मान लीजिए $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,जहाँ $x > 0$ है। तो $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx =$

मान लीजिए $F(x)$,$\sin ^2 x$ का एक अनिश्चित समाकल है।
कथन -$1$ : फलन $F(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए $F(x+\pi)=F(x)$ को संतुष्ट करता है। क्योंकि
कथन -$2$: सभी वास्तविक $x$ के लिए $\sin ^2(x+\pi)=\sin ^2 x$ है।

$\int \frac{\sqrt{1-x^2} \sin ^{-1} x+x}{\sqrt{1-x^2}} d x=$

यदि $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ है,तो $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $g:(0, \infty) \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$ सभी $x > 0$ के लिए,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है। तो: