मान लीजिए f : R rightarrow R एक फलन है जैसे क | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$।एक-एक या बहु-एक की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x

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$f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में एक-एक (one-one) है लेकिन $(-\infty, \infty)$ में नहीं

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$।एक-एक या बहु-एक की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x}{x^2+1} \right) = \frac{(x^2+1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$।क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) $x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) चूँकि फलन $(-\infty, -1)$ और $(1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है और $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है,यह इन अंतरालों में एक-एक है। हालाँकि,यह $(-\infty, \infty)$ में एक-एक नहीं है क्योंकि $f(x)$ अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान लेता है (उदाहरण के लिए,$f(0) = 1$ और $f(\infty) = 1$)।अतः,$f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में एक-एक है लेकिन $(-\infty, \infty)$ में नहीं।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक फलन है जैसे कि $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1}$। तो

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