मान लीजिए कि दीर्घवृत्त E : x^2 + 9y^2 = 9 धन | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। धनात्मक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।$E$ का दीर्घ अक्ष $x$-अक

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$17$

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(C) दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। धनात्मक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।$E$ का दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है जिसकी लंबाई $2a = 6$ है। अतः,दीर्घ अक्ष को व्यास मानकर वृत्त $C$ का केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है। वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है।$A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ अर्थात $x + 3y = 3$ है। वृत्त के समीकरण में $x = 3 - 3y$ रखने पर:$(3 - 3y)^2 + y^2 = 9$$9 - 18y + 9y^2 + y^2 = 9$$10y^2 - 18y = 0$$2y(5y - 9) = 0$अतः,$y = 0$ (जो बिंदु $A$ है) या $y = \frac{9}{5}$.यदि $y = \frac{9}{5}$ है,तो $x = 3 - 3(\frac{9}{5}) = 3 - \frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$. इस प्रकार,$P = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$.त्रिभुज $OAP$ का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(3, 0)$,और $P(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ हैं,$\frac{1}{2} |x_O(y_A - y_P) + x_A(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_A)| = \frac{1}{2} |0 + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$ है।यहाँ $m = 27$ और $n = 10$ हैं,जो सह-अभाज्य हैं। इसलिए,$m - n = 27 - 10 = 17$.

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