मान लीजिए f(x) = frac{x}{(1+x^n)^{1/n}},x in | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.हम संयोजन के लिए पैटर्न देखते हैं:$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+(f(x))^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}

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(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.हम संयोजन के लिए पैटर्न देखते हैं:$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+(f(x))^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.गणितीय आगमन द्वारा,$f^n(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.हमें $I = \lim_{n 	o \infty} \int_0^1 x^{n-2} \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}} dx = \lim_{n 	o \infty} \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} dx$ का मूल्यांकन करना है।मान लीजिए $t = 1 + nx^n$,तो $dt = n^2 x^{n-1} dx$,इसलिए $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n^2}$.जब $x 	o 0, t 	o 1$ और जब $x 	o 1, t 	o 1+n$.$I = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n^2} \int_1^{1+n} t^{-1/n} dt = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{1-1/n}}{1-1/n} ight]_1^{1+n}$.$I = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n^2} \frac{n}{n-1} ((1+n)^{(n-1)/n} - 1) = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n(n-1)} ((1+n)^{1-1/n} - 1)$.चूंकि $(1+n)^{1-1/n} \approx n$,इसलिए व्यंजक $\frac{n}{n^2}$ जैसा व्यवहार करता है,जो $n 	o \infty$ होने पर $0$ की ओर जाता है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$,$x \in R - \{-1\}$,$n \in N$,$n > 2$. यदि $f^n(x) = (f \circ f \circ f \dots n \text{ बार})(x)$ है,तो $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n-2} (f^n(x)) dx$ का मान $...............$ है।

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यदि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8 k$ है,तो $\int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx =$

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