मान लीजिए f(x) एक फलन है जो f(x) + f(pi - x) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{

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$\pi^2$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin x \, dx$  $(2)$समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi} [f(x) + f(\pi - x)] \sin x \, dx$दिया गया है कि $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2$,इसलिए:$2I = \int_{0}^{\pi} \pi^2 \sin x \, dx$$2I = \pi^2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$$2I = \pi^2 [-\cos x]_{0}^{\pi}$$2I = \pi^2 [-(\cos \pi - \cos 0)]$$2I = \pi^2 [-(-1 - 1)]$$2I = \pi^2 [2]$$2I = 2\pi^2$$I = \pi^2$

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2, \forall x \in R$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ का मान $...........$ है।

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