JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{^{n}C_{r}} + \frac{1}{^{n}C_{r+1}} = \frac{n+1}{n-r} \cdot \frac{1}{^{n}C_{r}}$.
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}$.
अतः,गुणनफल $\prod_{r=0}^{12} (\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}}) = \prod_{r=0}^{12} (\frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}) = \frac{(16/15)^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$a = \frac{16}{15}$.
इसलिए,$30a = 30 \cdot \frac{16}{15} = 32$.

(A) $101!$ में $7$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं,जो $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ है।
यहाँ,$m = 101$ और $p = 7$ है।
$E_7(101!) = [\frac{101}{7}] + [\frac{101}{7^2}] + [\frac{101}{7^3}] + \dots$
$E_7(101!) = [14.428] + [2.061] + [0.294] + \dots$
$E_7(101!) = 14 + 2 + 0 = 16$.
अतः,$n$ का सबसे बड़ा मान $16$ है।

(D) $|z-5| \le 3$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(5, 0)$ और त्रिज्या $3$ है। $z$ का कोणांक अधिकतम होने के लिए,मूल बिंदु से खींची गई रेखा को बिंदु $P(z)$ पर वृत्त को स्पर्श करना चाहिए।
मूल बिंदु $(0, 0)$,केंद्र $(5, 0)$ और बिंदु $P(z)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण $5$ है और त्रिज्या $3$ है। अतः,मूल बिंदु से $P$ की दूरी $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$ है। ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$z = 4(\cos \theta + i \sin \theta) = 4(\frac{4}{5} + i \frac{3}{5}) = \frac{16}{5} + i \frac{12}{5}$ है।
अब,$z$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$5z - 12 = 5(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) - 12 = 16 + 12i - 12 = 4 + 12i$.
$5iz + 16 = 5i(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) + 16 = 16i - 12 + 16 = 4 + 16i$.
अतः,$|\frac{5z-12}{5iz+16}|^2 = |\frac{4+12i}{4+16i}|^2 = |\frac{1+3i}{1+4i}|^2 = \frac{1^2 + 3^2}{1^2 + 4^2} = \frac{1+9}{1+16} = \frac{10}{17}$ है।
अंत में,$34 \times \frac{10}{17} = 2 \times 10 = 20$।

(C) $|x^{2} - 10| \le 6$ दिया गया है,इसलिए $-6 \le x^{2} - 10 \le 6$।
सभी पक्षों में $10$ जोड़ने पर,$4 \le x^{2} \le 16$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$,इसलिए $A = [-4, -2] \cup [2, 4]$।
$|x - 2| > 1$ दिया गया है,इसलिए $x - 2 > 1$ या $x - 2 < -1$।
इसका अर्थ है $x > 3$ या $x < 1$,इसलिए $B = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$।
अब,$A \cap B = ([-4, -2] \cup [2, 4]) \cap ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) = [-4, -2] \cup (3, 4]$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दी गई श्रेणी का सार्व अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{a_2/2}{a_1} = \frac{a_3/2^2}{a_2/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसका अर्थ है $\frac{a_2}{2a_1} = \frac{a_3}{2a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}$.
अतः,$a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अनुपात $R = \sqrt{2}$ है।
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = a_1 \frac{R^{10}-1}{R-1} = 62$.
$a_1 \frac{(\sqrt{2})^{10}-1}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 \frac{31}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 = 2(\sqrt{2}-1)$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^{2}+2ax+(3a+10) = 0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ शर्त $\alpha < 1 < \beta$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $x=1$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(1) < 0$।
$x=1$ रखने पर:
$f(1) = (1)^{2} + 2a(1) + (3a+10) < 0$
$1 + 2a + 3a + 10 < 0$
$5a + 11 < 0$
$5a < -11$
$a < -11/5$
अतः,$a$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $(-\infty, -11/5)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=16x$ है,जो $y^{2}=4ax$ के रूप में है,जहाँ $a=4$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1}) = (16, 16)$ हैं।
अतः,$2(4)t_{1} = 16 \Rightarrow t_{1}=2$.
चूंकि $AB$ एक नाभीय जीवा है,इसके अंत बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}=-1$ होता है।
इसलिए,$2t_{2}=-1 \Rightarrow t_{2}=-\frac{1}{2}$.
बिंदु $B$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (4(-\frac{1}{2})^{2}, 2(4)(-\frac{1}{2})) = (1, -4)$ हैं।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ जीवा $AB$ को $5:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
स्थिति $1$: $P$,$AB$ को $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$\alpha = \frac{5(1) + 2(16)}{5+2} = \frac{37}{7}$,$\beta = \frac{5(-4) + 2(16)}{5+2} = \frac{12}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{37+12}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
स्थिति $2$: $P$,$BA$ को $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$\alpha = \frac{5(16) + 2(1)}{5+2} = \frac{82}{7}$,$\beta = \frac{5(16) + 2(-4)}{5+2} = \frac{72}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{82+72}{7} = \frac{154}{7} = 22$.
$\alpha+\beta$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(C) परवलय $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12 \Rightarrow a=3$ है। परवलय पर कोई बिंदु $P(3t^{2}, 6t)$ है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{2}{t}$ है।
$\angle OPA=90^{\circ}$ होने के कारण,$OP \perp PA$,इसलिए $PA$ की ढाल $m_{PA} = -\frac{t}{2}$ है।
रेखा $PA$ का समीकरण $y-6t = -\frac{t}{2}(x-3t^{2})$ है।
$x$-अक्ष पर बिंदु $A$ के लिए,$y=0$ रखने पर: $x = 3t^{2}+12$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (3t^{2}+12, 0)$ है।
$\triangle OPA$ के केंद्रक $G(h, k)$ के लिए:
$h = \frac{6t^{2}+12}{3} = 2t^{2}+4$ और $k = \frac{6t}{3} = 2t$ है।
$t = \frac{k}{2}$ रखने पर,$h = 2(\frac{k}{2})^{2}+4 = \frac{k^{2}}{2}+4$ प्राप्त होता है।
$2h = k^{2}+8 \Rightarrow k^{2} = 2h-8$ है।
अतः,बिंदु पथ $y^{2} = 2x-8$ या $y^{2}-2x+8=0$ है।

(D) रेखा का समीकरण $\alpha x+4y-\sqrt{7}=0$ है। यह रेखा दीर्घवृत्त $3x^{2}+4y^{2}=1$ को स्पर्श करती है।
स्पर्श रेखा के प्रतिबंध $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha = \pm 3$ प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ के लिए,स्पर्श रेखा $3x+4y=\sqrt{7}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ प्राप्त होते हैं।
दीर्घवृत्त के लिए उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
नाभीय दूरियाँ $a \pm ex_{1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती हैं,जो $\frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{1}{2\sqrt{7}}$ हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$।
यह $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ में सरल हो जाता है।
$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ प्राप्त होता है।
$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$।
$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$।
चूंकि मूल $\alpha, \beta$ दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं,इसलिए $|\alpha - \beta| = 2$।
अतः,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$।
$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$।
$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$।
$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$।

(A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, . . . , 11\}$ में $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ और $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ हैं।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{11} = 2048$ है।
एक उपसमुच्चय $B$ का गुणनफल विषम होता है यदि और केवल यदि $B$ के सभी अवयव विषम हों। ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या $2^6 = 64$ है।
एक उपसमुच्चय $B$ का गुणनफल सम होता है यदि इसमें कम से कम एक सम संख्या हो। ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या $2^{11} - 2^6 = 2048 - 64 = 1984$ है।
प्रतिबंध $n(B) \ge 2$ उन उपसमुच्चयों को बाहर करता है जिनमें $0$ या $1$ अवयव है।
$0$ अवयव वाले उपसमुच्चय: $\emptyset$ (गुणनफल परिभाषित नहीं है या विषम माना जाता है,इसलिए इसे बाहर रखा गया है)।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चय: $\{1\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{11\}$ (सभी विषम गुणनफल) और $\{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{10\}$ (सभी सम गुणनफल)।
हमें उन $5$ उपसमुच्चयों को बाहर करना होगा जिनमें केवल एक सम संख्या है (क्योंकि उनका गुणनफल सम है लेकिन $n(B) < 2$ है)।
अतः,आवश्यक उपसमुच्चयों की संख्या $1984 - 5 = 1979$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,तो $a = b - d$ और $c = b + d$ मान लें।
चूंकि $a+b+c=1,$ इसलिए $(b-d) + b + (b+d) = 1,$ जिसका अर्थ है $3b = 1$ या $b = \frac{1}{3}.$
चूंकि $a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(2b^{2})^{2} = a^{2}c^{2},$ अर्थात $4b^{4} = (ac)^{2}.$
$a = b-d$ और $c = b+d$ रखने पर,$4b^{4} = ((b-d)(b+d))^{2} = (b^{2}-d^{2})^{2}.$
वर्गमूल लेने पर,$b^{2}-d^{2} = \pm 2b^{2}.$
स्थिति $1: b^{2}-d^{2} = 2b^{2} \Rightarrow d^{2} = -b^{2}$ (वास्तविक $d$ के लिए संभव नहीं है)।
स्थिति $2: b^{2}-d^{2} = -2b^{2} \Rightarrow d^{2} = 3b^{2} = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}.$
चूंकि $a < b < c,$ इसलिए $d$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $d = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
अब,$a^{2}+b^{2}+c^{2} = (b-d)^{2} + b^{2} + (b+d)^{2} = 3b^{2} + 2d^{2}.$
मान रखने पर: $3(\frac{1}{9}) + 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$
अतः,$9(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 9(1) = 9.$

(C) दिया है $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$. चूँकि $\cos(\alpha+\beta) < 0$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$.
अतः,$\sin(\alpha+\beta) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{10})^2} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
इसलिए,$\tan(\alpha+\beta) = \frac{3\sqrt{11}/10}{-1/10} = -3\sqrt{11}$.
दिया है $\sin(\alpha-\beta) = \frac{3}{8}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$. चूँकि $\sin(\alpha-\beta) > 0$,इसलिए $0 < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\cos(\alpha-\beta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{8})^2} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
इसलिए,$\tan(\alpha-\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}$.
अब,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan(\alpha-\beta)}{1 - \tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)}$.
मान रखने पर,$\tan 2\alpha = \frac{-3\sqrt{11} + \frac{3}{\sqrt{55}}}{1 - (-3\sqrt{11})(\frac{3}{\sqrt{55}})} = \frac{\frac{-3\sqrt{11}\sqrt{55} + 3}{\sqrt{55}}}{1 + \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{55}}} = \frac{-3(11\sqrt{5}) + 3}{\sqrt{55} + 9\sqrt{11}} = \frac{3(1 - 11\sqrt{5})}{\sqrt{11}(\sqrt{5} + 9)}$.
$\frac{3(1-r\sqrt{5})}{\sqrt{11}(s+\sqrt{5})}$ से तुलना करने पर,हमें $r=11$ और $s=9$ प्राप्त होता है।
अतः,$r+s = 11+9 = 20$.

(D) $P_n = \sum_{r=0}^n \frac{{}^n C_r(-2)^r}{r+1} = \sum_{r=0}^n \frac{1}{n+1} {}^{n+1} C_{r+1}(-2)^r$
$= \frac{-1}{2(n+1)} \sum_{r=0}^n {}^{n+1} C_{r+1}(-2)^{r+1}$
$= \frac{-1}{2(n+1)} \left[(1-2)^{n+1} - 1\right]$
$P_n = \frac{1}{2(n+1)} \left[1 - (-1)^{n+1}\right]$
$P_{2n} = \frac{1}{2(2n+1)} \left[1 - (-1)^{2n+1}\right]$
$P_{2n} = \frac{1}{2n+1}$
$\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}} = \sum_{n=1}^{25} (2n+1)$
$= 3 + 5 + \dots + 51$
$= \frac{25}{2} [51 + 3]$
$= 25 \times 27 = 675$

(B) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ है। परवलय पर कोई भी बिंदु $P(t^2, 2t)$ है।
जीवा मूल बिंदु $O(0,0)$ और $P(t^2, 2t)$ से गुजरती है।
जीवा $OP$ का मध्य-बिंदु $M(h, k)$,$h = \frac{t^2+0}{2} = \frac{t^2}{2}$ और $k = \frac{2t+0}{2} = t$ द्वारा दिया जाता है।
$t=k$ को $h = \frac{t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = \frac{k^2}{2}$ मिलता है,इसलिए $k^2=2h$।
बिंदु पथ $S$,$y^2=2x$ है।
मान लीजिए $P(x_0, y_0)$,$S$ पर एक बिंदु है,इसलिए $y_0^2=2x_0$। चूंकि $P$,$S$ पर है,हम $P$ को $(2t^2, 2t)$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $(2t)^2 = 2(2t^2)$।
मान लीजिए $R(x, y)$ वह बिंदु है जो $OP$ को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{3(2t^2) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t^2}{4} = \frac{3t^2}{2}$
$y = \frac{3(2t) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t}{4} = \frac{3t}{2}$
$y = \frac{3t}{2}$ से,हमें $t = \frac{2y}{3}$ मिलता है।
$t$ का मान $x = \frac{3t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{3}{2} \left(\frac{2y}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4y^2}{9} = \frac{2y^2}{3}$
इस प्रकार,$3x = 2y^2$,या $2y^2=3x$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a=5$ और $b=3$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ दीर्घवृत्त पर है,$SP+S^{\prime}P=10$।
दिए गए समीकरण $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ को $(SP+S^{\prime}P)^2-3SP \cdot S^{\prime}P=37$ के रूप में लिखने पर,
$100-3SP \cdot S^{\prime}P=37 \Rightarrow SP \cdot S^{\prime}P=21$।
$SP \cdot S^{\prime}P = a^2-e^2\alpha^2 = 25-\frac{16}{25}\alpha^2 = 21$।
$\frac{16}{25}\alpha^2 = 4 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{25}{4}$।
$\frac{\alpha^2}{25}+\frac{\beta^2}{9}=1$ में मान रखने पर,$\beta^2=\frac{27}{4}$।
अतः $\alpha^2+\beta^2 = \frac{25}{4}+\frac{27}{4} = 13$।

(C) द्विघात समीकरण $12x^{2}-20x+3\lambda=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ और गुणनफल $\alpha\beta = \frac{3\lambda}{12} = \frac{\lambda}{4}$ है।
हमें $\frac{1}{2} \le |\beta-\alpha| \le \frac{3}{2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} \le (\beta-\alpha)^{2} \le \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\beta-\alpha)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4} \le (\frac{5}{3})^{2} - 4(\frac{\lambda}{4}) \le \frac{9}{4}$.
$\frac{1}{4} \le \frac{25}{9} - \lambda \le \frac{9}{4}$.
$\frac{19}{36} \le \lambda \le \frac{91}{36}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\lambda = 1, 2$ संभव है।
अतः,योग $1+2 = 3$ है।

(D) $P (10, 2 \sqrt{15})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है।
$\frac{100}{a^2} - \frac{60}{b^2} = 1 \dots (1)$.
नाभिलंब की लंबाई $= 8$ दी गई है,अतः $\frac{2b^2}{a} = 8 \Rightarrow b^2 = 4a \dots (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में रखने पर: $\frac{100}{a^2} - \frac{60}{4a} = 1 \Rightarrow \frac{100}{a^2} - \frac{15}{a} = 1$.
$100 - 15a = a^2 \Rightarrow a^2 + 15a - 100 = 0$.
$(a + 20)(a - 5) = 0$. चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 5$.
अतः $b^2 = 4(5) = 20$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 25, b^2 = 20$. उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{20}{25}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
नाभियों के बीच की दूरी $SS' = 2ae = 2(5)(\frac{3\sqrt{5}}{5}) = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PSS'$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{15} = 30\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $= (30\sqrt{3})^2 = 2700$.

(D) कथन - $1$ का हल:
माना तीसरा शीर्ष $C(h, k)$ है।
लंबकेंद्र $O(0, 0)$ है।
चूँकि $AO \perp BC$,$AO$ की ढाल $m_{AO} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
$m_{AO} \cdot m_{BC} = -1$ होने के कारण,$(-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{k - 3}{h + 2}) = -1 \Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ....$(1)$
चूँकि $BO \perp AC$,$BO$ की ढाल $m_{BO} = \frac{0 - 3}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{k + 1}{h - 5}$ है।
$m_{BO} \cdot m_{AC} = -1$ होने के कारण,$(-\frac{3}{2}) \cdot (\frac{k + 1}{h - 5}) = -1 \Rightarrow 2h - 3k = 13$ ....$(2)$
समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$h = -4$ और $k = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है। इस प्रकार,कथन $1$ सही है।
कथन - $2$ का हल:
$2a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = 2a + c \Rightarrow 2a - 2b + c = 0$ है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$2a - 2b + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$x = 2$ और $y = -2$ के लिए समीकरण $a(2) + b(-2) + c = 0$ सत्य है।
अतः,रेखाएँ $ax + by + c = 0$ बिंदु $(2, -2)$ पर संगामी हैं। इस प्रकार,कथन $2$ सही है।

(C) $x \rightarrow 0$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
अंश में $x^0$ और $x^1$ के गुणांक $0$ होने चाहिए।
अचर पद: $1 + 2 + c - 2 = c + 1 = 0 \Rightarrow c = -1$
$x$ का गुणांक: $(a-1) - (c-2) = a - c + 1 = 0 \Rightarrow a = -2$
$x^2$ का गुणांक: $\frac{(a-1)^2}{2} - b^2 + \frac{c-2}{2} = 1$
$\frac{9}{2} - b^2 - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow b^2 = 2$
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + 2 + (-1)^2 = 7$.

(A) दिया गया है $4z^2 + \overline{z} = 0$। मान लीजिए $z = x + iy$ है।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$।
$4(x^2 - y^2 + 2xyi) + x - iy = 0$।
$4x^2 - 4y^2 + x + i(8xy - y) = 0$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x^2 - 4y^2 + x = 0$ और $y(8x - 1) = 0$।
स्थिति $1$: $y = 0$। तब $4x^2 + x = 0 \Rightarrow x(4x + 1) = 0$। अतः $x = 0$ या $x = -1/4$।
इससे $z_1 = 0$ $(|z_1|^2 = 0)$ और $z_2 = -1/4$ $(|z_2|^2 = 1/16)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $x = 1/8$। तब $4(1/8)^2 - 4y^2 + 1/8 = 0$।
$4/64 - 4y^2 + 1/8 = 0$ $\Rightarrow 1/16 + 1/8 = 4y^2$ $\Rightarrow 3/16 = 4y^2$ $\Rightarrow y^2 = 3/64$।
अतः $y = \pm \sqrt{3}/8$। इससे $z_3 = 1/8 + i\sqrt{3}/8$ और $z_4 = 1/8 - i\sqrt{3}/8$ प्राप्त होते हैं।
$|z_3|^2 = (1/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।
$|z_4|^2 = (1/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$।
मापांकों के वर्गों का योग: $0 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16$।

(A) हमें $4x^{2} + y^{2} < 52$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है।
हम $x$ के ऐसे मानों की जाँच करते हैं कि $4x^{2} < 52$,अर्थात $x^{2} < 13$। अतः,$x \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\}$।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $y^{2} < 52$। अतः $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 7\}$। कुल $15$ मान।
स्थिति $2$: यदि $x = \pm 1$ है,तो $4(1)^{2} + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 48$। अतः $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 6\}$। कुल $2 \times 13 = 26$ मान।
स्थिति $3$: यदि $x = \pm 2$ है,तो $4(4) + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 36$। अतः $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 5\}$। कुल $2 \times 11 = 22$ मान।
स्थिति $4$: यदि $x = \pm 3$ है,तो $4(9) + y^{2} < 52 \implies y^{2} < 16$। अतः $y \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\}$। कुल $2 \times 7 = 14$ मान।
अवयवों की कुल संख्या $= 15 + 26 + 22 + 14 = 77$।

(B) दी गई संख्याएँ $k, 2k, 3k, \dots, 1000k$ हैं। यहाँ $n = 1000$ (सम संख्या)।
माध्यिका $X_M = \frac{(\frac{n}{2})k + (\frac{n}{2} + 1)k}{2} = \frac{500k + 501k}{2} = 500.5k$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - X_M| = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |ik - 500.5k| = \frac{k}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |i - 500.5|$.
यह योग $2 \times (0.5 + 1.5 + 2.5 + \dots + 499.5) = 2 \times \frac{500}{2} (0.5 + 499.5) = 500 \times 500 = 250000$ है।
माध्य विचलन $= \frac{k \times 250000}{1000} = 250k$.
दिया गया है $250k = 500$,अतः $k = 2$.
इसलिए,$k^{2} = 2^{2} = 4$.

(B) $n(S)$ के लिए,हमें ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से $4$ अलग-अलग अंक चुनने हैं। चूँकि शर्त $a > b > c > d$ दी गई है,एक बार $4$ अंक चुने जाने के बाद,उन्हें अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है। अतः,$n(S) = {}^{10}C_4 = 210$.
$n(P)$ के लिए,हमें ऐसी $5$-अंकीय संख्याएँ चाहिए जिनके अंकों का गुणनफल $20$ हो। $20$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2 \times 5$ है। $5$ अंकों के संभावित समूह हैं:
$1)$ ${5, 4, 1, 1, 1}$: व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{3!} = 20$ है।
$2)$ ${5, 2, 2, 1, 1}$: व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!2!} = 30$ है।
अतः,$n(P) = 20 + 30 = 50$.
इसलिए,$n(S) + n(P) = 210 + 50 = 260$.

(C) $n$ पदों का योग $S_n = \alpha n^2 + \beta n$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$a_n = (\alpha n^2 + \beta n) - (\alpha(n-1)^2 + \beta(n-1))$
$a_n = 2\alpha n - \alpha + \beta$.
$a_{10} = 59$ दिया गया है,अतः $2\alpha(10) - \alpha + \beta = 59 \Rightarrow 19\alpha + \beta = 59$ (समीकरण $1$)।
$a_6 = 7a_1$ दिया गया है,अतः $2\alpha(6) - \alpha + \beta = 7(2\alpha(1) - \alpha + \beta)$।
$11\alpha + \beta = 7(\alpha + \beta) \Rightarrow 11\alpha + \beta = 7\alpha + 7\beta$.
$4\alpha = 6\beta$ $\Rightarrow 2\alpha = 3\beta$ $\Rightarrow \beta = \frac{2}{3}\alpha$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$19\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 59$ $\Rightarrow \frac{59\alpha}{3} = 59$ $\Rightarrow \alpha = 3$.
अतः $\beta = \frac{2}{3}(3) = 2$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं। चूँकि $\triangle OAB$ समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\angle AOx = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$OA$ की ढाल $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $OA$ की ढाल $\frac{2t}{t^2} = \frac{2}{t}$ है,हमारे पास $\frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = ((2\sqrt{3})^2, 2(2\sqrt{3})) = (12, 4\sqrt{3})$ और $B = (12, -4\sqrt{3})$ है।
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $C = (12, 0)$ और त्रिज्या $R = 4\sqrt{3}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से केंद्र $C(12,0)$ की दूरी $d = 12$ है।
मूल बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $|d - R| = |12 - 4\sqrt{3}| = 4(3 - \sqrt{3})$ है।

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ $6, 10, 14, 18$ हैं। बारंबारताएँ $(f_i)$ $3, \lambda, 4, 7$ हैं। कुल बारंबारता $N = 14+\lambda$ है।
माध्य $\mu = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3(6) + 10\lambda + 4(14) + 7(18)}{14+\lambda} = \frac{200+10\lambda}{14+\lambda}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2 = 19$.
$\sum f_i x_i^2 = 3160 + 100\lambda$ प्राप्त होता है।
समीकरण को हल करने पर $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 6$ रखने पर,$\mu = \frac{260}{20} = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = 6 + 13 = 19$.

(D) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^{201} = \cos\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right)$.
$z^{201} = \cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{67\pi}{2}\right)$.
चूंकि $\frac{67\pi}{2} = 33\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) = 0$ और $\sin\left(\frac{67\pi}{2}\right) = -1$.
अतः,$z^{201} = 0 + i(-1) = -i$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(z^{201} - i)^{8} = (-i - i)^{8} = (-2i)^{8}$.
$(-2i)^{8} = (-2)^{8} \times i^{8} = 256 \times 1 = 256$.

(D) मान लीजिए कि चार बच्चों को दिए गए संतरों की संख्या $x_1, x_2, x_3, x_4$ है।
चूंकि संतरे समान हैं,हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$ के धनात्मक पूर्णांक हल ज्ञात करने हैं,जहाँ $x_i \geq 1$ है।
$x_i = x_i^{\prime} + 1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,जहाँ $x_i^{\prime} \geq 0$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x_1^{\prime} + x_2^{\prime} + x_3^{\prime} + x_4^{\prime} = 12$।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+k-1}{k-1}$ है,जहाँ $n = 12$ और $k = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3}$।
$\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$।

(C) माना $f(\theta) = cos^{2}\theta - 6sin\theta cos\theta + 3sin^{2}\theta + 2$.
सर्वसमिकाओं $cos^{2}\theta = \frac{1+cos 2\theta}{2}$,$sin^{2}\theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$,और $2sin\theta cos\theta = sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{1+cos 2\theta}{2} - 3sin 2\theta + 3(\frac{1-cos 2\theta}{2}) + 2$
$f(\theta) = 4 - 3sin 2\theta - cos 2\theta$
व्यंजक $a sin x + b cos x$ का मान $[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = -3$ और $b = -1$,इसलिए $\sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$.
अतः,$f(\theta) \in [4-\sqrt{10}, 4+\sqrt{10}]$.
न्यूनतम मान $4-\sqrt{10}$ है.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
अतः,अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ है।
मान लीजिए $P = (x_0, y_0)$ है। चूँकि $PQ$,$x$-अक्ष के लंबवत है और $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा,जहाँ $M$,$P$ से $x$-अक्ष पर लंब का पाद है।
$\triangle OMP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.
चूँकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.
$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
त्रिभुज $OPQ$ की ऊँचाई $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.
त्रिभुज का आधार $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

(D) माना दीर्घवृत्तों के समीकरण $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ और $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ हैं।
इन दोनों दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वक्र का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23) + \lambda(4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35) = 0$.
$(1+4\lambda)x^{2} + (2+2\lambda)y^{2} - (6+20\lambda)x - (12+12\lambda)y + (23+35\lambda) = 0$.
वृत्त के लिए,$x^{2}$ का गुणांक और $y^{2}$ का गुणांक समान होना चाहिए:
$1+4\lambda = 2+2\lambda$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 40.5 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + 13.5 = 0$.
केंद्र $(a, b) = (\frac{8}{3}, 3)$ है।
त्रिज्या $r^{2} = \frac{47}{18}$ प्राप्त होती है।
अतः,$ab + 18r^{2} = (\frac{8}{3} \times 3) + 18(\frac{47}{18}) = 8 + 47 = 55$.

(C) दिया गया समीकरण: $ \log_{(x+3)}(6x^{2}+28x+30)=5-2\log_{(6x+10)}(x+3)^{2} $
गुणनखंड करने पर: $ 6x^{2}+28x+30 = (6x+10)(x+3) $.
अतः,$ \log_{(x+3)}[(6x+10)(x+3)] = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
$ 1 + \log_{(x+3)}(6x+10) = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
माना $ A = \log_{(x+3)}(6x+10) $. तब $ \log_{(6x+10)}(x+3) = \frac{1}{A} $.
समीकरण $ 1 + A = 5 - \frac{4}{A} $ बन जाता है.
$ A - 4 + \frac{4}{A} = 0 \Rightarrow A^{2} - 4A + 4 = 0 $.
$ (A-2)^{2} = 0 \Rightarrow A = 2 $.
$ \log_{(x+3)}(6x+10) = 2 \Rightarrow 6x+10 = (x+3)^{2} $.
$ 6x+10 = x^{2}+6x+9 \Rightarrow x^{2} = 1 $.
$ x = 1 $ या $ x = -1 $.
हलों का योग $= 1 + (-1) = 0$.

(C) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $O$ के निर्देशांक $AC$ का मध्य-बिंदु हैं:
$O = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2-6}{2}\right) = (-1, -2)$।
चूंकि $O$,$BD$ का भी मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = -1 \implies \alpha+\gamma = -2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = -2 \implies \beta+\delta = -4$
हमें $|\alpha+\beta+\gamma+\delta|$ का मान ज्ञात करना है।
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |(\alpha+\gamma) + (\beta+\delta)| = |-2 + (-4)| = |-6| = 6$।

(A) दिया गया है $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ और $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta + \cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta) + (\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta)$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ और $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \cos (8 \theta - \frac{15 \theta}{2}) + \sin (\frac{15 \theta}{2} - 8 \theta) = \cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2})$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,जहाँ $\sin (\frac{\theta}{2}) > \cos (\frac{\theta}{2})$,अतः $\cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2}) < 0$.
व्यंजक का वर्ग करने पर: $(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \sin \theta$.
दिए गए $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ से,$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
अतः,$(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{3}$.
वर्गमूल लेने पर,चूंकि व्यंजक ऋणात्मक है: $\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(B) '$PQRPQRSTUVP$' शब्द में $11$ अक्षर हैं: $P(3), Q(2), R(2), S(1), T(1), U(1), V(1)$। कुल $7$ भिन्न अक्षर हैं।
स्थिति $I$: $3$ समान,$1$ भिन्न: ${}^{1}C_{1} \times {}^{6}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 24$।
स्थिति $II$: $2$ समान,$2$ समान: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2!2!} = 18$।
स्थिति $III$: $2$ समान,$2$ भिन्न: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 540$।
स्थिति $IV$: सभी $4$ भिन्न: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 840$।
कुल शब्द $= 24 + 18 + 540 + 840 = 1422$।

(B) $100$ प्राकृतिक संख्याओं में से दो अलग-अलग संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके $100 \times 99 = 9900$ हैं।
हमें उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $a-b \ge 10$ हो,जिसका अर्थ है $a \ge b+10$.
यदि $b=1$ है,तो $a$ का मान $11$ से $100$ तक कुछ भी हो सकता है ($90$ मान)।
यदि $b=2$ है,तो $a$ का मान $12$ से $100$ तक कुछ भी हो सकता है ($89$ मान)।
इसी प्रकार,यदि $b=90$ है,तो $a$ केवल $100$ हो सकता है ($1$ मान)।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 90 + 89 + \dots + 1 = \frac{90 \times 91}{2} = 4095$.
प्रायिकता $\frac{4095}{9900}$ है।
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $45$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4095 \div 45}{9900 \div 45} = \frac{91}{220}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$m=91$ और $n=220$,इसलिए $\gcd(91, 220) = 1$.
अतः,$m+n = 91 + 220 = 311$.

(D) माना राजमिस्त्री $A$ द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय $x$ दिन है। तब,राजमिस्त्री $B$ अकेले $x+24$ दिन लेगा।
$A$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x}$.
$B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{x+24}$.
$A+B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{22.5} = \frac{2}{45}$.
अतः,$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{2}{45}$.
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{2}{45} \implies 45(x+12) = x^2+24x$.
$x^2 - 21x - 540 = 0$.
$(x-36)(x+15) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 36$ दिन।

(B) दिया गया है $f(\theta)=4(\sin^{4}(\frac{7\pi}{2}-\theta)+\sin^{4}(11\pi+\theta)) - 2(\sin^{6}(\frac{3\pi}{2}-\theta)+\sin^{6}(9\pi-\theta))$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{7\pi}{2}-\theta) = \cos\theta$ और $\sin(11\pi+\theta) = -\sin\theta$.
$\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta) = -\cos\theta$ और $\sin(9\pi-\theta) = \sin\theta$.
इन मानों को रखने पर:
$f(\theta) = 4(\cos^{4}\theta + \sin^{4}\theta) - 2(\cos^{6}\theta + \sin^{6}\theta)$.
$\sin^{4}\theta + \cos^{4}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ और $\sin^{6}\theta + \cos^{6}\theta = 1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 4(1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) - 2(1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) = 2 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$.
चूंकि $\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{\sin^{2}(2\theta)}{4}$,इसलिए:
$f(\theta) = 2 - \frac{\sin^{2}(2\theta)}{2}$.
अधिकतम मान $\alpha$ तब प्राप्त होता है जब $\sin^{2}(2\theta) = 0$,अतः $\alpha = 2$.
न्यूनतम मान $\beta$ तब प्राप्त होता है जब $\sin^{2}(2\theta) = 1$,अतः $\beta = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\alpha + 2\beta = 2 + 2(\frac{3}{2}) = 5$.

(B) दिया गया समुच्चय $S = \{z : 3 \le |2z - 3(1 + i)| \le 7\}$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{3}{2} \le |z - \frac{3}{2}(1 + i)| \le \frac{7}{2}$.
यह एक वलय (annulus) को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ है,आंतरिक त्रिज्या $r_1 = \frac{3}{2}$ और बाहरी त्रिज्या $r_2 = \frac{7}{2}$ है।
हमें बिंदु $P(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$ से समुच्चय $S$ तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है।
दूरी $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}))^2 + (\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$P$ से वलय तक की न्यूनतम दूरी $PC - r_2 = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3}\cos 2\theta + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3}(2\cos^2 \theta - 1) + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3}\cos^2 \theta + 8\cos \theta + 2\sqrt{3} = 0$
$2$ से विभाजित करने पर: $\sqrt{3}\cos^2 \theta + 4\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
गुणनखंड करने पर: $(\sqrt{3}\cos \theta + 1)(\cos \theta + \sqrt{3}) = 0$
अतः $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\cos \theta = -\sqrt{3}$.
$\cos \theta = -\sqrt{3}$ संभव नहीं है।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $[-3\pi, 2\pi]$ अंतराल में कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) विस्तार $(1+2x^2+x^4)(^nC_0 + ^nC_1x + ^nC_2x^2 + ^nC_3x^3 + \dots)$ है।
$x$ का गुणांक $^nC_1 = n$ है।
$x^2$ का गुणांक $2 + ^nC_2 = 2 + \frac{n(n-1)}{2}$ है।
$x^3$ का गुणांक $2(^nC_1) + ^nC_3 = 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ है।
चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,$2 \times (x^2 \text{ का गुणांक}) = (x \text{ का गुणांक}) + (x^3 \text{ का गुणांक})$।
$2 \left[ 2 + \frac{n(n-1)}{2} \right] = n + 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$4 + n(n-1) = 3n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n^3 - 9n^2 + 26n - 24 = 0$.
$n$ के संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।
अतः,$n$ के मानों का योग $2+3+4 = 9$ है।

(A) $8$ संख्याओं का माध्य $\frac{7}{2}$ दिया गया है।
संख्याओं का योग $= -10 - 7 - 1 + x + y + 9 + 2 + 16 = x + y + 9$.
$\frac{x + y + 9}{8} = \frac{7}{2}$ $\Rightarrow x + y + 9 = 28$ $\Rightarrow x + y = 19$ . . . $(1)$
प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{(-10)^2 + (-7)^2 + (-1)^2 + x^2 + y^2 + 9^2 + 2^2 + 16^2}{8} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{491 + x^2 + y^2}{8} = \frac{342}{4} = 85.5$.
$x^2 + y^2 = 193$ . . . $(2)$
$(1)$ से $y = 19 - x$ को $(2)$ में रखने पर:
$x^2 + (19 - x)^2 = 193$ $\Rightarrow 2x^2 - 38x + 168 = 0$ $\Rightarrow x^2 - 19x + 84 = 0$.
$(x - 12)(x - 7) = 0$. अतः $x = 12, y = 7$.
$4$ संख्याएँ $12, 7, 20, 5$ हैं।
माध्य $= \frac{12 + 7 + 20 + 5}{4} = \frac{44}{4} = 11$.

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{101}C_{r+1}}{101}$ प्राप्त होता है।
$S = \frac{1}{101} \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$, जहाँ $k = r+1$ है।
योग $\sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$ द्विपद गुणांकों $(1+x)^{101}$ के अंतिम आधे भाग के योग को दर्शाता है।
चूँकि $\sum_{k=0}^{101} {^{101}C_{k}} = 2^{101}$ और $\sum_{k=0}^{50} {^{101}C_{k}} = \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}} = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$ है।
अतः, $S = \frac{2^{100}}{101}$।

(C) दिया गया समीकरण $(\sqrt{3}-2)|\sqrt{x}-3| + (\sqrt{x}-3)^2 - 2\sqrt{3} = 0$ है।
माना $t = |\sqrt{x}-3|$। तब समीकरण $t^2 + (\sqrt{3}-2)t - 2\sqrt{3} = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t+ \sqrt{3})(t-2) = 0$।
चूंकि $t = |\sqrt{x}-3| \ge 0$,इसलिए $t = 2$ होगा।
अतः,$|\sqrt{x}-3| = 2$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x}-3 = 2$ या $\sqrt{x}-3 = -2$।
इससे $\sqrt{x} = 5$ या $\sqrt{x} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 25$ या $x = 1$।
$\alpha < \beta$ होने के कारण,$\alpha = 1$ और $\beta = 25$ है।
अंत में,$\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\frac{25}{1}} + \sqrt{1 \times 25} = 5 + 5 = 10$।

(B) रेखा का समीकरण $y = x + 1$ है। इसे दीर्घवृत्त के समीकरण $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{2} + (x+1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{3x^2}{2} + 2x = 0$
$x(\frac{3x}{2} + 2) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = -\frac{4}{3}$.
यदि $x = 0$,तो $y = 1$,अतः $A = (0, 1)$.
यदि $x = -\frac{4}{3}$,तो $y = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$,अतः $B = (-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.
दीर्घवृत्त का केंद्र $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \infty$ है (ऊर्ध्वाधर रेखा,कोण $\frac{\pi}{2}$ है)।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{1}{4}$ है।
कोण $\angle AOB = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$।

(D) आयत $x=0, x=3, y=0, y=4$ द्वारा परिबद्ध है। आयत का केंद्र $(\frac{3}{2}, 2)$ है।
कोई भी रेखा जो आयत को दो समान भागों में विभाजित करती है,उसे इसके केंद्र $(\frac{3}{2}, 2)$ से गुजरना चाहिए।
रेखा $L$,$3x+y+6=0$ के लंबवत है। $3x+y+6=0$ की ढाल $-3$ है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $\frac{1}{3}$ है।
$(\frac{3}{2}, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 2 = \frac{1}{3}(x - \frac{3}{2})$
$3y - 6 = x - \frac{3}{2}$
$6y - 12 = 2x - 3$
$2x - 6y + 9 = 0$.
बिंदु $(\frac{1}{2}, -5)$ की रेखा $2x - 6y + 9 = 0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(\frac{1}{2}) - 6(-5) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|1 + 30 + 9|}{\sqrt{4 + 36}}$
$d = \frac{40}{\sqrt{40}} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

(D) फलन $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ के परिभाषित होने के लिए,हमें आवश्यकता है:
$\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 0 \implies \log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 1 \implies 9x - x^{2} - 13 > 7$
$x^{2} - 9x + 20 < 0 \implies (x - 4)(x - 5) < 0 \implies x \in (4, 5)$.
अतः,$m = 4$ और $n = 5$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \frac{n}{3} = \frac{5}{3}$.
चूंकि $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,हमारे पास $\frac{25}{9} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} \implies \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{16}{9} \implies \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \implies b = \frac{4a}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{8m}{3} = \frac{32}{3}$ है।
$b = \frac{4a}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2(16a^{2}/9)}{a} = \frac{32}{3} \implies \frac{32a}{9} = \frac{32}{3} \implies a = 3$.
तब $b = \frac{4(3)}{3} = 4$.
अतः,$b^{2} - a^{2} = 16 - 9 = 7$.

(C) दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके पंचभुज बनाने के लिए,हमें $5$ बिंदु इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी तीन बिंदु संरेख न हों। चूंकि बिंदु त्रिभुज की भुजाओं पर हैं,हम भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ से बिंदु चुन सकते हैं।
स्थिति $1$: $AB$ से $2$ बिंदु,$BC$ से $2$ बिंदु और $AC$ से $1$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 10 \times 4 = 240$.
स्थिति $2$: $AB$ से $2$ बिंदु,$BC$ से $1$ बिंदु और $AC$ से $2$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 6 \times 5 \times 6 = 180$.
स्थिति $3$: $AB$ से $1$ बिंदु,$BC$ से $2$ बिंदु और $AC$ से $2$ बिंदु।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 4 \times 10 \times 6 = 240$.
पंचभुजों की कुल संख्या = $240 + 180 + 240 = 660$.

(B) सर्वसमिका $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ और $\sin ^2 A - \sin ^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
हर: $\sin ^2 24^{\circ} - \sin ^2 6^{\circ} = \sin 30^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
मान रखने पर: $\frac{(1/2) \times ((\sqrt{5}+1)/4)}{(1/2) \times ((\sqrt{5}-1)/4)} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
तुलना करने पर,$\alpha = 3$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta = 4$.

(D) सबसे पहले,समाकल्य को सरल करें: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
मान लीजिए $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$,तो $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$,इसलिए $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
अतः,$f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
दिया है कि $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$,इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है। साथ ही $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$,जो सुसंगत है।
अब,$f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ पर,$f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
दिया है कि $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$,इसलिए $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (संभव नहीं) या $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) मान लीजिए $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.
चूंकि $cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(sin^{-1}x)^{2} - \pi sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$f(x) = 2(sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए,$sin^{-1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ है।
$f(x)$ को अधिकतम करने के लिए,हम $sin^{-1}x$ का वह मान चुनते हैं जो $\frac{\pi}{4}$ से सबसे दूर है,जो कि $-\frac{\pi}{3}$ है।
अधिकतम मान $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
अतः,$m = 29$ और $n = 36$ है। चूंकि $\gcd(29, 36) = 1$,इसलिए $m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) माना $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$.
$z > 0$ के लिए $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{z})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(\frac{1}{1+x(x-1)}) dx$ प्राप्त होता है।
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(x-1)) dx$ प्राप्त होता है।
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(-x)) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(x)) dx$.
चूँकि $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1-x) = \tan^{-1}(\frac{1}{1+x-x^2})$,यह समाकलन $2 \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) dx$ के बराबर है।
खंडशः समाकलन करने पर: $2 [x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{0}^{1} = 2 [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - 0] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$.
दिए गए समीकरण $4I = a \tan^{-1}(2) - b \ln(5)$ से तुलना करने पर,$a=4, b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(B) गुणधर्म $x-1 < [x] \leq x$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $\sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right] \leq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$n^3$ से विभाजित करने और $n \to \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < f(x) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
चूंकि $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमारे पास $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3^{x+1}}$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$f(x) = \frac{1}{3^{x+1}}$.
अब,$12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j) = 12 \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{3^{j+1}} = 12 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \right)$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= 12 \left( \frac{1/9}{1 - 1/3} \right) = 12 \left( \frac{1/9}{2/3} \right) = 12 \left( \frac{1}{6} \right) = 2$.

(A) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $\Delta$ की गणना करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$3(a + 2) - 1(2 + 1) + 4(4 - a) = 0$
$3a + 6 - 3 + 16 - 4a = 0$
$19 - a = 0 \Rightarrow a = 19$
अब,$a = 19$ के लिए $\Delta_x$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -3 & 19 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(19 + 2) - 1(-3 + 4) + 4(-6 - 76)$
$= 3(21) - 1(1) + 4(-82) = 63 - 1 - 328 = -266 \neq 0$
चूँकि $\Delta = 0$ और $\Delta_x \neq 0$ है,इसलिए $a = 19$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \{2, 3, 5, 7, 9\}$। संबंध $R$,$2x \le 3y$ द्वारा परिभाषित है,जिसका अर्थ है $y \ge \frac{2x}{3}$।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम संबंधित $y \in A$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 2$,$y \ge 1.33 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ तत्व)।
यदि $x = 3$,$y \ge 2 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ तत्व)।
यदि $x = 5$,$y \ge 3.33 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ तत्व)।
यदि $x = 7$,$y \ge 4.66 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ तत्व)।
यदि $x = 9$,$y \ge 6 \implies y \in \{7, 9\}$ ($2$ तत्व)।
कुल तत्व $l = 5 + 5 + 3 + 3 + 2 = 18$।
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए।
वर्तमान में $R$ में मौजूद तत्व: $(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (5,5), (5,7), (5,9), (7,5), (7,7), (7,9), (9,7), (9,9)$।
वे जोड़े $(x, y)$ जिनके लिए $(x, y) \in R$ है लेकिन $(y, x) \notin R$ है,वे हैं: $(2,5), (2,7), (2,9), (3,5), (3,7), (3,9), (5,9)$।
$R$ को सममित बनाने के लिए,हमें उनके उल्टे जोड़े जोड़ने होंगे: $(5,2), (7,2), (9,2), (5,3), (7,3), (9,3), (9,5)$।
अतः,$m = 7$।
इसलिए,$l + m = 18 + 7 = 25$।

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -2 \cos x$ और $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
माना $u = -2 \sin x$,तो $du = -2 \cos x dx$,इसलिए $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
समाकलन $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ हो जाता है।
$u = -2 \sin x$ वापस रखने पर: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
चूँकि $y(0) = -\frac{7}{4}$ दिया गया है,$-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\sin x = \frac{1}{2}$,इसलिए $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

(D) त्रिभुज $ABC$ में,हमारे पास $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ है,इसलिए $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$।
शीर्ष $C$ पर कोण $(\pi - \theta)$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos(\pi - \theta) = \frac{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - |\vec{r}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - |\vec{r}|^2}{2(2\sqrt{3})(2)} = \frac{12 + 4 - |\vec{r}|^2}{8\sqrt{3}}$
$-8 = 16 - |\vec{r}|^2 \implies |\vec{r}|^2 = 24$।
अब,हम व्यंजक $|\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{r})|^2 + 3|\vec{r}|^2$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{p} \times (\vec{q} - 3(\vec{p} + \vec{q}))|^2 + 3(24) = |\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{p} - 3\vec{q})|^2 + 72$
$= |\vec{p} \times (-3\vec{p} - 2\vec{q})|^2 + 72 = |-2(\vec{p} \times \vec{q})|^2 + 72$
$= 4|\vec{p} \times \vec{q}|^2 + 72 = 4|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \sin^2 \theta + 72$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$= 4(12)(4)(\frac{2}{3}) + 72 = 16(8) + 72 = 128 + 72 = 200$।

(C) सबसे पहले,हम $A^n$ का सामान्य रूप ज्ञात करते हैं। दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$,जिससे $A^2 = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$A^n = \begin{bmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & -2n+1 \end{bmatrix}$ होता है।
$n=15$ के लिए,$A^{15} = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A^{15}+B = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -29 & 49 \\ -13 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix}$।
समीकरण $(A^{15}+B)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ का रूप $\begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ हो जाता है।
इससे $2x - 11y = 0$ या $2x = 11y$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=11$ और $y=2$ के लिए $2(11) = 22$ और $11(2) = 22$ होता है। अतः,$x=11, y=2$ सही उत्तर है।

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 4 - x^2$,रेखा $y = -2x + 1$ और अक्षों $x \ge 0, y \ge 0$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष } (0,0), (0.5,0), (0,1) \text{ हैं।}$
क्षेत्रफल $= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{2} \times 0.5 \times 1$
$= (8 - \frac{8}{3}) - \frac{1}{4} = \frac{16}{3} - \frac{1}{4} = \frac{64 - 3}{12} = \frac{61}{12}$.
यहाँ $\alpha = 61$ और $\beta = 12$ है,इसलिए $\alpha + \beta = 61 + 12 = 73$.

(C) प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\frac{2a + 1}{30} + \frac{8a - 1}{30} + \frac{4a + 1}{30} + b = 1$
$\frac{14a + 1}{30} + b = 1 \Rightarrow 14a + 30b = 29 \dots (1)$
हमें $\sigma^{2} + \mu^{2} = 2$ दिया गया है। चूँकि $\sigma^{2} = E[X^{2}] - \mu^{2}$ होता है,इसलिए $E[X^{2}] = 2$ होगा।
$E[X^{2}] = \sum x_{i}^{2} p(x_{i}) = 0^{2} \cdot \frac{2a+1}{30} + 1^{2} \cdot \frac{8a-1}{30} + 2^{2} \cdot \frac{4a+1}{30} + 3^{2} \cdot b = 2$
$\frac{8a - 1 + 16a + 4}{30} + 9b = 2$
$\frac{24a + 3}{30} + 9b = 2$ $\Rightarrow 24a + 3 + 270b = 60$ $\Rightarrow 24a + 270b = 57$
$3$ से भाग देने पर: $8a + 90b = 19 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से,$30b = 29 - 14a$ प्राप्त होता है। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8a + 3(29 - 14a) = 19$
$8a + 87 - 42a = 19$
$-34a = -68 \Rightarrow a = 2$
$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर: $14(2) + 30b = 29$ $\Rightarrow 28 + 30b = 29$ $\Rightarrow 30b = 1$ $\Rightarrow b = \frac{1}{30}$
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{2}{1/30} = 60$.

(B) रेखा $L_{1}$ का समीकरण $\frac{x-2}{-3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z-7}{4} = \lambda_{1}$ है। अतः,$L_{1}$ पर कोई भी बिंदु $C$ $(-3\lambda_{1}+2, 2\lambda_{1}+6, 4\lambda_{1}+7)$ है।
रेखा $L_{2}$ का समीकरण $\frac{x-4}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-5}{3} = \lambda_{2}$ है। अतः,$L_{2}$ पर कोई भी बिंदु $D$ $(2\lambda_{2}+4, \lambda_{2}+3, 3\lambda_{2}+5)$ है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = (2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2)\hat{i} + (\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3)\hat{j} + (3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2)\hat{k}$ है।
चूंकि $L_{3}$ सदिश $-3\hat{i}+5\hat{j}+16\hat{k}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{CD}$ के घटक $(-3, 5, 16)$ के समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2}{-3} = \frac{\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3}{5} = \frac{3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2}{16} = k$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda_{1} = -3$ और $\lambda_{2} = 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें $C = (11, 0, -5)$ और $D = (8, 5, 11)$ प्राप्त होता है।
अतः $\overrightarrow{CD} = (8-11)\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (11-(-5))\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 16\hat{k}$ है।
इसलिए,$|\overrightarrow{CD}|^2 = (-3)^2 + 5^2 + 16^2 = 9 + 25 + 256 = 290$.

(D) रेखा $L$ बिंदु $A(-3, 5, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{1} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी सामान्य बिंदु $R$ $(\lambda-3, \lambda+5, \lambda+2)$ है।
मान लीजिए $P = (-2, r, 1)$ है। सदिश $\overrightarrow{PR} = ((\lambda-3) - (-2), (\lambda+5) - r, (\lambda+2) - 1) = (\lambda-1, \lambda+5-r, \lambda+1)$ है।
चूंकि $PR$ लंबवत दूरी है,$\overrightarrow{PR} \cdot \vec{d} = 0$,जहाँ $\vec{d} = (1, 1, 1)$ है।
$(\lambda-1)(1) + (\lambda+5-r)(1) + (\lambda+1)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda - r + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{r-5}{3}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर,$R = (\frac{r-5}{3}-3, \frac{r-5}{3}+5, \frac{r-5}{3}+2) = (\frac{r-14}{3}, \frac{r+10}{3}, \frac{r+1}{3})$ प्राप्त होता है।
दूरी $PR = \sqrt{\frac{14}{3}}$,इसलिए $PR^2 = \frac{14}{3}$ है।
$PR^2 = (\frac{r-14}{3} + 2)^2 + (\frac{r+10}{3} - r)^2 + (\frac{r+1}{3} - 1)^2 = \frac{14}{3}$ है।
$(\frac{r-8}{3})^2 + (\frac{10-2r}{3})^2 + (\frac{r-2}{3})^2 = \frac{14}{3}$ है।
$\frac{r^2-16r+64 + 100-40r+4r^2 + r^2-4r+4}{9} = \frac{14}{3}$ है।
$6r^2 - 60r + 168 = 42 \Rightarrow 6r^2 - 60r + 126 = 0$ है।
$r^2 - 10r + 21 = 0 \Rightarrow (r-3)(r-7) = 0$ है।
$r$ के संभावित मान $3$ और $7$ हैं।
$r$ के सभी संभावित मानों का योग $3 + 7 = 10$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x^{2}f^{\prime}(1) + 2x f^{\prime\prime}(2) + f^{\prime\prime\prime}(3)$.
प्रथम अवकलज: $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2f^{\prime\prime}(2)$.
द्वितीय अवकलज: $f^{\prime\prime}(x) = 6x + 2f^{\prime}(1)$.
तृतीय अवकलज: $f^{\prime\prime\prime}(x) = 6$.
अब,स्थिरांकों का मान ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime\prime}(2) = 6(2) + 2f^{\prime}(1) = 12 + 2f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime\prime\prime}(3) = 6$.
इन मानों को $f^{\prime}(x)$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2(12 + 2f^{\prime}(1)) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए $x = 1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) = 3(1)^{2} + 2(1)f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1) = 3 + 2f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1) = 27 + 6f^{\prime}(1)$.
$-5f^{\prime}(1) = 27 \implies f^{\prime}(1) = -\frac{27}{5}$.
अब $f^{\prime}(1)$ का मान $f^{\prime}(x)$ में रखने पर:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x(-\frac{27}{5}) + 24 + 4(-\frac{27}{5}) = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + 24 - \frac{108}{5} = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + \frac{12}{5}$.
अंत में,$f^{\prime}(5)$ की गणना करने पर:
$f^{\prime}(5) = 3(5)^{2} - \frac{54}{5}(5) + \frac{12}{5} = 75 - 54 + \frac{12}{5} = 21 + \frac{12}{5} = \frac{105 + 12}{5} = \frac{117}{5}$.

(A) दिया गया है $g(x) = f((\tan x - 1)^{2} + a - 1)$।
अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) \cdot 2(\tan x - 1) \cdot \sec^{2}x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f^{\prime\prime}(x) > 0$,$f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(a-1) = 0$ है।
यदि $(\tan x - 1)^{2} > 0$ है,तो $(\tan x - 1)^{2} + a - 1 > a - 1$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}((\tan x - 1)^{2} + a - 1) > f^{\prime}(a - 1) = 0$ है।
$x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए,$\tan x < 1$,इसलिए $(\tan x - 1) < 0$ है। अतः $g^{\prime}(x) = (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{ऋणात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) < 0$ है। इसलिए $g$,$(0, \frac{\pi}{4})$ में ह्रासमान है।
$x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > 1$,इसलिए $(\tan x - 1) > 0$ है। अतः $g^{\prime}(x) = (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) \cdot (\text{धनात्मक}) > 0$ है। इसलिए $g$,$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है।
अतः,न तो कथन $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

(B) सबसे पहले,हम $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ की गणना करते हैं।
$\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} \right]_{0}^{64} = \frac{3}{4} \times 256 = 192$.
$\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ के लिए,हम $[x^{1/3}]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$.
अतः,$\alpha = 192 - 156 = 36$.
अब,हम $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि फलन का आवर्तकाल $\pi$ है,$E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \frac{36 \times 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
मान लीजिए $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$. किंग के गुणधर्म के अनुसार,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
दोनों को जोड़ने पर,$2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 \theta}{\tan^6 \theta + 1} d\theta$.
मान लीजिए $\tan \theta = t$,तो $dt = \sec^2 \theta d\theta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$.
अतः $J = \pi/2$.
अंत में,$E = \frac{72}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 36$.

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{a}$ धनात्मक $z$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\lambda}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+\lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}}$.
दिया गया है $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{2} < \cos \theta < \cos \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
असमिका का वर्ग करने पर,$0 < \frac{\lambda^2}{3+\lambda^2} < \frac{3}{4}$.
चूंकि $\lambda > 0$,बायां भाग हमेशा सत्य है। दाएं भाग के लिए,$4\lambda^2 < 9 + 3\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 < 9 \Rightarrow \lambda < 3$. अतः $\lambda \in (0, 3)$....$(1)$
चूंकि $\overrightarrow{a}$ सदिश $\overrightarrow{b}$ के साथ अधिक कोण बनाता है,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\sqrt{2})(-\lambda^2) + (-1)(4\sqrt{2}) + (\lambda)(4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = -\sqrt{2}(\lambda-2)^2 < 0$.
चूंकि $\sqrt{2} > 0$,इसलिए $(\lambda-2)^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda \neq 2$....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$\lambda \in (0, 3) - \{2\}$.
अतः,$\alpha=0, \beta=3, \gamma=2$.
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = 0+3+2 = 5$.

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(1)=7$ है। यह $f(x)=a^x$ के रूप का फलन है। चूँकि $f(1)=7$ है,इसलिए $a^1=7$,अतः $f(x)=7^x$ है।
दिया गया है कि $g(x+y)=g(xy)$ और $g(1)=1$ है। $y=1$ रखने पर,हमें $g(x+1)=g(x)$ प्राप्त होता है। चूँकि $g(1)=1$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{N}$ के लिए $g(x)=1$ होगा।
दिया गया योग $\sum_{x=1}^{n} \frac{f(x)}{g(x)} = 19607$ है।
फलनों का मान रखने पर,$\sum_{x=1}^{n} \frac{7^x}{1} = 19607$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $7 + 7^2 + \dots + 7^n = 19607$।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$ होता है। यहाँ $a=7$ और $r=7$ है।
$7 \left(\frac{7^n-1}{7-1}\right) = 19607$।
$7 \left(\frac{7^n-1}{6}\right) = 19607$।
$7^n-1 = \frac{19607 \times 6}{7} = 2801 \times 6 = 16806$।
$7^n = 16807$।
चूँकि $7^5 = 16807$ है,इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = [x]^2 - ([x] + 3) - 3 = [x]^2 - [x] - 6$.
गुणनखंड करने पर,$f(x) = ([x] - 3)([x] + 2)$.
$(1)$ $f(x) > 0$ के लिए,$[x] > 3$ या $[x] < -2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in [4, \infty)$ या $x \in (-\infty, -2)$। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$(2)$ $f(x) < 0$ के लिए,$-2 < [x] < 3$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[x] \in \{-1, 0, 1, 2\}$।
इसका अर्थ है $x \in [-1, 3)$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$(3)$ समाकलन की गणना: $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = 0^2 - 0 - 6 = -6$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 1 - 6 = -6$.
अतः,$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 (-6) dx + \int_1^2 (-6) dx = -6 - 6 = -12$. विकल्प $C$ गलत है।
$(4)$ $f(x) = 0$ के लिए,$[x] = 3$ या $[x] = -2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in [3, 4)$ या $x \in [-2, -1)$,जिसमें अनंत मान शामिल हैं। विकल्प $D$ गलत है।

(C) फलन $g(x) = |x|[x^2]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,बशर्ते $|x| \neq 0$ हो।
$[x^2]$ का मान $x^2 \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
$x \in (-2, 2)$ के लिए,$x^2 \in [0, 4)$ है।
$[0, 4)$ में पूर्णांक $0, 1, 2, 3$ हैं।
अतः,$x^2 = 1, 2, 3$ से $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर,$g(x) = |x|[x^2] = 0 \cdot [0] = 0$,और $\lim_{x \to 0} |x|[x^2] = 0$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है।
अतः,$S = \{-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$ है।
अब,$f(x) = \min \{\sqrt{2}x, x^2\}$ है।
$f(-1) = \min \{-\sqrt{2}, 1\} = -\sqrt{2}$।
$f(1) = \min \{\sqrt{2}, 1\} = 1$।
$f(-\sqrt{2}) = \min \{-2, 2\} = -2$।
$f(\sqrt{2}) = \min \{2, 2\} = 2$।
$f(-\sqrt{3}) = \min \{-\sqrt{6}, 3\} = -\sqrt{6}$।
$f(\sqrt{3}) = \min \{\sqrt{6}, 3\} = \sqrt{6}$।
इन मानों का योग: $\sum_{x \in S} f(x) = -\sqrt{2} + 1 - 2 + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1 - \sqrt{2}$।

(C) प्रथम पद $\log_3 \log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85))$ के लिए,हमें $\log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85)) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85) > 1$,इसलिए $\log_2 (x^2 - 10 x + 85) < 6$। इससे $x^2 - 10 x + 85 < 2^6 = 64$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^2 - 10 x + 21 < 0$। गुणनखंड करने पर $(x - 3)(x - 7) < 0$ मिलता है,इसलिए $x \in (3, 7)$।
दूसरे पद $\sin^{-1} ( | \frac{3 x - 7}{17 - x} | )$ के लिए,हमें $0 \leq | \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ की आवश्यकता है। शर्त $| \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ का अर्थ है $(3x - 7)^2 \leq (17 - x)^2$,इसलिए $9x^2 - 42x + 49 \leq 289 - 34x + x^2$। इसे सरल करने पर $8x^2 - 8x - 240 \leq 0$,या $x^2 - x - 30 \leq 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर $(x - 6)(x + 5) \leq 0$ मिलता है,इसलिए $x \in [-5, 6]$।
प्रांतों $(3, 7)$ और $[-5, 6]$ को मिलाने पर,हमें $x \in (3, 6]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 3$ और $\beta = 6$।
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + 6 = 9$।

(B) दिया गया क्षेत्र दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 = 8$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$y^2 = 4x$ को $4x^2 + y^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$4x^2 + 4x - 8 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.
परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x = 1$ प्राप्त होता है। $x=1$ पर,$y^2 = 4$,अतः $y = \pm 2$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} dx + 2 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{8-4x^2} dx$.
$= 4 \int_0^1 \sqrt{x} dx + 4 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} dx$.
$= 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2-x^2} + \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_1^{\sqrt{2}}$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi = \pi + \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) मान लीजिए रेखा $L$ पर कोई बिंदु $(a, b, c) = (2k-1, 3k-1, 6k-3)$ है।
दिया गया है कि इस बिंदु की बिंदु $P(-1, -1, -9)$ से दूरी $7$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(2k-1 - (-1))^2 + (3k-1 - (-1))^2 + (6k-3 - (-9))^2} = 7$.
$\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2 + (6k+6)^2} = 7$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4k^2 + 9k^2 + (6k+6)^2 = 49$.
$13k^2 + 36k^2 + 72k + 36 = 49$.
$49k^2 + 72k - 13 = 0$.
यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $k_1$ और $k_2$ हैं।
बिंदु $(a, b, c)$ के लिए निर्देशांकों का योग $a+b+c = (2k-1) + (3k-1) + (6k-3) = 11k - 5$ है।
$S$ में स्थित दो बिंदुओं के लिए,योग $(11k_1 - 5) + (11k_2 - 5) = 11(k_1 + k_2) - 10$ होगा।
द्विघात समीकरण से,$k_1 + k_2 = -\frac{72}{49}$.
योग $= 11(-\frac{72}{49}) - 10 = -\frac{792}{49} - 10 = -\frac{1282}{49}$.

(D) हम जानते हैं कि $X = A^{-1}B = \frac{\text{adj } A}{|A|} B$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
$|\text{adj } A| = 4(0 - (-10)) - 2(-15 - 5) + 2(10 - 0) = 4(10) - 2(-20) + 2(10) = 40 + 40 + 20 = 100$.
अतः,$|A|^2 = 100$,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 10$.
अब,$X = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \pm \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$x = \pm 2, y = \mp 1, z = \pm 1$.
अतः $|x + y + z| = |\pm(2 - 1 + 1)| = |\pm 2| = 2$.

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & \lambda & 2 \end{vmatrix} = (-2-\lambda) \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$.
दिया गया है $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$,इसलिए $|\overrightarrow{c}|^2 = 53$.
$(-2-\lambda)^2 + (-4)^2 + (2\lambda)^2 = 53$
$4 + 4\lambda + \lambda^2 + 16 + 4\lambda^2 = 53$
$5\lambda^2 + 4\lambda - 33 = 0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(5)(-33)}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 660}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{676}}{10} = \frac{-4 \pm 26}{10}$.
चूंकि $\lambda \in \mathbb{Z}$,हम $\lambda = -3$ लेते हैं (क्योंकि $\frac{22}{10}$ पूर्णांक नहीं है)।
अतः,$\overrightarrow{c} = (-2 - (-3))\hat{i} - 4\hat{j} + 2(-3)\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}$.
मान लीजिए $\overrightarrow{d} = y\hat{j} + z\hat{k}$,$yz$-समतल में एक सदिश है जिसका परिमाण $|\overrightarrow{d}|=2$ है,इसलिए $y^2 + z^2 = 4$.
तब $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (y\hat{j} + z\hat{k}) = -4y - 6z$.
हमें $(-4y - 6z)^2 = (4y + 6z)^2$ को अधिकतम करना है।
कॉची-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,$(4y + 6z)^2 \leq (4^2 + 6^2)(y^2 + z^2) = (16 + 36)(4) = 52 \times 4 = 208$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$.
माना $u = 1+2 \sin y$,तब $du = 2 \cos y \, dy$,अतः $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$.
दाहिनी ओर के लिए,माना $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$। तब $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$,अतः $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$।
$t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ का अवकलन करने पर,$dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$।
अतः,$\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$।
$y(256) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$। अतः $C = 0$।
अब,$y(49) = \alpha$ के लिए: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$।
अतः $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$।
इसलिए,$1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$,जो हमें $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ देता है।

(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D \neq 0$ हो।
$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \\ 1 & n-2 & n+1 \\ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$
$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$
$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$
$D = -n^2 + 3n - 2$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,अतः $-n^2 + 3n - 2 \neq 0$,जिसका अर्थ है $n^2 - 3n + 2 \neq 0$.
$(n-1)(n-2) \neq 0$,इसलिए $n \neq 1$ और $n \neq 2$.
चूंकि $n$ एक पासे का परिणाम है,$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$n$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,वे $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
ऐसे मानों की संख्या $4$ है,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है।
अतः,$k = 4$.
$k$ और $n$ के सभी संभावित मानों का योग $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$। यहाँ $A^T = -A$ है,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
समीकरण $B(I - A) = I + A$ से,$B = (I + A)(I - A)^{-1}$ प्राप्त होता है।
तब $B^T = ((I + A)(I - A)^{-1})^T = ((I - A)^{-1})^T (I + A)^T = (I - A^T)^{-1} (I + A^T)$।
चूँकि $A^T = -A$,इसलिए $B^T = (I - (-A))^{-1} (I + (-A)) = (I + A)^{-1} (I - A)$।
अब,$B^T B = (I + A)^{-1} (I - A) (I + A) (I - A)^{-1}$।
चूँकि $A$ विषम-सममित है,$(I - A)$ और $(I + A)$ क्रमविनिमेय हैं,अर्थात $(I - A)(I + A) = I^2 - A^2 = (I + A)(I - A)$।
अतः,$B^T B = (I + A)^{-1} (I + A) (I - A) (I - A)^{-1} = I \cdot I = I$।
आव्यूह $B^T B$ एक तत्समक आव्यूह $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$.
इसका विस्तार करने पर,$I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$.
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$.
$2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$.
$3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$.
दिया गया है कि $I = x^{2}$,अतः $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$,जो सरल होकर $2 \cos(x) = 2$ या $\cos(x) = 1$ हो जाता है।
$x \in [0, 100]$ के लिए,$\cos(x) = 1$ का अर्थ है $x = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
चूँकि $2n\pi \le 100$,इसलिए $n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$.
अतः,$n$ के मान $0, 1, 2, \dots, 15$ हो सकते हैं,जो कुल $16$ मान देते हैं।

(C) माना रेखा $L_1$ है $\frac{x}{2} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$ है।
चूंकि $Q$,$P(a, 2, a)$ का $L_1$ में प्रतिबिंब है,इसलिए $PQ$ का मध्य बिंदु $L_1$ पर स्थित है और $PQ$,$L_1$ के लंबवत है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M$ है $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$। अतः,$Q = (4\lambda-a, 2\lambda-2a-2, 2\lambda-a)$।
सदिश $\vec{PQ} = (3\lambda-2a, 2\lambda-2a-4, 2\lambda-2a)$। चूंकि $\vec{PQ} \perp (2, 1, 1)$,
$2(3\lambda-2a) + 1(2\lambda-2a-4) + 1(2\lambda-2a) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 8a - 4 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 4a = 2$।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा $L_2: \frac{x-2b}{2} = \frac{y-a}{1} = \frac{z+2b}{-5} = \mu$ के लिए,$Q$ का प्रतिबिंब $P$ है।
$L_2$ के लिए समान तर्क का पालन करते हुए,हमें $a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 1+2 = 3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ है।
$(x^2-4)^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2-4)^2} = -2x$.
यह भागफल नियम का अवकलन है: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2-4} \right) = -2x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2-4} = -x^2 + C$.
अतः,$y = (-x^2+C)(x^2-4)$.
चूंकि वक्र बिंदु $(3, 15)$ से गुजरता है,$x=3$ और $y=15$ रखने पर: $15 = (-9+C)(9-4) \Rightarrow 15 = 5(-9+C) \Rightarrow 3 = -9+C \Rightarrow C=12$.
इस प्रकार,$f(x) = (12-x^2)(x^2-4)$.
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर: $f^{\prime}(x) = (-2x)(x^2-4) + (12-x^2)(2x) = -2x^3 + 8x + 24x - 2x^3 = -4x^3 + 32x = 0$.
$-4x(x^2-8) = 0$. चूंकि $x>2$,इसलिए $x^2=8$,अर्थात $x=2\sqrt{2}$.
स्थानीय अधिकतम मान $f(2\sqrt{2}) = (12-8)(8-4) = 4 \times 4 = 16$ है।

(B) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में $10$ अवयव हैं।
हम $A$ को $3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर तुल्यता वर्गों में विभाजित करते हैं:
$C_0 = \{0, 3, 6, 9\}$ (आकार $4$)
$C_1 = \{1, 4, 7\}$ (आकार $3$)
$C_2 = \{2, 5, 8\}$ (आकार $3$)
$(x, y) \in R$ के लिए,$|x - y|$,$3$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ और $y$ को एक ही तुल्यता वर्ग का होना चाहिए।
$R$ में अवयवों की संख्या $n(R) = |C_0|^2 + |C_1|^2 + |C_2|^2 = 4^2 + 3^2 + 3^2 = 16 + 9 + 9 = 34$ है।
अतः,कथन $I$ गलत है $(34 \neq 36)$।
कथन $II$ के लिए:
$1$. स्वतुल्य: $|x - x| = 0$,जो $3$ का गुणज है।
$2$. सममित: यदि $|x - y| = 3k$ है,तो $|y - x| = 3k$ होगा।
$3$. संक्रामक: यदि $|x - y| = 3k$ और $|y - z| = 3m$ है,तो $|x - z| = |(x - y) + (y - z)| = 3|k \pm m|$,जो $3$ का गुणज है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। कथन $II$ सही है।

(C) दिया गया है $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{4x^2+8x+3}}$.
समाकल को $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{(2x+2)^2-1}}$ के रूप में लिखें।
मान लीजिए $2x+2 = \sec \theta$,तो $2dx = \sec \theta \tan \theta d\theta$.
साथ ही,$4x+6 = 2(2x+2)+2 = 2\sec \theta + 2 = 2(\sec \theta + 1)$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I(x) = \int \frac{3 \cdot \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta d\theta}{2(\sec \theta + 1)\tan \theta} = \frac{3}{4} \int \frac{\sec \theta}{\sec \theta + 1} d\theta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{\cos \theta + 1} d\theta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{2 \cos^2(\theta/2)} d\theta = \frac{3}{8} \int \sec^2(\theta/2) d\theta$.
$I(x) = \frac{3}{8} \cdot 2 \tan(\theta/2) + C = \frac{3}{4} \tan(\theta/2) + C$.
चूंकि $\sec \theta = 2x+2$,$\tan^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-1/(2x+2)}{1+1/(2x+2)} = \frac{2x+1}{2x+3}$.
अतः,$I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + C$.
दिया गया है $I(0) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{3}} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + 20$,इसलिए $C=20$.
इस प्रकार,$I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + 20$.
$x = 1/2$ के लिए,$I(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1+1}{1+3}} + 20 = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2}{4}} + 20 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 20 = \frac{3\sqrt{2}}{8} + 20$.
यहाँ $a=3, b=8, c=20$ है। $gcd(3,8)=1$.
इसलिए,$a+b+c = 3+8+20 = 31$.

(D) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $(0,0)$,त्रिज्या $2$) और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (केंद्र $(0,2)$,त्रिज्या $2$) हैं।
समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+y^{2}-4y+4=4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $x^{2}+y^{2}=4$ रखने पर: $4-4y+4=4$,जिससे $4y=4$ प्राप्त होता है,अतः $y=1$ है।
$y=1$ को $x^{2}+y^{2}=4$ में रखने पर,हमें $x^{2}+1=4$ मिलता है,इसलिए $x^{2}=3$,$x=\pm\sqrt{3}$ है।
प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} [\sqrt{4-x^{2}} - (2 - \sqrt{4-x^{2}})] dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (2\sqrt{4-x^{2}} - 2) dx = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-x^{2}} - 1) dx$ है।
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 4 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) - x]_{0}^{\sqrt{3}}$
$A = 4 [(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}]$
$A = 4 [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}] = 4 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{2}{3}(4\pi - 3\sqrt{3})$।

(B) मान लीजिए $W_B$ बैग $B$ से सफेद गेंद चुनने की घटना है,और $B_B$ बैग $B$ से काली गेंद चुनने की घटना है।
$P(W_B) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(B_B) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
यदि एक सफेद गेंद बैग $A$ में स्थानांतरित की जाती है,तो बैग $A$ में अब $10$ सफेद और $8$ काली गेंदें (कुल $18$) हैं। बैग $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_A | W_B) = \frac{10}{18}$ है।
यदि एक काली गेंद बैग $A$ में स्थानांतरित की जाती है,तो बैग $A$ में अब $9$ सफेद और $9$ काली गेंदें (कुल $18$) हैं। बैग $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_A | B_B) = \frac{9}{18}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W_A) = P(W_B) \times P(W_A | W_B) + P(B_B) \times P(W_A | B_B)$
$P(W_A) = \frac{3}{5} \times \frac{10}{18} + \frac{2}{5} \times \frac{9}{18}$
$P(W_A) = \frac{30}{90} + \frac{18}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$
अतः,$p=8$ और $q=15$ है। चूँकि $gcd(8,15)=1$,इसलिए $p+q = 8+15 = 23$।

(D) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$.
इसका अर्थ है $\vec{a} \times (\vec{b} - 2\vec{c}) = 0$.
अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{b} - 2\vec{c} = \lambda \vec{a}$ होगा।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर: $|\vec{b} - 2\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 4(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 (1)^2$.
दिया है $|\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 2$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^{\circ}) = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः,$16 + 4(4) - 4(4) = \lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 = 16 \Rightarrow \lambda = \pm 4$.
अब,$\vec{b} - 2\vec{c} = \pm 4\vec{a}$.
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\vec{b} - 2\vec{c}) \cdot \vec{c} = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 2|\vec{c}|^2 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$4 - 2(4) = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) \Rightarrow -4 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$|\vec{a} \cdot \vec{c}| = |\frac{-4}{\pm 4}| = 1$.

(B) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 6$
$2x + 5y + az = 36$
$x + 2y + 3z = b$
सबसे पहले,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & a \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2a) - 1(6 - a) + 1(4 - 5) = 8 - a$.
निकाय के अनंत हल होने या कोई हल न होने के लिए $D = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = 8$.
अब,$a = 8$ के साथ $D_3$ की गणना करें:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 36 \\ 1 & 2 & b \end{vmatrix} = 1(5b - 72) - 1(2b - 36) + 6(4 - 5) = 3b - 42$.
$D_3 = 0$ के लिए,हमें $3b = 42$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 14$.
जब $a = 8$ और $b = 14$ हो,तो हम $D_1$ और $D_2$ की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 36 & 5 & 8 \\ 14 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$ और $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 36 & 8 \\ 1 & 14 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
चूँकि $a = 8$ और $b = 14$ के लिए $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(A) सबसे पहले,हम समुच्चय $A$ के अवयव ज्ञात करते हैं:
$|(|x - 3| - 3)| \leq 1 \implies -1 \leq |x - 3| - 3 \leq 1$
$2 \leq |x - 3| \leq 4$
इसका अर्थ है $2 \leq x - 3 \leq 4$ या $-4 \leq x - 3 \leq -2$
$5 \leq x \leq 7$ या $-1 \leq x \leq 1$
चूंकि $x \in \mathbb{Z}$,$A = \{-1, 0, 1, 5, 6, 7\}$। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 6$ है।
अब,हम समुच्चय $B$ के अवयव ज्ञात करते हैं:
$\frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 1} \log_{e}(|x - 2|) = 0$
इसका अर्थ है $(x - 2)(x - 4) = 0$ या $\log_{e}(|x - 2|) = 0$।
यदि $(x - 2)(x - 4) = 0$,तो $x = 2$ या $x = 4$। चूंकि $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$,हम $x = 4$ स्वीकार करते हैं।
यदि $\log_{e}(|x - 2|) = 0$,तो $|x - 2| = 1$,इसलिए $x - 2 = 1$ या $x - 2 = -1$।
इससे $x = 3$ या $x = 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$,हम $x = 3$ स्वीकार करते हैं।
अतः,$B = \{3, 4\}$,और $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय पर आच्छादक फलनों की संख्या $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \dots$ द्वारा दी जाती है।
$n = 6$ और $m = 2$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c}=\lambda\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1+4) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
दिया गया है $\vec{v} \cdot \vec{c} = 11$,इसलिए $(-\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11$.
$-\lambda + 7 + 5 = 11 \Rightarrow -\lambda + 12 = 11 \Rightarrow \lambda = 1$.
अब,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$। $\vec{b}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $p = \left| \vec{b} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} \right|$ है।
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$p = \left| (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2 + 1 - 1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$9p^2 = 9 \times \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 9 \times \frac{4}{3} = 12$.

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(x > 0)$ पर विचार करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ax + x^2 - 2\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( a + x - \frac{\sin(2x)}{x} \right) = a + 0 - 2 = a - 2$.
अब,बाईं सीमा $(x < 0)$ पर विचार करें:
माना $x = -h$ जहाँ $h > 0$ है। जैसे $x \to 0^-$,वैसे ही $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{a|-h| + (-h)^2 - 2\sin|-h|\cos|-h|}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{ah + h^2 - 2\sin h \cos h}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \left( -a - h + \frac{\sin(2h)}{h} \right) = -a - 0 + 2 = -a + 2$.
सांतत्य के लिए,$a - 2 = -a + 2 = b$.
$a - 2 = -a + 2$ से,$2a = 4$,अतः $a = 2$.
$b = a - 2$ में $a = 2$ रखने पर,$b = 2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a + b = 2 + 0 = 2$.

(B) दिया गया समीकरण: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है।
लेबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$।
यह सरल होकर $(f(x) - f'(x))^2 = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $f'(x) = f(x)$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$।
$x = 0$ पर,$(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (चूंकि $f$ अ-ऋणात्मक है)।
अतः,$A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$,इसलिए $f(x) = 5 e^x$।
हमें $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ का माध्य ज्ञात करना है।
चूंकि $f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$,माध्य होगा:
$\text{माध्य} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} \times \frac{625 \times 626}{2} = \frac{5 \times 626}{2} = 5 \times 313 = 1565$।

(B) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{3\pi}{2}$ तक वक्र $y=\max\{\sin x, \cos x\}$ और x-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
हम समाकलन को उन अंतरालों के आधार पर विभाजित करते हैं जहाँ $\sin x$ या $\cos x$ बड़े होते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} |\sin x| \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$
चूंकि क्षेत्रफल x-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए हम फलनों का निरपेक्ष मान लेते हैं जहाँ वे ऋणात्मक होते हैं।
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin x) \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{5\pi/4} + [-\sin x]_{5\pi/4}^{3\pi/2}$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$
अतः,$A+A^2 = 3 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

(B) दिया गया है $|A|=6$ और $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|adj(k A)| = k^{n-1} |adj(A)|$ और $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$adj(2A) = 2^{3-1} adj(A) = 4 adj(A)$।
तब,$A^2 \cdot adj(2A) = A^2 \cdot 4 adj(A) = 4 A (A \cdot adj(A)) = 4 A |A| I_3 = 4 \cdot 6 \cdot A = 24A$।
अब,$3 adj(24A) = 3 \cdot 24^{3-1} adj(A) = 3 \cdot 24^2 adj(A) = 3 \cdot (2^3 \cdot 3)^2 adj(A) = 3 \cdot 2^6 \cdot 3^2 adj(A) = 2^6 \cdot 3^3 adj(A)$।
माना $K = 2^6 \cdot 3^3$ है। तो हमें $|adj(K adj(A))|$ ज्ञात करना है।
$3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए $|adj(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ का उपयोग करते हुए:
$|adj(K adj(A))| = |K adj(A)|^2 = K^6 |adj(A)|^2 = K^6 (|A|^{3-1})^2 = K^6 |A|^4$।
$K = 2^6 \cdot 3^3$ और $|A|=6 = 2^1 \cdot 3^1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|adj(K adj(A))| = (2^6 \cdot 3^3)^6 \cdot (2^1 \cdot 3^1)^4 = (2^{36} \cdot 3^{18}) \cdot (2^4 \cdot 3^4) = 2^{40} \cdot 3^{22}$।
अतः,$m=40$ और $n=22$ है।
इसलिए,$m+n = 40+22 = 62$।

(D) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$4l + m - n = 0 \implies n = 4l + m$ ... $(1)$
$2mn + 10nl + 3lm = 0$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ में $n = 4l + m$ रखने पर:
$2m(4l + m) + 10l(4l + m) + 3lm = 0$
$8lm + 2m^2 + 40l^2 + 10lm + 3lm = 0$
$40l^2 + 21lm + 2m^2 = 0$
$(8l + m)(5l + 2m) = 0$
स्थिति $1$: $m = -8l$. तब $n = 4l - 8l = -4l$. दिक्-अनुपात $(l, -8l, -4l)$ या $(1, -8, -4)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $m = -\frac{5}{2}l$. तब $n = 4l - \frac{5}{2}l = \frac{3}{2}l$. दिक्-अनुपात $(l, -\frac{5}{2}l, \frac{3}{2}l)$ या $(2, -5, 3)$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (1, -8, -4)$ और $\vec{b} = (2, -5, 3)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(2) + (-8)(-5) + (-4)(3)|}{\sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-4)^2} \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 40 - 12|}{\sqrt{1 + 64 + 16} \sqrt{4 + 25 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{81} \sqrt{38}} = \frac{30}{9 \sqrt{38}} = \frac{10}{3 \sqrt{38}}$.

(A) रेखा का समीकरण $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ है।
चूंकि $B(4, 9, \alpha)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{4}{1} = \frac{9-1}{2} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow 4 = 4 = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha = 14$.
माना $AD$,$A(1, 6, 3)$ से रेखा $BC$ पर डाला गया लंब है। $D$,रेखा पर $A$ का प्रक्षेप है,इसलिए $D(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$.
सदिश $\vec{AD} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda+1-6)\hat{j} + (3\lambda+2-3)\hat{k} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda-5)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AD}$ रेखा की दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\lambda-1)(1) + (2\lambda-5)(2) + (3\lambda-1)(3) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$D = (1, 2(1)+1, 3(1)+2) = (1, 3, 5)$.
लंब $AD$ की लंबाई $= \sqrt{(1-1)^2 + (3-6)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 10 \times \sqrt{13} = 5\sqrt{13}$ वर्ग इकाई।

(A) कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $\cos \alpha = x, \cos \beta = y, \cos \gamma = z$ है।
दिया गया समीकरण $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ x & 0 & z \\ y & z & 0 \end{vmatrix}$ है।
बाएँ सारणिक का विस्तार: $1(1-z^2) - x(x-yz) + y(xz-y) = 1 - z^2 - x^2 + xyz + xyz - y^2 = 1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz$ है।
दाएँ सारणिक का विस्तार: $0(0-z^2) - x(0-yz) + y(xz-0) = xyz + xyz = 2xyz$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz = 2xyz \implies x^2+y^2+z^2 = 1$ है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \neq \frac{3}{2}$ है। कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $f(x) = \begin{vmatrix} x^{2}+x & x+1 & x-2 \\ 2x^{2}+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^{2}+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = px+q$ है।
$x=0$ रखने पर: $q = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0(0-3) - 1(1+9) - 2(1-0) = -10 - 2 = -12$ है।
$x=1$ रखने पर: $p+q = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3-3) - 2(4-18) - 1(4-18) = 0 + 28 + 14 = 42$ है।
चूंकि $q = -12$ है,इसलिए $p - 12 = 42 \implies p = 54$ है।
$p^2 = 196q^2$ की जाँच करने पर: $54^2 = 2916$ और $196(-12)^2 = 196 \times 144 = 28224$ है।
चूंकि $2916 \neq 28224$ है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ ...$(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(2(\frac{\pi}{4}-x))}}$
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(\frac{\pi}{2}-2x)}}$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cot \theta$,इसलिए:
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\cot 2x}} = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{\sqrt[3]{\tan 2x} dx}{\sqrt[3]{\tan 2x} + 1}$ ...$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}} dx = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} 1 dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(B) $f(x)$ को $x = -\frac{3}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to -\frac{3}{2}} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(-\frac{3}{2}) = b$ के बराबर होना चाहिए।
चूंकि हर $(2x-1)(2x+3)$ का मान $x \to -\frac{3}{2}$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश $ax^2 + 2ax + 3$ को भी $0$ होना चाहिए।
$a(-\frac{3}{2})^2 + 2a(-\frac{3}{2}) + 3 = 0$ $\Rightarrow \frac{9a}{4} - 3a + 3 = 0$ $\Rightarrow -\frac{3a}{4} = -3$ $\Rightarrow a = 4$.
$a=4$ रखने पर,$f(x) = \frac{4x^2+8x+3}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{(2x+1)(2x+3)}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{2x+1}{2x-1}$ जहाँ $x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$.
अब,$f(f(x)) = f\left(\frac{2x+1}{2x-1}\right) = \frac{2(\frac{2x+1}{2x-1}) + 1}{2(\frac{2x+1}{2x-1}) - 1} = \frac{4x+2+2x-1}{4x+2-2x+1} = \frac{6x+1}{2x+3}$.
दिया गया है कि $f(f(x)) = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{6x+1}{2x+3} = \frac{7}{5}$.
$5(6x+1) = 7(2x+3)$ $\Rightarrow 30x + 5 = 14x + 21$ $\Rightarrow 16x = 16$ $\Rightarrow x = 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$ प्राप्त होता है।
इसे $d(x^{4}y) = -2\sin x dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int d(x^{4}y) = \int -2\sin x dx$,जिससे $x^{4}y = 2\cos x + C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ दी गई है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(\frac{\pi}{2})^{4}(0) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + C
\Rightarrow 0 = 2(0) + C
\Rightarrow C = 0$.
अतः,हल $x^{4}y = 2\cos x$ है।
अब,हमें $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ ज्ञात करना है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$(\frac{\pi}{3})^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3})$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,हमें $\frac{\pi^{4}}{81} y(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\pi^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 81$।

(C) दिया गया है $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ और $xRy \iff 2x + y \le 2$ है।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम $y \in A$ ज्ञात करते हैं ताकि $y \le 2 - 2x$ हो:
- यदि $x = -2$,$y \le 6 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ अवयव)।
- यदि $x = -1$,$y \le 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ अवयव)।
- यदि $x = 0$,$y \le 2 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ($5$ अवयव)।
- यदि $x = 1$,$y \le 0 \implies y \in \{-2, -1, 0\}$ ($3$ अवयव)।
- यदि $x = 2$,$y \le -2 \implies y \in \{-2\}$ ($1$ अवयव)।
- यदि $x = 3$,$y \le -4 \implies$ कोई $y \in A$ नहीं है।
- यदि $x = 4$,$y \le -6 \implies$ कोई $y \in A$ नहीं है।
कुल अवयव $l = 7 + 7 + 5 + 3 + 1 = 23$ हैं।
स्वतुल्यता के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। जाँचने पर: $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ $R$ में हैं। $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ अनुपस्थित हैं। अतः $m = 4$ है।
सममितता के लिए,यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। $R$ में ऐसे अवयव $(x, y)$ जिनके लिए $(y, x) \notin R$ है,वे हैं: $(3, -2), (4, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -1), (4, -1)$। ऐसे $6$ युग्म हैं। अतः $n = 6$ है।
अतः,$l + m + n = 23 + 4 + 6 = 33$।