माना फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{\lceil\mathrm{x}\rceil-\mathrm{x}}}$ जहाँ $\lceil\mathrm{x}\rceil$ न्यूनतम पूर्णांक $\geq x$ है, के प्रांत तथा परिसर क्रमशः समुच्चय $A$ तथा $B$ है। तो कथनों

$(\mathrm{S} 1): \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=(1, \infty)-\mathrm{N}$ तथा

$(\mathrm{S} 2): \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=(1, \infty)$ में

माना $f(\theta ) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta )$, तब $f(\theta )$

सिद्ध कीजिए कि $f: R \rightarrow\{x \in R :-1 < x < 1\}$ जहाँ $f(x)=\frac{x}{1+|x|}, x \in R$ द्वारा

परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है ।

$f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}+\log _{10}\left(x^{3}-x\right)$ द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत है 

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_* , \rightarrow R_*$, एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$, सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$, को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?

फलन $\cos ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{4 x^2-1}\right)}{\pi}\right)$ का प्रांत है :