sum_{k=1}^{infty}(-1)^{k+1}(frac{k(k+1)}{k!}) | vedclass

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Question

(B) हमें श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ दी गई है।ध्यान दें कि $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!

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$1/e$

Vedclass · Answer

(B) हमें श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ दी गई है।ध्यान दें कि $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!} + \frac{2k}{k!} = \frac{1}{(k-2)!} + \frac{2}{(k-1)!}$ जहाँ $k \ge 2$ है।$k=1$ के लिए,पद $(-1)^{1+1}\frac{1(2)}{1!} = 2$ है।योग का विस्तार करने पर: $S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{k(k-1)}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2k}{k!}$.$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-2)!} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!}$.पहले योग में $j = k-2$ और दूसरे योग में $m = k-1$ रखने पर:$S = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} + 2 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m!}$.चूँकि $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$,इसलिए:$S = -(\frac{1}{e}) + 2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.

$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(\frac{k(k+1)}{k!})$ का मान है :

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