एक वृत्त जिसका केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $4$ है,रेखा $x + y = 3$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। यदि $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं बिंदु $S(\alpha, \beta)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $4 \alpha - 7 \beta$ का मान $........$ है।

वृत्तों $(x - a)^{2} + y^{2} = c^{2}$ और $x^{2} + (y - b)^{2} = c^{2}$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई .....

मान लीजिए कि वृत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ के बिंदु $M(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा,वृत्त $C_{2}: (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5$ को दो अलग-अलग बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $A$ और $B$ पर $C_{2}$ की स्पर्श रेखाएं $N$ पर मिलती हैं,तो त्रिभुज $ANB$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

मूल बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण क्या है?

यदि वृत्त ${C_1}: {x^2} + {y^2} = 16$,$5$ त्रिज्या वाले एक अन्य वृत्त ${C_2}$ को इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम हो और उसका ढाल $\frac{3}{4}$ हो,तो ${C_2}$ के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि मूलबिंदु से वृत्त $x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 21 = 0$ पर स्पर्श रेखाएँ $OA$ और $OB$ हैं,तो $AB = \dots$