मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण x log _e x frac{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ है।$x \ln x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ प्राप्त हो

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4+e^2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ है।$x \ln x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ और $Q(x) = x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \ln x = \int x \ln x dx + C$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.अतः,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.चूँकि $y(2) = 2$ दिया गया है,$2 \ln 2 = \frac{4}{2} \ln 2 - \frac{4}{4} + C \Rightarrow 2 \ln 2 = 2 \ln 2 - 1 + C \Rightarrow C = 1$.इस प्रकार,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 1$.$x = e$ के लिए,$y \ln e = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} + 1$.चूँकि $\ln e = 1$,$y(e) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2 + 4}{4}$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x, (x > 1)$ का हल है। यदि $y(2)=2$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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