જો alpha એ સમીકરણ x^2+x+1=0 નું બીજ હોય અને s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.$\frac{1}{\omeg

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ હોવાથી,પદ $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ એ $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ માં સાદું રૂપ પામે છે.આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$.આ $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ છે.જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,ધારો કે $n=3m$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,તેથી $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ નો ગુણક નથી).જો $n = 3m+1$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,તેથી $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).જો $n = 3m+2$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,તેથી $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.$11 = 3(3) + 2$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.

જો $\alpha$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ નું બીજ હોય અને $\sum_{k=1}^n\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2=20$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $z \in \mathbb{C}$ એવું છે કે $\frac{z^2+3i}{z-2+i}=2+3i$. તો $z^2$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\frac{(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)}{(\cot u + i)(1 + i\tan v)}$ નું $A + iB$ સ્વરૂપ શું છે?

જો $i = \sqrt{-1}$ હોય, તો $\frac{e^{xi} + e^{-xi}}{2} = $

$\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$ નું સમાધાન કરતી તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z$ ના માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module