यदि बिंदुओं (1, 2, 3) और (2, 3, 4) को जोड़ने | vedclass

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Question

(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{p} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \h

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$18$

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(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{p} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। इस रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।दूसरी रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k})$ है।माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{q} = 2\hat{i} - \hat{j}$.क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{p} 	imes \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.इसका परिमाण $|\vec{p} 	imes \vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -3\hat{j} - \hat{k}$.न्यूनतम दूरी $\alpha = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} 	imes \vec{q})}{|\vec{p} 	imes \vec{q}|} ight| = \left| \frac{(0\hat{i} - 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})}{\sqrt{14}} ight| = \left| \frac{0 - 6 + 3}{\sqrt{14}} ight| = \frac{3}{\sqrt{14}}$.अतः,$28\alpha^2 = 28 	imes \left( \frac{3}{\sqrt{14}} ight)^2 = 28 	imes \frac{9}{14} = 2 	imes 9 = 18$.

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