ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+2y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ

Vedclass · Accepted Answer

$21$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 \sec^2 x$ અને $Q(x) = 2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int 2 \sec^2 x dx} = e^{2 	an x}$.ઉકેલ $y \cdot e^{2 	an x} = \int (2 \sec^2 x + 3 	an x \sec^2 x) e^{2 	an x} dx$ છે.ધારો કે $u = 	an x$,તો $du = \sec^2 x dx$. સંકલન $\int (2 + 3u) e^{2u} du$ બને છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (2 + 3u) e^{2u} du = (2 + 3u) \frac{e^{2u}}{2} - \int 3 \frac{e^{2u}}{2} du = (1 + \frac{3}{2}u) e^{2u} - \frac{3}{4} e^{2u} + C = (\frac{3}{2}u + \frac{1}{4}) e^{2u} + C$.તેથી,$y \cdot e^{2 	an x} = (\frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4}) e^{2 	an x} + C$.$e^{2 	an x}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4} + C e^{-2 	an x}$ મળે છે.$y(0) = \frac{5}{4}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{5}{4} = 0 + \frac{1}{4} + C \implies C = 1$.આમ,$y(x) = \frac{3}{2} 	an x + \frac{1}{4} + e^{-2 	an x}$.$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4} + e^{-2} = \frac{7}{4} + e^{-2}$.તેથી,$12(y(\frac{\pi}{4}) - e^{-2}) = 12(\frac{7}{4}) = 21$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?

વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module