मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (x cos x) dy + ( | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ है।$dx$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \cos x) \frac{dy}{d

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$2$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ है।$dx$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ प्राप्त होता है।$x \cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + (	an x + \frac{1}{x}) y = \frac{1}{x \cos x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 	an x + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x \cos x}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (	an x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln x} = x \sec x$ है।हल $y(x \sec x) = \int (x \sec x) \frac{1}{x \cos x} dx + C = \int \sec^2 x dx + C = 	an x + C$ है।दिया है $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$ है।$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$\frac{3\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = 	an(\frac{\pi}{3}) + C \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + C \implies C = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \frac{	an x + \sqrt{3}}{x \sec x} = \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{x}$ है।$x = \frac{\pi}{6}$ पर $y'$ और $y''$ की गणना करने पर,$|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $2$ प्राप्त होता है।

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