मान लीजिए sum_{n=0}^{infty} frac{n^3((2n)!) + | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ है।हम जानते हैं कि $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.अ

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$26$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ है।हम जानते हैं कि $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.अतः,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.दूसरे भाग के लिए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.$e$ और $e^{-1}$ की श्रेणी का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ और $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.यहाँ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.अतः,योग $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ है।$ae + be^{-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,$a=5, b=-1, c=0$ प्राप्त होता है।इसलिए,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

मान लीजिए $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3((2n)!) + (2n-1)(n!)}{(n!)((2n)!)} = ae + \frac{b}{e} + c$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ और $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ है। तो $a^2 - b + c$ का मान $................$ है।

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