मान लीजिए कि {a_k} और {b_k}, k in N,दो G.P. ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $c_k = a_k + b_k$ है।चूंकि $a_k$ और $b_k$ $G$.$P$. हैं जहाँ $a_1 = b_1 = 4$ है,इसलिए $a_k = 4r_1^{k-1}$ और $b_k = 4r_2^{k-1}$ है।$c

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$9$

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(A) दिया गया है कि $c_k = a_k + b_k$ है।चूंकि $a_k$ और $b_k$ $G$.$P$. हैं जहाँ $a_1 = b_1 = 4$ है,इसलिए $a_k = 4r_1^{k-1}$ और $b_k = 4r_2^{k-1}$ है।$c_2 = a_2 + b_2 = 4r_1 + 4r_2 = 5 \Rightarrow r_1 + r_2 = 5/4$.$c_3 = a_3 + b_3 = 4r_1^2 + 4r_2^2 = 13/4 \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 = 13/16$.$(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ का उपयोग करने पर,$(5/4)^2 = 13/16 + 2r_1r_2$ $\Rightarrow 25/16 - 13/16 = 2r_1r_2$ $\Rightarrow r_1r_2 = 3/8$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण $t^2 - (5/4)t + 3/8 = 0$ को हल करने पर $r_1 = 1/2$ और $r_2 = 3/4$ प्राप्त होता है ($r_1 अब,$\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \frac{4}{1-1/2} + \frac{4}{1-3/4} = 8 + 16 = 24$ है।साथ ही,$12a_6 + 8b_4 = 12(4(1/2)^5) + 8(4(3/4)^3) = 48/32 + 32(27/64) = 15$ है।अतः,अभीष्ट मान $24 - 15 = 9$ है।

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मान लीजिए $a = \min \{x^{2} + 2x + 3 : x \in R\}$ और $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$. तब $\sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r}$ है

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