यदि m और n क्रमशः अंतराल [-pi, pi] में theta | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 	heta \cos \frac{	heta}{2} = \cos 3 	heta \cos \frac{9 	heta}{2}$.दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos 2 	he

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$25$

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(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 	heta \cos \frac{	heta}{2} = \cos 3 	heta \cos \frac{9 	heta}{2}$.दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos 2 	heta \cos \frac{	heta}{2} = 2 \cos \frac{9 	heta}{2} \cos 3 	heta$.$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:$\cos \frac{5 	heta}{2} + \cos \frac{3 	heta}{2} = \cos \frac{15 	heta}{2} + \cos \frac{3 	heta}{2}$.$\cos \frac{15 	heta}{2} = \cos \frac{5 	heta}{2}$.व्यापक हल: $\frac{15 	heta}{2} = 2 k \pi \pm \frac{5 	heta}{2}$.स्थिति $1$: $\frac{15 	heta}{2} - \frac{5 	heta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 5 	heta = 2 k \pi$ $\Rightarrow 	heta = \frac{2 k \pi}{5}$.स्थिति $2$: $\frac{15 	heta}{2} + \frac{5 	heta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 10 	heta = 2 k \pi$ $\Rightarrow 	heta = \frac{k \pi}{5}$.दोनों को मिलाने पर,$	heta = \frac{k \pi}{5}$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$.$[-\pi, \pi]$ में,$	heta \in \{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}, 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$.धनात्मक मान $(m)$: $\{\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$,अतः $m = 5$.ऋणात्मक मान $(n)$: $\{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}\}$,अतः $n = 5$.इसलिए,$mn = 5 	imes 5 = 25$.

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