मान लीजिए कि $m$ और $n$ द्विघात समीकरणों $x^2-12x+[x]+31=0$ और $x^2-5|x+2|-4=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या हैं,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। तो $m^2+mn+n^2$ का मान $..............$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं,तो वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3)$ और $\alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3$ हैं (जहाँ $S = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$ और $P = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$)।

यदि $x$ वास्तविक है,तो व्यंजक $\frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ का अधिकतम और न्यूनतम मान क्या होगा?

समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x, y, a, b, c$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।

मान लीजिए $a, b, c, d \in R^+$ इस प्रकार हैं कि $256abcd \geq (a+b+c+d)^4$ और $3a + b + 2c + 5d = 11$ है। तो $a^3 + b + c^2 + 5d$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ समीकरण $x^2-70x+\lambda=0$ के मूल हैं,जहाँ $\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{3} \notin \mathbb{N}$ है। यदि $\lambda$ न्यूनतम संभव मान ग्रहण करता है,तो $\frac{(\sqrt{\alpha-1}+\sqrt{\beta-1})(\lambda+35)}{|\alpha-\beta|}$ का मान ज्ञात कीजिए: