यदि समतलों 2x - y + z = 3 और 4x - 3y + 5z + 9 | vedclass

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Question

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lamb

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$14$

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(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(2 + 4\lambda) + y(-1 - 3\lambda) + z(1 + 5\lambda) + (-3 + 9\lambda) = 0$.चूंकि यह समतल रेखा $(-2, 4, 5)$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(2 + 4\lambda, -1 - 3\lambda, 1 + 5\lambda)$ और दिशा सदिश $(-2, 4, 5)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:$-2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.$-4 - 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.$5\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{5}$.$\lambda = \frac{3}{5}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:$(2x - y + z - 3) + \frac{3}{5}(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.$5(2x - y + z - 3) + 3(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.$10x - 5y + 5z - 15 + 12x - 9y + 15z + 27 = 0$.$22x - 14y + 20z + 12 = 0$.$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $11x - 7y + 10z + 6 = 0$.$ax + by + cz + 6 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = -7, c = 10$ प्राप्त होता है।अतः,$a + b + c = 11 - 7 + 10 = 14$.

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