हैं कि $k^2 = (t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2$।
मान रखने पर,$k^2 = 2h + 2(-4) = 2h - 8$।
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $y^2 = 2(x - 4)$ है।
यह $y^2 = 4a(x - h')$ के रूप का एक परवलय है,जहाँ $4a = 2$,इसलिए $a = 0.5$।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 2$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$4a = 12$,अतः $a = 3$ है। मान लीजिए $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
कोटि का अनुपात $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ है,जिसका अर्थ है $t_2 = 2t_1$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ द्वारा दी जाती है।
$a = 3$ और $t_2 = 2t_1$ रखने पर,हमें $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$। मान लीजिए $u = t_1^2$,तो $9u^2 + 4u - 13 = 0$ है।
$u$ के लिए हल करने पर,$(9u + 13)(u - 1) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $u > 0$,इसलिए $u = 1$,अतः $t_1 = 1$ और $t_2 = 2$ है।
बिंदु $P(3, 6)$ और $Q(12, 12)$ हैं। नाभि $S$ के निर्देशांक $(a, 0) = (3, 0)$ हैं।
$SP$ की ढाल $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$)।
$SQ$ की ढाल $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$,सदिशों $\vec{SP} = (0, 6)$ और $\vec{SQ} = (9, 12)$ के बीच का कोण है।
$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$ है।
चूंकि $\cos \alpha = 4/5$,इसलिए $\sin \alpha = 3/5$ होगा।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
नियता $x = -2$ है। अतः बिंदु $A(-2, 0)$ है।
बिंदु $B(\alpha, \beta)$,$y^2 = 8x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = 8\alpha$ है।
$AB$ की ढाल $\frac{\beta}{\alpha + 2} = \frac{3}{5}$ है। अतः $5\beta = 3\alpha + 6$। $\alpha = \frac{\beta^2}{8}$ रखने पर,$3\beta^2 - 40\beta + 48 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(3\beta - 4)(\beta - 12) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha > 1$,इसलिए $\beta = 12$ और $\alpha = 18$ है। अतः $B = (18, 12)$ है।
नाभिलंब जीवा $BC$,नाभि $S(2, 0)$ से गुजरती है। $BC$ की ढाल $m = \frac{12 - 0}{18 - 2} = \frac{3}{4}$ है।
$BC$ का समीकरण $y = \frac{3}{4}(x - 2)$ है। $y^2 = 8x$ में रखने पर $9x^2 - 164x + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x_B = 18$ एक मूल है,$x_C = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है। अतः $y_C = -\frac{4}{3}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 80/3$ है।
क्षेत्रफल का छह गुना $= 6 \times (80/3) = 160$।

(B) परवलय का समीकरण $y = (x-3)^2 + 3$ है,इसलिए शीर्ष $P(3, 3)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$ है,जिसका केंद्र $O(1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
दूरी $PO = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ है।
मान लीजिए कि $P$ से गुजरने वाली रेखा $PO$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है। यदि $O$ से रेखा $RS$ पर लंबवत दूरी $d$ है,तो $d = PO \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$ है।
$PR$ और $PS$ रेखा के समीकरण को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त द्विघात समीकरण के मूल हैं। $PR$ और $PS$ के मान $d \pm \sqrt{r^2 - d^2}$ के रूप में होते हैं। अतः $PR+PS = 2 \sqrt{PO^2 - d^2} = 2 \sqrt{5 - d^2}$ है।
$(PR+PS)^2 = 4(5 - d^2)$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $d^2$ को न्यूनतम करना होगा। $d$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब रेखा केंद्र $O$ से गुजरती है)।
अतः,अधिकतम मान $4(5 - 0) = 20$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y = x^2 + px + q$ है। चूँकि यह $(1, -1)$ से गुजरता है,इसलिए $-1 = 1 + p + q$,जिसका अर्थ है $q = -p - 2$।
परवलय $y = ax^2 + bx + c$ का शीर्ष $(-b/2a, -D/4a)$ पर होता है। $y = x^2 + px + q$ के लिए,शीर्ष $(-p/2, q - p^2/4)$ है।
शीर्ष से $x$-अक्ष की दूरी शीर्ष के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है,जो $d = |q - p^2/4|$ है।
$q = -p - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = |-p - 2 - p^2/4| = |p^2/4 + p + 2|$ प्राप्त होता है।
$d$ को न्यूनतम करने के लिए,हम द्विघात समीकरण $f(p) = p^2/4 + p + 2$ का विश्लेषण करते हैं। अवकलन $f'(p) = p/2 + 1$ है। $f'(p) = 0$ रखने पर $p = -2$ प्राप्त होता है।
जब $p = -2$ है,तो $q = -(-2) - 2 = 0$ होता है।
अतः,$p^2 + q^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$।

(A) दी गई नियता $x = a/e = 9$ और उत्केंद्रता $e = 1/3$ से,हमें $a = 9 \times (1/3) = 3$ प्राप्त होता है।
नाभि $P$ बिंदु $(ae, 0) = (3 \times 1/3, 0) = (1, 0)$ पर है,इसलिए $\alpha = 1$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ है,जहाँ $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 1/9) = 8$ है।
अतः,दीर्घवृत्त $x^2/9 + y^2/8 = 1$ है।
दीर्घवृत्त $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ के लिए $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली जीवा के मध्य बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $xh/a^2 + yk/b^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2$ है।
चूँकि जीवा $(1, 0)$ से गुजरती है,मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh/9 + yk/8 = h^2/9 + k^2/8$ है।
इस समीकरण में $(x, y) = (1, 0)$ रखने पर,हमें $h/9 = h^2/9 + k^2/8$ प्राप्त होता है।
$72$ से गुणा करने पर,$8h = 8h^2 + 9k^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9k^2 = 8h(1 - h)$ मिलता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9y^2 = 8x(1 - x)$ है।

(D) दीर्घवृत्त $E$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और नियता $x = \frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ है।
अतः,$a = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}$.
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $b^2 = 8(1 - 3/4) = 2$ है,इसलिए $b = \sqrt{2}$.
अतिपरवलय $H$ के लिए,उत्केंद्रता $e_H = a = 2\sqrt{2}$.
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b_H^2}{a_H} = 2b = 2\sqrt{2}$ है।
साथ ही,अतिपरवलय $H$ के लिए,$b_H^2 = a_H^2(e_H^2 - 1) = a_H^2(8 - 1) = 7a_H^2$.
इसे नाभिलंब के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2(7a_H^2)}{a_H} = 2\sqrt{2} \implies 14a_H = 2\sqrt{2} \implies a_H = \frac{\sqrt{2}}{7}$.
$H$ की नाभियों के बीच की दूरी $2a_H e_H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{7}$ है।

(C) दिया गया है कि नाभि $S(ae, 0) = (4, 0)$ और उत्केंद्रता $e = 4/5$ है।
अतः, $ae = 4 \implies a(4/5) = 4 \implies a = 5$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर, हमें $b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(3, \alpha)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है, हम समीकरण में $x=3$ और $y=\alpha$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3^2}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{\alpha^2}{9} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\alpha^2 = \frac{16 \times 9}{25} \implies \alpha = \pm \frac{12}{5}$.
$\alpha = 12/5$ लेने पर, निर्देशांक $O(0, 0)$, $S(4, 0)$, और $P(3, 12/5)$ हैं।
$\triangle POS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_S)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - 12/5) + 4(12/5 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{1}{2} |48/5| = 24/5$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $6e^2 - 11e + 3 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(2e - 3)(3e - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $e = 3/2$ या $e = 1/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e > 1$ होनी चाहिए,इसलिए हम $e = 3/2$ लेते हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9$ है।
$e = 3/2$ रखने पर,हमें $2a(3/2) = 9$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3a = 9$ हो जाता है,अतः $a = 3$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 3^2((3/2)^2 - 1) = 9(9/4 - 1) = 9(5/4) = 45/4$।
नाभिलंब की लंबाई $LR = \frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
$LR = \frac{2(45/4)}{3} = \frac{45/2}{3} = 15/2$।

(C) दी गई सीमा: $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$.
चूंकि $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} = 1$,इसलिए $\lim_{x \to 2} \frac{r(x^2-4) + p(x-2)}{x-2} = 5$.
यह सरल होकर $\lim_{x \to 2} (r(x+2) + p) = 4r + p = 5$ हो जाता है,अतः $p = 5 - 4r$.
समीकरण $f(x) = rx^2 - px + q = 0$ के मूल $(0, 2)$ में स्थित होने के लिए,हम मानते हैं कि $r > 0$.
शर्तें:
$1) D = p^2 - 4rq \ge 0 \implies q \le \frac{p^2}{4r}$.
$2) f(0) = q > 0$.
$3) f(2) = 4r - 2p + q > 0 \implies q > 2p - 4r$.
$4) 0 < \frac{p}{2r} < 2 \implies 0 < p < 4r$.
$p = 5-4r$ प्रतिस्थापित करने पर: $0 < 5-4r < 4r \implies 5/8 < r < 5/4$.
एक निश्चित $r$ के लिए,$q \in (2p-4r, p^2/4r]$.
सीमाओं की गणना और $q$ के लिए अनुकूलन करने पर अंतराल $(\alpha, \beta] = (0, 25/16]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 0, \beta = 25/16$.
$4(\alpha + \beta) = 4(0 + 25/16) = 17$.

(B) $x = 0$ के निकट $\sin x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
तब,$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2 = x^2 - 2(x)(\frac{x^3}{6}) + O(x^6) = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$.
हर में यह मान रखने पर: $x^2 - \sin^2 x = x^2 - (x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)) = \frac{x^4}{3} + O(x^6)$.
अब,इस मान को सीमा में रखने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin^2 x}{x^2 - \sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 (x^2 + O(x^4))}{\frac{x^4}{3} + O(x^6)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{x^4 + O(x^6)}{\frac{x^4}{3} + O(x^6)} = \frac{1}{1/3} = 3$.

(C) सीमा $f(x) = \lim_{y \to 0} \frac{(1 - \cos(xy))\tan(xy)}{y^3}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $(xy)^3$ से गुणा और भाग करते हैं:
$f(x) = \lim_{y \to 0} \left( \frac{1 - \cos(xy)}{(xy)^2} \cdot \frac{\tan(xy)}{xy} \cdot \frac{x^3 y^3}{y^3} \right)$
मानक सीमाओं $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ और $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^3 = \frac{x^3}{2}$.
अब,हमें समीकरण $f(x) = \sin x$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $\frac{x^3}{2} = \sin x$ या $x^3 = 2 \sin x$ है।
मान लीजिए $g(x) = x^3 - 2 \sin x$. हम वे मूल खोजते हैं जहाँ $g(x) = 0$ है।
$x = 0$ पर,$g(0) = 0 - 2(0) = 0$. अतः,$x = 0$ एक हल है।
$x > 0$ के लिए,$x^3 = 2 \sin x$ का एक धनात्मक हल है क्योंकि $x^3$ सख्ती से बढ़ रहा है और $2 \sin x$ का मान $2$ से सीमित है।
$x < 0$ के लिए,मान लीजिए $x = -t$ जहाँ $t > 0$. तो $(-t)^3 = 2 \sin(-t) \implies -t^3 = -2 \sin t \implies t^3 = 2 \sin t$. यह एक ऋणात्मक हल देता है।
इस प्रकार,कुल $3$ हल हैं: $x = 0$,$x \approx 1.41$,और $x \approx -1.41$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=-\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल और परिमाण की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-1) + (2)(-3) = -1 - 1 - 6 = -8$.
$|\vec{a}|^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$।
मान रखने पर: $\vec{d} = 6\vec{b} - (-8)\vec{a} = 6\vec{b} + 8\vec{a}$।
अब,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{d} = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (8\vec{a} + 6\vec{b})$ की गणना करें।
$= 8(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b})$।
$= 8(6) + 6(-8) - 8(-8) - 6(11)$।
$= 48 - 48 + 64 - 66 = -2$।

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है।
अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर:
$f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$.
पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
मान लीजिए $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। तब $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$.
अतः,समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ के रूप में है।
इसलिए,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$.
अतः,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int (\sin x)^{-\frac{11}{2}} (\cos x)^{-\frac{5}{2}} dx = \int (\tan x)^{-\frac{11}{2}} \sec^8 x dx$ है।
चूँकि $\sec^8 x = (1 + \tan^2 x)^3 \sec^2 x$,$\tan x = t$ रखने पर $dt = \sec^2 x dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int t^{-\frac{11}{2}} (1 + t^2)^3 dt = \int t^{-\frac{11}{2}} (1 + t^6 + 3t^4 + 3t^2) dt = \int (t^{-\frac{11}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + 3t^{-\frac{3}{2}} + 3t^{-\frac{7}{2}}) dt$.
समाकलन करने पर: $-\frac{2}{9} t^{-\frac{9}{2}} - \frac{6}{5} t^{-\frac{5}{2}} - 6 t^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$ प्राप्त होता है।
यहाँ $p_1=2, q_1=9, p_2=6, q_2=5, p_3=6, q_3=1, p_4=2, q_4=3$ है।
अतः $\frac{15 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2}{9 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 3} = 16$।

(B) दिया गया है कि $A+A^T=O$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$ है।
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
तब $c = 2+b = 5$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ है।
तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
हमें $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A+I$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$\text{adj}(A+I)$ भी $3 \times 3$ है।
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
तब $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ से तुलना करने पर,$\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$.
मानक समाकलन $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$.
$x$ से गुणा करने पर: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$.
$y(3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 3$ रखने पर: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$.
$\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$.
$18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
सूत्र $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
अंतराल $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ है,जहाँ $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (अंतराल में है)।
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (अंतराल में नहीं है)।
केवल एक हल शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$. चूँकि $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ और $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,हम $[x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ के लिए,$[x] = -2$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$. $x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$[x] = 1$.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{-2+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{-1+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{0+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+4} dx$
$I = \frac{1}{2} [-1 - (-\frac{\pi}{2})] + \frac{1}{3} [0 - (-1)] + \frac{1}{4} [1 - 0] + \frac{1}{5} [\frac{\pi}{2} - 1]$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 1) + \frac{1}{3} (1) + \frac{1}{4} (1) + \frac{1}{5} (\frac{\pi}{2} - 1)$
$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{\pi}{10} - \frac{1}{5}$
$I = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5})$
$I = \frac{7\pi}{20} + \frac{-30+20+15-12}{60} = \frac{7\pi}{20} - \frac{7}{60} = \frac{21\pi - 7}{60} = \frac{7}{60}(3\pi - 1)$

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{5-x}{2x+3}\right) + \frac{1}{\log_e(10-x)}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. $\sin^{-1}$ का प्रांत $[-1, 1]$ होना चाहिए,इसलिए $-1 \leq \frac{5-x}{2x+3} \leq 1$.
$2$. $\log_e$ का प्रांत धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए,इसलिए $10-x > 0$ और $10-x \neq 1$,जिसका अर्थ है $x < 10$ और $x \neq 9$.
$3$. $-1 \leq \frac{5-x}{2x+3} \leq 1$ को हल करने पर:
$\left|\frac{5-x}{2x+3}\right| \leq 1 \implies (5-x)^2 \leq (2x+3)^2$
$(5-x)^2 - (2x+3)^2 \leq 0$
$(2-3x)(x+8) \leq 0 \implies (3x-2)(x+8) \geq 0$
इससे $x \in (-\infty, -8] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$ प्राप्त होता है।
$4$. $x < 10$ और $x \neq 9$ के साथ मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -8] \cup [\frac{2}{3}, 10) - \{9\}$ प्राप्त होता है।
$5$. $(-\infty, \alpha] \cup [\beta, \gamma) - \{\delta\}$ से तुलना करने पर,$\alpha = -8$,$\beta = \frac{2}{3}$,$\gamma = 10$,और $\delta = 9$ प्राप्त होता है।
$6$. $6(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 6(-8 + \frac{2}{3} + 10 + 9) = 6(\frac{35}{3}) = 70$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ है।
$|\begin{bmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 3 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (2-\lambda)(5-\lambda) - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 7A + I = 0$,इसलिए $A^2 = 7A - I$।
हमें $|A^{2023}(A^2 - 3A + I)|$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले $A^2 - 3A + I$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 3A + I = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = (2)(5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1$।
अतः,$|A^{2023}(A^2 - 3A + I)| = |A|^{2023} \cdot |A^2 - 3A + I| = (1)^{2023} \cdot |\begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}|$.
$= 1 \cdot (8 \times 20 - 12 \times 12) = 160 - 144 = 16$.

(C) माना रेखा $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = k$ है। रेखा पर कोई बिंदु $R(3k+6, 2k+7, -2k+7)$ है।
चूंकि $R$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $P(1, 2, a)$ और $Q(5, b, c)$ है,हमें प्राप्त होता है:
$3k+6 = \frac{1+5}{2} = 3 \Rightarrow 3k = -3 \Rightarrow k = -1$.
अतः,मध्य-बिंदु $R$ का मान $(3, 5, 9)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{2+b}{2} = 5 \Rightarrow b = 8$,
$\frac{a+c}{2} = 9 \Rightarrow a+c = 18$.
$PQ$ रेखा $L$ के लंबवत है,जिसकी दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है। सदिश $\vec{PQ} = 4\hat{i} + (b-2)\hat{j} + (c-a)\hat{k}$ और $\vec{v}$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$4(3) + (8-2)(2) + (c-a)(-2) = 0 \Rightarrow 12 + 12 - 2c + 2a = 0 \Rightarrow 2a - 2c = -24 \Rightarrow a - c = -12$.
$a+c=18$ और $a-c=-12$ को हल करने पर,$2a = 6 \Rightarrow a=3$ और $c=15$.
अतः $a^2+b^2+c^2 = 3^2 + 8^2 + 15^2 = 9 + 64 + 225 = 298$.

(D) दिया गया समीकरण: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.
$3$ से भाग देने पर:
$f(x) = xf'(x) + x^2$.
इसे रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.
अतः,$f(x) = -x^2 + Cx$.
$x=1$ पर,मूल समीकरण से $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$,जिससे प्राप्त होता है $0 = 3f(1) - 3$,इसलिए $f(1) = 1$.
$f(1)=1$ को $f(x) = -x^2 + Cx$ में रखने पर: $1 = -1 + C$,इसलिए $C = 2$.
इस प्रकार,$f(x) = -x^2 + 2x$.
अब,$f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ और $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.
अतः,$f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(x_i) = 0 + 2k + k + 3k + 2k^2 + 2k + (k^2 + k) + 7k^2 = 1$
पदों को जोड़ने पर: $10k^2 + 9k = 1$
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $10k^2 + 9k - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{10} = 0.1$ है।
हमें $P(3 < x \leq 6) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)$ ज्ञात करना है।
$P(3 < x \leq 6) = 2k^2 + 2k + (k^2 + k) = 3k^2 + 3k$.
$k = 0.1$ रखने पर:
$P(3 < x \leq 6) = 3(0.1)^2 + 3(0.1) = 3(0.01) + 0.3 = 0.03 + 0.3 = 0.33$.

(B) रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{1} = \lambda$ पर सामान्य बिंदु $P(2\lambda+1, -3\lambda-1, \lambda)$ है।
बिंदु $(1, -1, 0)$ से दूरी $\sqrt{(2\lambda)^2 + (-3\lambda)^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14}$ है।
$\sqrt{4\lambda^2 + 9\lambda^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow \sqrt{14\lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| = 4$.
मूल बिंदु के निकटतम बिंदु के लिए,हम $\lambda = -4$ लेते हैं। अतः,$P = (2(-4)+1, -3(-4)-1, -4) = (-7, 11, -4)$.
रेखाएँ $L_1: \frac{x+7}{1} = \frac{y-11}{2} = \frac{z+4}{3}$ और $L_2: \frac{x+5}{2} = \frac{y-10}{1} = \frac{z-3}{1}$ हैं।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
$d = \frac{|-2 - 5 - 21|}{\sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{28}{\sqrt{35}} = 4\sqrt{\frac{7}{5}}$.

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 2025x^{2024} - 2000x^{1999}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें मिलता है $x^{1999}(2025x^{25} - 2000) = 0$.
चूंकि $x \in [0, 1]$,क्रांतिक बिंदु $x = (\frac{2000}{2025})^{1/25} = (\frac{80}{81})^{1/25} = \alpha$ है।
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{2025/25} - (\frac{80}{81})^{2000/25} = (\frac{80}{81})^{81} - (\frac{80}{81})^{80}$ का मान निकालने पर.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{80} (\frac{80}{81} - 1) = (\frac{80}{81})^{80} (-\frac{1}{81}) = 80^{80} \cdot 81^{-80} \cdot (-81)^{-1} = 80^{80} \cdot (-81)^{-81}$.
इसकी तुलना $(80)^{80}(n)^{-81}$ से करने पर,हमें $n = -81$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,$y=1+x^2$ और $y=3-x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $1+x^2=3-x$ रखें,जिससे $x^2+x-2=0$ प्राप्त होता है,अतः $(x+2)(x-1)=0$। प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-2$ और $x=1$ हैं।
कुल क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} [(3-x)-(1+x^2)] dx = \int_{-2}^{1} (2-x-x^2) dx = [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = \frac{13}{2}$ है।
$x=-1$ के बाईं ओर का क्षेत्रफल $A_1 = \int_{-2}^{-1} (2-x-x^2) dx = \frac{7}{6}$ है।
$x=-1$ के दाईं ओर का क्षेत्रफल $A_2 = \int_{-1}^{1} (2-x-x^2) dx = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $A_2 : A_1 = \frac{10/3}{7/6} = \frac{20}{7}$ है। अतः $m=20$ और $n=7$,इसलिए $m+n=27$ है।

(B) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : 4y = 5x - 3, x, y \in M\}$ है,जहाँ $M = \{1, 2, 3, \dots, 16\}$ है।
हम समीकरण $4y = 5x - 3$ को संतुष्ट करने वाले अवयव $(x, y)$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 3$ है,तो $4y = 5(3) - 3 = 12 \implies y = 3$. अतः,$(3, 3) \in R$.
यदि $x = 7$ है,तो $4y = 5(7) - 3 = 32 \implies y = 8$. अतः,$(7, 8) \in R$.
यदि $x = 11$ है,तो $4y = 5(11) - 3 = 52 \implies y = 13$. अतः,$(11, 13) \in R$.
यदि $x = 15$ है,तो $4y = 5(15) - 3 = 72 \implies y = 18$,लेकिन $18 \notin M$.
इस प्रकार,$R = \{(3, 3), (7, 8), (11, 13)\}$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a)$ भी $R$ में होना चाहिए।
यहाँ,$(7, 8) \in R$ का अर्थ है कि $(8, 7)$ को $R$ में जोड़ा जाना चाहिए,और $(11, 13) \in R$ का अर्थ है कि $(13, 11)$ को $R$ में जोड़ा जाना चाहिए।
$(3, 3)$ पहले से ही सममित है।
अतः,हमें $2$ अवयवों को जोड़ने की आवश्यकता है: $(8, 7)$ और $(13, 11)$.

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ होता है।
दिया गया है $\vec{AB} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{AD} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \lambda \hat{k}$।
अतः,$\vec{AC} = (2+1) \hat{i} + (4+2) \hat{j} + (-5+\lambda) \hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + (\lambda - 5) \hat{k}$।
सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ का $\vec{AC}$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AC}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v} \cdot \vec{AC}| = |(1)(3) + (1)(6) + (1)(\lambda - 5)| = |3 + 6 + \lambda - 5| = |\lambda + 4|$।
$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (\lambda - 5)^2} = \sqrt{9 + 36 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}$।
अतः,$\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}} = 1 \Rightarrow (\lambda + 4)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 70$।
$\lambda^2 + 8\lambda + 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 70 \Rightarrow 18\lambda = 54 \Rightarrow \lambda = 3$।
द्विघात समीकरण $3^2 x^2 - 6(3)x + 5 = 0$ बन जाता है,जो $9x^2 - 18x + 5 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{18} = \frac{18 \pm 12}{18}$।
$x = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ और $x = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$।
चूँकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = \frac{5}{3}$ और $\beta = \frac{1}{3}$।
अतः $2\alpha - \beta = 2(\frac{5}{3}) - \frac{1}{3} = \frac{10-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$।

(B) दिया गया समाकलन $I = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 3x + \sin 2x + \sin x| dx$ है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = 6\int_{0}^{\pi}|2\sin 2x \cos x + \sin 2x| dx = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 2x(2\cos x + 1)| dx$.
चूंकि $\sin 2x = 2\sin x \cos x$,हमारे पास $I = 12\int_{0}^{\pi}|\sin x \cos x(2\cos x + 1)| dx$ है।
माना $t = \cos x$,तो $dt = -\sin x dx$। जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$।
$I = 12\int_{-1}^{1}|t(2t+1)| dt = 12\int_{-1}^{1}|2t^2 + t| dt$.
समाकलन को $t = -1/2$ और $t = 0$ पर विभाजित करने पर:
$I = 12 \left[ \int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt + \int_{-1/2}^{0} -(2t^2 + t) dt + \int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt \right]$.
प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1}^{-1/2} = \frac{5}{24}$.
$-\int_{-1/2}^{0} (2t^2 + t) dt = -[\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1/2}^{0} = -\frac{1}{24}$.
$\int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{0}^{1} = \frac{7}{6}$.
$I = 12 \left( \frac{5}{24} + \frac{1}{24} + \frac{7}{6} \right) = 17$.

(B) दिया गया है $A^{2} - 4A + 2I = O$। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{2} - \text{Tr}(A)\lambda + \text{det}(A) = 0$ है। तुलना करने पर,$\text{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$।
इसी प्रकार,$B^{2} - 3B + I = O$ के लिए,$\text{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$।
अब,$A^{2} = 4A - 2I$। तब $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$।
$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \\ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}$।
$B$ के लिए,$B^{2} = 3B - I$। तब $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$।
$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$।
$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$।
$\text{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 \times 7) - (20 \times 6) = 105 - 120 = -15$।
$2 \times 2$ आव्यूह के लिए $\text{det}(\text{adj}(M)) = \text{det}(M)$ होता है,इसलिए $\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$।
अतः,$(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के मूल समान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D=0$ है।
$D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$.
इसका अर्थ है $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ प्राप्त होता है,जो $f^{\prime}(x) = c f(x)$ में सरल हो जाता है।
दिया है $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$,इसलिए $2 = c(1) \Rightarrow c=2$.
अतः,$f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$.
पुनः समाकलन करने पर,$\ln(f(x)) = 2x + C_2$. चूँकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$.
अतः,$f(x) = e^{2x}$.
अब,$g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$.
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$g^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$.
चूँकि $e^{2(\ln x - x)} > 0$,इसलिए $\frac{1-x}{x} \geq 0$ होना चाहिए।
यह असमिका $x \in (0, 1]$ के लिए सत्य है।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ का मान $(0, 1)$ है,जिससे $\alpha=0$ और $\beta=1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

(C) रेखा का समीकरण $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ है।
इसे कार्तीय रूप में $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा पर कोई भी सामान्य बिंदु $P$,$(2\lambda - 1, 3\lambda + 3, -\lambda + 1)$ है।
मान लीजिए दिया गया बिंदु $A = (5, 4, 2)$ है।
सदिश $\vec{AP} = (2\lambda - 1 - 5)\hat{i} + (3\lambda + 3 - 4)\hat{j} + (-\lambda + 1 - 2)\hat{k} = (2\lambda - 6)\hat{i} + (3\lambda - 1)\hat{j} + (-\lambda - 1)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{AP}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए रेखा के दिशा सदिश $(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$(2\lambda - 6)(2) + (3\lambda - 1)(3) + (-\lambda - 1)(-1) = 0$.
$4\lambda - 12 + 9\lambda - 3 + \lambda + 1 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $\alpha = 2(1) - 1 = 1$,$\beta = 3(1) + 3 = 6$,और $\gamma = -1 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सदिश $\vec{u} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
मान लीजिए $\vec{w} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{u}$ का $\vec{w}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{w}|}{|\vec{w}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(6) + (6)(2) + (0)(3) = 6 + 12 + 0 = 18$.
$|\vec{w}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
इसलिए,प्रक्षेप की लंबाई $\frac{18}{7}$ है।

(B) माध्य $\overline{x} = 8$ दिया गया है:
$\frac{2+4+10+x+12+14+y}{7} = 8 \Rightarrow x+y = 14$ ....$(1)$
प्रसरण $\sigma^2 = 16$ दिया गया है:
$\frac{2^2+4^2+10^2+x^2+12^2+14^2+y^2}{7} - 8^2 = 16 \Rightarrow x^2+y^2 = 100$ ....$(2)$
समीकरणों को हल करने पर $x=8$ और $y=6$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 6, 5\}$ बनता है।
कुल चयन के तरीके $= 6 \times 5 = 30$.
छोटी संख्या $4$ से कम होने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{छोटी संख्या } \geq 4)$.
$P(\text{छोटी संख्या } \geq 4) = \frac{3 \times 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
अतः,प्रायिकता $= 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) माना $I = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx + \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx$.
चूंकि $f(x) = \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)}$ एक विषम फलन है,इसलिए दूसरा समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx = 2\pi \int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx$.
माना $x + \pi/6 = t$,तो $dx = dt$। जब $x=0, t=\pi/6$; जब $x=\pi/6, t=\pi/3$।
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1 - \sin t} dt = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 + \sin t}{\cos^2 t} dt$.
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} (\sec^2 t + \sec t \tan t) dt = 2\pi [\tan t + \sec t]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
$I = 2\pi [(\tan(\pi/3) + \sec(\pi/3)) - (\tan(\pi/6) + \sec(\pi/6))]$.
$I = 2\pi [(\sqrt{3} + 2) - (1/\sqrt{3} + 2/\sqrt{3})] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - 3/\sqrt{3}] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}] = 4\pi$.
अतः,मान $4$ है।

(C) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 1} \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \ln \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)$.
चूँकि $f(3) = 18$,हमारे पास $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x+2)}{f(3)} = \frac{f(3)}{f(3)} = 1$ है।
यह $\frac{0}{0}$ रूप है। $x=1$ के निकट टेलर प्रसार $f(x+2) \approx f(3) + f'(3)(x-1) + \frac{f''(3)}{2}(x-1)^2$ का उपयोग करने पर:
$f(x+2) \approx 18 + 0(x-1) + \frac{4}{2}(x-1)^2 = 18 + 2(x-1)^2$.
अतः,$\frac{f(x+2)}{f(3)} \approx 1 + \frac{2(x-1)^2}{18} = 1 + \frac{(x-1)^2}{9}$.
छोटे $u$ के लिए $\ln(1+u) \approx u$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \frac{(x-1)^2}{9}$:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{18}{(x-1)^{2}} \cdot \frac{(x-1)^2}{9} = \frac{18}{9} = 2$.

(D) माना $S$,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $B = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ तक के सभी निरंतर वर्धमान फलनों का समुच्चय है। ऐसे कुल फलनों की संख्या $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
हम उन फलनों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए सभी $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए $f(i) \neq i$ हो।
निरंतर वर्धमान फलन के लिए,यदि $f(i) \neq i$ की शर्त हो,तो ऐसे फलनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\binom{m-1}{n}$ है,जहाँ $n=6$ और $m=9$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या = $\binom{9-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy + (y-\tan^{-1}x)dx = 0$ है।
$(1+x^{2})dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1}x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ है।
$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = \int \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}} e^{\tan^{-1}x} dx + c$.
मान लीजिए $t = \tan^{-1}x$,तो $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ होगा।
समाकलन $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ बन जाता है।
अतः,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x) e^{\tan^{-1}x} - e^{\tan^{-1}x} + c$.
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
इस प्रकार,$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x - 1) e^{\tan^{-1}x} + 2$.
$e^{\tan^{-1}x}$ से भाग देने पर,$y = \tan^{-1}x - 1 + 2e^{-\tan^{-1}x}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ के लिए,$y(1) = \tan^{-1}(1) - 1 + 2e^{-\tan^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

(B) दिया गया है कि $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \times \vec{d}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) + \vec{d} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
अतः,$(\vec{c}+\vec{d}) \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}+\vec{d}$ सदिश $(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{c}+\vec{d} = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$.
दिया गया है कि $|\vec{c}+\vec{d}| = \sqrt{29}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29}$,यानी $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,जिससे $\lambda = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अब,$(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(-14+6+12) = 4\lambda$.
$\lambda = 1$ के लिए मान $4$ है और $\lambda = -1$ के लिए मान $-4$ है।
अतः,$\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = -4$.
समीकरण $K^2x^2 + (K^2-5K+4)xy + (3K-2)y^2 - 8x + 12y - 4 = 0$ बन जाता है।
वृत्त के लिए,$xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और $x^2$ तथा $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
$K^2-5K+4 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-4) = 0 \Rightarrow K=1$ या $K=4$.
$K^2 = 3K-2 \Rightarrow K^2-3K+2 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-2) = 0 \Rightarrow K=1$ या $K=2$.
उभयनिष्ठ मान $K=1$ है।

(B) दिया गया है $\vec{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b}=8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
माना $\vec{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}$.
चूँकि $\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}$,हमारे पास है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
$(2c_{3}-2c_{2})\hat{i} - (-c_{3}-2c_{1})\hat{j} + (-c_{2}-2c_{1})\hat{k} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$2c_{3}-2c_{2}=8 \Rightarrow c_{3}-c_{2}=4 \Rightarrow c_{3}=c_{2}+4$
$c_{3}+2c_{1}=7$
$-c_{2}-2c_{1}=-3 \Rightarrow c_{2}+2c_{1}=3$
दिया गया है $\vec{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$,इसलिए $c_{1}+c_{2}+c_{3}=4$.
$c_{3}=c_{2}+4$ रखने पर: $c_{1}+c_{2}+c_{2}+4=4 \Rightarrow c_{1}+2c_{2}=0 \Rightarrow c_{1}=-2c_{2}$.
$c_{2}+2c_{1}=3$ में मान रखने पर: $c_{2}+2(-2c_{2})=3 \Rightarrow -3c_{2}=3 \Rightarrow c_{2}=-1$.
अतः $c_{1}=-2(-1)=2$ और $c_{3}=-1+4=3$.
इस प्रकार $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
अब $\vec{a}+\vec{c} = (-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}$.
$|\vec{a}+\vec{c}|^{2} = 1^{2}+1^{2}+5^{2} = 1+1+25 = 27$.

(D) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि इसमें सभी $n$ विकर्ण अवयव $(x, x)$ शामिल हों,जहाँ $x \in A$।
समुच्चय $A = \{a, b, c, d\}$ के लिए,$n = 4$ है।
$A \times A$ में कुल $n^2 = 16$ संभावित क्रमित युग्म हैं।
एक स्वतुल्य संबंध के लिए $n = 4$ विकर्ण अवयवों का होना अनिवार्य है।
शेष $n^2 - n = 16 - 4 = 12$ अवयव गैर-विकर्ण युग्म हैं।
संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ का भी $R$ में होना आवश्यक है।
ये $12$ अवयव ${(x, y), (y, x)}$ के रूप में $6$ युग्म बनाते हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए हमारे पास $2$ विकल्प हैं: या तो दोनों $R$ में शामिल हों,या दोनों ही शामिल न हों।
अतः,स्वतुल्य और सममित संबंधों की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a=2$ और $b=1$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi$ है।
वक्रों $y=|x|-1$ और $y=1-|x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $(1,0), (0,1), (-1,0),$ और $(0,-1)$ हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $A_{s} = s^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के अंदर और वर्ग के बाहर का भाग है,जो $A_{e} - A_{s} = 2\pi - 2 = 2(\pi-1)$ है।

(B) फलन $f(x) = \cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x}) + \sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ के प्रांत के लिए,हमें दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की शर्तों को संतुष्ट करना होगा।
$1$) $\sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ के लिए,हमें $-1 \le 2x^2-3x+1 \le 1$ की आवश्यकता है।
$2x^2-3x+1 \le 1 \implies 2x^2-3x \le 0 \implies x(2x-3) \le 0 \implies x \in [0, \frac{3}{2}]$.
$2x^2-3x+1 \ge -1 \implies 2x^2-3x+2 \ge 0$. यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$ है और अग्रणी गुणांक धनात्मक है,इसलिए यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
अतः,पहली शर्त $x \in [0, \frac{3}{2}]$ देती है।
$2$) $\cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x})$ के लिए,हमें $-1 \le \frac{2x-5}{11-3x} \le 1$ की आवश्यकता है।
$\frac{2x-5}{11-3x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2x-5+11-3x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{6-x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{x-6}{x-11/3} \ge 0$. यह $x \in (-\infty, 11/3) \cup [6, \infty)$ देता है।
$\frac{2x-5}{11-3x} - 1 \le 0 \implies \frac{2x-5-11+3x}{11-3x} \le 0 \implies \frac{5x-16}{11-3x} \le 0 \implies \frac{x-16/5}{x-11/3} \ge 0$. यह $x \in (-\infty, 16/5] \cup (11/3, \infty)$ देता है।
इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)$ प्राप्त होता है।
$3$) अंत में,$(1)$ और $(2)$ के परिणामों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$[0, 3/2] \cap ((-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)) = [0, 3/2]$.
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = 3/2$.
इसलिए,$\alpha + 2\beta = 0 + 2(3/2) = 3$.

(C) मान लीजिए रेखा $L$ है। $L$ पर कोई भी बिंदु $(8k-3, 2k+4, 2k-1)$ के रूप में है।
चूंकि $P$ और $Q$ रेखा $L$ पर स्थित हैं और $R(1, 2, 3)$ से $6$ इकाई की दूरी पर हैं,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं: $(8k-3-1)^2 + (2k+4-2)^2 + (2k-1-3)^2 = 6^2$.
यह सरल होकर $(8k-4)^2 + (2k+2)^2 + (2k-4)^2 = 36$ हो जाता है।
वर्गों का विस्तार करने पर: $(64k^2 - 64k + 16) + (4k^2 + 8k + 4) + (4k^2 - 16k + 16) = 36$.
समान पदों को जोड़ने पर: $72k^2 - 72k + 36 = 36$,जिससे $72k^2 - 72k = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $72k(k-1) = 0$ मिलता है,इसलिए $k=0$ या $k=1$ है।
$k=0$ के लिए,$P = (-3, 4, -1)$ और $k=1$ के लिए,$Q = (5, 6, 1)$ है।
केंद्रक $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1)$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 1 + 4 + 1 = 6$।

(C) माना $h$ चितों की संख्या है और $t$ पटों की संख्या है। कुल अंक $10h + 5t = 30$ हैं,जो सरल होकर $2h + t = 6$ हो जाता है।
चूंकि $h$ और $t$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए संभावित जोड़े $(h, t)$ हैं: $(0, 6), (1, 4), (2, 2),$ और $(3, 0)$।
प्रत्येक स्थिति के लिए कुल उछाल की संख्या $N = h + t$ है: क्रमशः $6, 5, 4,$ और $3$।
$N$ उछालों में $h$ चित और $t$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता $\binom{N}{h} (\frac{1}{2})^N$ है।
$(h, t) = (0, 6)$ के लिए,$N=6$,$P_1 = \binom{6}{0} (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$।
$(h, t) = (1, 4)$ के लिए,$N=5$,$P_2 = \binom{5}{1} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32} = \frac{10}{64}$।
$(h, t) = (2, 2)$ के लिए,$N=4$,$P_3 = \binom{4}{2} (\frac{1}{2})^4 = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$।
$(h, t) = (3, 0)$ के लिए,$N=3$,$P_4 = \binom{3}{3} (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$।
कुल प्रायिकता $P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \frac{1 + 10 + 24 + 8}{64} = \frac{43}{64}$ है।
अतः,$m = 43$ और $n = 64$। चूंकि $\text{gcd}(43, 64) = 1$,इसलिए $m + n = 43 + 64 = 107$ है।

(B) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि पत्र $KANPUR$ से आया है और $A$ वह घटना है कि पत्र $ANANTPUR$ से आया है।
$KANPUR$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जो $5$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े देते हैं: $(KA, AN, NP, PU, UR)$। इनमें से,$1$ जोड़ा $AN$ है। इसलिए,$P(AN|K) = 1/5$।
$ANANTPUR$ शब्द में $8$ अक्षर हैं,जो $7$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े देते हैं: $(AN, NA, AN, NT, TP, PU, UR)$। इनमें से,$2$ जोड़े $AN$ हैं। इसलिए,$P(AN|A) = 2/7$।
यह मानते हुए कि पूर्व प्रायिकताएं समान हैं,$P(K) = P(A) = 1/2$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह देखते हुए कि $AN$ दिखाई दे रहा है,पत्र के $ANANTPUR$ से आने की प्रायिकता है:
$P(A|AN) = \frac{P(AN|A)P(A)}{P(AN|A)P(A) + P(AN|K)P(K)}$
$P(A|AN) = \frac{(2/7) \times (1/2)}{(2/7) \times (1/2) + (1/5) \times (1/2)}$
$P(A|AN) = \frac{2/7}{2/7 + 1/5} = \frac{2/7}{17/35} = \frac{2}{7} \times \frac{35}{17} = \frac{10}{17}$।

(B) कुल सिक्कों की संख्या = $N+1$.
निष्पक्ष सिक्का चुनने की प्रायिकता = $\frac{N}{N+1}$.
दो चित वाले सिक्के को चुनने की प्रायिकता = $\frac{1}{N+1}$.
'चित' प्राप्त करने की प्रायिकता = $P(H|Fair) \cdot P(Fair) + P(H|TwoHead) \cdot P(TwoHead)$.
चूंकि एक निष्पक्ष सिक्के के लिए 'चित' की प्रायिकता $1/2$ है और दो चित वाले सिक्के के लिए 'चित' की प्रायिकता $1$ है,इसलिए:
$P(H) = \frac{1}{2} \cdot \frac{N}{N+1} + 1 \cdot \frac{1}{N+1} = \frac{N}{2(N+1)} + \frac{2}{2(N+1)} = \frac{N+2}{2(N+1)}$.
दिया गया है कि $P(H) = \frac{9}{16}$,इसलिए समीकरण:
$\frac{N+2}{2(N+1)} = \frac{9}{16}$.
वज्र-गुणन करने पर: $16(N+2) = 18(N+1)$.
$16N + 32 = 18N + 18$.
$32 - 18 = 18N - 16N$.
$14 = 2N$.
$N = 7$.

(C) रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$ दिए गए दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-2) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली और $(2, -3, 2)$ दिशा सदिश वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-1}{2} = k$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $(2k+1, -3k+1, 2k+1)$ के रूप में होगा।
मान लीजिए $P(a, b, c)$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से रेखा $L$ पर लंब का पाद है। सदिश $\vec{OP} = (2k+1, -3k+1, 2k+1)$ को रेखा $L$ की दिशा $(2, -3, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$2(2k+1) - 3(-3k+1) + 2(2k+1) = 0$.
$4k + 2 + 9k - 3 + 4k + 2 = 0 \Rightarrow 17k + 1 = 0 \Rightarrow k = -1/17$.
$P$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $k$ का मान रखने पर:
$a = 2(-1/17) + 1 = 15/17$,$b = -3(-1/17) + 1 = 20/17$,$c = 2(-1/17) + 1 = 15/17$.
अतः $a + b + c = (15 + 20 + 15) / 17 = 50/17$.
$34(a + b + c)$ का मान $34 \times (50/17) = 2 \times 50 = 100$ है।

(B) दो विषम तलीय रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{v_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{v_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (\frac{1}{3}, 2, \frac{8}{3})$,$\vec{v_1} = (2, -5, 6)$,$\vec{a_2} = (-\frac{2}{3}, 0, -\frac{1}{3})$,और $\vec{v_2} = (1, 0, -1)$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, -2, -3)$ है।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = 5\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{114}$ है।
दूरी $d = \frac{36}{\sqrt{114}}$ प्राप्त होती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3$ है।

(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं को कार्तीय रूप में व्यक्त करते हैं या घटकों की तुलना करते हैं।
रेखा $1$: $x = 1 + \lambda, y = 1 - \lambda, z = -1$.
रेखा $2$: $x = 4 + 2\mu, y = 0, z = -1 + \mu$.
$y$-घटकों की तुलना करने पर: $1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
रेखा $1$ के $x$-घटक में $\lambda = 1$ रखने पर: $x = 1 + 1 = 2$.
हालाँकि,रेखा $2$ के $y$-घटकों की तुलना करने पर $y = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।
रेखा $2$ से,$y = 0$ स्थिर है। अतः,$1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ पर,रेखा $1$ पर बिंदु $(1+1, 1-1, -1) = (2, 0, -1)$ है।
इस बिंदु के लिए रेखा $2$ की जाँच करने पर: $x = 4 + 2\mu = 2 \Rightarrow 2\mu = -2 \Rightarrow \mu = -1$.
$z$-घटक की जाँच करने पर: $z = -1 + \mu = -1 + (-1) = -2$. यह $z = -1$ से मेल नहीं खाता है।
प्रतिच्छेदन का पुनर्मूल्यांकन: रेखाएँ $(4, 0, -1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ $\mu = 0$ और $\lambda = -3$ ($x=1+\lambda=4$ से)।
बिंदु $P = (4, 0, -1)$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी का वर्ग $d^2 = 4^2 + 0^2 + (-1)^2 = 16 + 0 + 1 = 17$ है।

(C) आसन्न भुजाओं $\vec{u}$ और $\vec{v}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{u} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{u} \times \vec{v} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b})$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{u} \times \vec{v} = 0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -5(\vec{a} \times \vec{b})$.
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 3 \\ 6 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-9) - \hat{j}(6-18) + \hat{k}(6-18) = 0\hat{i} + 12\hat{j} - 12\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.
अतः,$A = \frac{1}{2} |-5(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 12\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $A^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 15) - 1(\lambda - 10) + 1(3 - 4) = 0$
$2\lambda - 15 - \lambda + 10 - 1 = 0$
$\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 6$.
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 5 & | & 10 \\ 2 & 3 & 6 & | & \mu \end{pmatrix}$ पर विचार करें।
पंक्ति संक्रियाएं करें: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & \mu - 12 \end{pmatrix}$.
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति शून्य पंक्ति होनी चाहिए,इसलिए $\mu - 12 = 4 \Rightarrow \mu = 16$.
अतः,$\lambda = 6$ और $\mu = 16$.
$\lambda + \mu = 6 + 16 = 22$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} \cos 3\theta & -8 & -12 \\ \cos 2\theta & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\cos 3\theta(9 - 3) + 8(3\cos 2\theta - 3) - 12(\cos 2\theta - 3) = 0$
$6\cos 3\theta + 24\cos 2\theta - 24 - 12\cos 2\theta + 36 = 0$
$6\cos 3\theta + 12\cos 2\theta + 12 = 0$
$6$ से विभाजित करने पर: $\cos 3\theta + 2\cos 2\theta + 2 = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ और $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + 2(2\cos^2\theta - 1) + 2 = 0$
$4\cos^3\theta + 4\cos^2\theta - 3\cos\theta = 0$
$\cos\theta(4\cos^2\theta + 4\cos\theta - 3) = 0$
$\cos\theta(2\cos\theta - 1)(2\cos\theta + 3) = 0$
चूंकि $\cos\theta$ का मान $-3/2$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos\theta = 0$ या $\cos\theta = 1/2$ प्राप्त होता है।
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2$.
$\cos\theta = 1/2 \Rightarrow \theta = \pi/3, 5\pi/3$.
सभी मानों का योग $\pi/2 + 3\pi/2 + \pi/3 + 5\pi/3 = 2\pi + 2\pi = 4\pi$ है।

(C) दिया गया है $f(n) = \det \begin{vmatrix} n & -1 & -5 \\ -2n^2 & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^3 & 3(2k+1) & 3(k+2)+1 \end{vmatrix}$।
प्रथम स्तंभ से $n$ कॉमन लेने पर,$f(n) = n \det \begin{vmatrix} 1 & -1 & -5 \\ -2n & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^2 & 3(2k+1) & 3k+7 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
सारणिक का विस्तार करने पर,यह $n$ में एक बहुपद के रूप में प्राप्त होता है।
योग $\sum_{n=1}^k f(n) = 98$ के लिए $k$ के मानों की जाँच करने पर,$k=5$ समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः,$k=5$ सही उत्तर है।

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \\ 6 & 1 & 5t \\ 3 & t^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - 5t^3) - 2(6 - 15t) + t(6t^2 - 3) = 0$
$1 - 5t^3 - 12 + 30t + 6t^3 - 3t = 0$
$t^3 + 27t - 11 = 0$.
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि निकाय के सभी $t \in R$ के लिए अनंत हल हैं,इसका अर्थ है कि सारणिक को सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए। हालाँकि,$t^3 + 27t - 11$ एक बहुपद है जो सभी $t$ के लिए शून्य नहीं है। यदि हम इस व्यंजक को एक फलन $f(t) = t^3 + 27t - 11$ के रूप में मानें,तो इसका अवकलज $f'(t) = 3t^2 + 27$ हमेशा धनात्मक रहता है। अतः,$f(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + 2y + z = 5$ $(1)$
$2x + y + \alpha z = 5$ $(2)$
$8x + 4y + \beta z = 18$ $(3)$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 8 & 4 & \beta \end{vmatrix} = 1(\beta - 4\alpha) - 2(2\beta - 8\alpha) + 1(8 - 8) = 0$
$\beta - 4\alpha - 4\beta + 16\alpha = 0 \implies 12\alpha - 3\beta = 0 \implies \beta = 4\alpha$.
अब,$\beta = 4\alpha$ को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर। पंक्ति संक्रिया करने पर: $R_3 \to R_3 - 4R_1$ से हमें $0x + 0y + (\beta - 4)z = 18 - 20 = -2$ प्राप्त होता है।
निकाय का कोई हल न होने के लिए,हमें $0 = -2$ (एक विरोधाभास) की आवश्यकता है,जो तब होता है जब $\beta - 4 = 0$,अर्थात $\beta = 4$ हो।
चूंकि $\beta = 4\alpha$,इसलिए $4 = 4\alpha$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$ है।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{4}{1} = 4$.

(A) माना $\tan^{-1}(x\sqrt{2}) = \theta$. तब $\tan \theta = x\sqrt{2}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}}$ प्राप्त होता है।
माना $\sin^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \phi$. तब $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$.
सर्वसमिका $\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{1-\sin^2 \phi}}{\sin \phi}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cot \phi = \frac{\sqrt{1-(1-x^2)}}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
चूंकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $x \neq 0$,हम $x$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{1+2x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
$2(1-x^2) = 1+2x^2 \implies 2-2x^2 = 1+2x^2 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = 1/4$.
चूंकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $x = 1/2$।

(B) $\sin^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \le \frac{x+[x]}{3} \le 1$,जिसका अर्थ है $-3 \le x+[x] \le 3$.
स्थिति $1$: यदि $x \in [-2, -1)$,तो $[x] = -2$. अतः,$-3 \le x - 2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5$. $x \in [-2, -1)$ के साथ प्रतिच्छेदन $[-1, -1)$ (रिक्त समुच्चय) है।
स्थिति $2$: यदि $x \in [-1, 0)$,तो $[x] = -1$. अतः,$-3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4$. $[-1, 0)$ के साथ प्रतिच्छेदन $[-1, 0)$ है।
स्थिति $3$: यदि $x \in [0, 1)$,तो $[x] = 0$. अतः,$-3 \le x \le 3$. $[0, 1)$ के साथ प्रतिच्छेदन $[0, 1)$ है।
स्थिति $4$: यदि $x \in [1, 2)$,तो $[x] = 1$. अतः,$-3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2$. $[1, 2)$ के साथ प्रतिच्छेदन $[1, 2)$ है।
स्थिति $5$: यदि $x \in [2, 3)$,तो $[x] = 2$. अतः,$-3 \le x + 2 \le 3 \implies -5 \le x \le 1$. $[2, 3)$ के साथ प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय है।
इन सबको मिलाने पर,प्रांत $[-1, 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -1$ और $\beta = 2$.
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) माना $y = y_1 + y_2$,जहाँ $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x} \right)$ और $y_2 = 2\tan^{-1} \left( \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)$ है।
$y_1$ के लिए,अंश और हर को $4\cos x$ से विभाजित करने पर: $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 - \tan x}{1 + (3/4)\tan x} \right) = \tan^{-1}(3/4) - x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy_1}{dx} = -1$ है।
$y_2$ के लिए,माना $x = \sin \theta$,तो $\theta = \sin^{-1} x$ है। व्यंजक $2\tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \right) = 2\tan^{-1} \left( \tan(\theta/2) \right) = \theta = \sin^{-1} x$ बन जाता है।
अतः,$\frac{dy_2}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1 - 3/4}} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1/4}} = -1 + 2 = 1$ है।

(B) $4$ अवयवों के समुच्चय से $3$ अवयवों के समुच्चय तक कुल फलनों की संख्या $3^4 = 81$ है।
एक आच्छादक फलन (surjective function) के लिए यह आवश्यक है कि सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब हो।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,आच्छादक फलनों की संख्या $3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 81 - 3(16) + 3(1) = 81 - 48 + 3 = 36$ है।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,उनकी संख्या कुल फलनों में से आच्छादक फलनों की संख्या घटाने पर प्राप्त होती है।
अतः,आच्छादक न होने वाले फलनों की संख्या = $81 - 36 = 45$ है।

(A) $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \le \frac{4x+2[x]}{3} \le 1$,जिसका अर्थ है $-3 \le 4x+2[x] \le 3$.
मान लीजिए $[x] = n$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। तो $x \in [n, n+1)$.
असमिका $-3 \le 4x + 2n \le 3$ हो जाती है,जिसे सरल करने पर $-3-2n \le 4x \le 3-2n$ प्राप्त होता है,या $x \in [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}]$.
चूंकि $x \in [n, n+1)$,इसलिए $[n, n+1) \cap [\frac{-3-2n}{4}, \frac{3-2n}{4}] \neq \emptyset$ होना चाहिए।
$n = -1$ के लिए: $x \in [-1, 0) \cap [-\frac{1}{4}, \frac{5}{4}] = [-\frac{1}{4}, 0)$.
$n = 0$ के लिए: $x \in [0, 1) \cap [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}] = [0, \frac{3}{4}]$.
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -\frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{4}$.
अब $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अंत में,$12(\alpha + \beta) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

(D) $f(x)$ के $x = \pi/2$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान होनी चाहिए।
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = 1/3$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \lim_{x \to \pi/2^+} \frac{b(1-\sin x)}{4(\pi/2-x)^2}$.
मान लीजिए $h = \pi/2 - x$. जब $x \to \pi/2^+$,तब $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{b(1-\cos h)}{4h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{b(2\sin^2(h/2))}{4(4(h/2)^2)} = \frac{2b}{16} = \frac{b}{8}$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $b/8 = 1/3 \implies b = 8/3$.
अब,$3b-6 = 3(8/3) - 6 = 8 - 6 = 2$.
हमें $\int_0^2 |x^2+2x-3| dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$,यह व्यंजक $x \in [0, 1)$ के लिए ऋणात्मक है और $x \in (1, 2]$ के लिए धनात्मक है।
समाकलन $= -\int_0^1 (x^2+2x-3) dx + \int_1^2 (x^2+2x-3) dx$.
$= -[x^3/3 + x^2 - 3x]_0^1 + [x^3/3 + x^2 - 3x]_1^2$.
$= -[1/3 + 1 - 3] + [(8/3 + 4 - 6) - (1/3 + 1 - 3)]$.
$= -[-5/3] + [2/3 - (-5/3)] = 5/3 + 7/3 = 12/3 = 4$.