आठ व्यक्तियों को शहर $A$ से शहर $B$ तक तीन अलग-अलग मेक (make) की कारों में ले जाना है। यदि प्रत्येक कार में अधिकतम तीन व्यक्ति बैठ सकते हैं,तो उन्हें ले जाने के तरीकों की संख्या $...........$ है।

$15$ अलग-अलग पुस्तकों को समान संख्या के $5$ ढेरों में विभाजित करने के तरीकों की सही संख्या चुनें।

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

मान लीजिए कि समुच्चय $S = \{2, 4, 8, 16, \ldots, 512\}$ को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में समान संख्या में अवयवों के साथ विभाजित किया जाता है,ताकि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = A \cap C = \phi$ हो। $S$ के ऐसे संभावित विभाजनों की संख्या किसके बराबर है?

विभिन्न रंगों की $4$ गेंदें हैं और गेंदों के रंगों के समान ही $4$ बक्से हैं। $2$ गेंदों को बक्सों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि वे अपने संबंधित रंगों से मेल न खाएं?

मान लीजिए $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}}$ और $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}}$. तो: