समाकलन int limits_1^2 left(frac{t^4+1}{t^6+1} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^

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$	an ^{-1} 2+\frac{1}{3} 	an ^{-1} 8-\frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}ight) dt$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.दूसरे समाकलन के लिए,$u = t^3$ लें,तो $du = 3t^2 dt$,इसलिए $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.$I = [	an^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [	an^{-1}(t^3)]_1^2$.सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:$I = (	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (	an^{-1}(8) - 	an^{-1}(1))$.चूंकि $	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:$I = 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} 	an^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.$I = 	an^{-1}(2) + \frac{1}{3} 	an^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = 	an^{-1}(2) + \frac{1}{3} 	an^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.$I = 	an^{-1}(2) + \frac{1}{3} 	an^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.

समाकलन $\int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$ का मान $..........$ है।

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$\int_0^{2\pi} (\sin x + \cos x) \, dx = $

यदि $2f(x) - 3f\left( \frac{1}{x} \right) = x$ है,तो $\int_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[ t ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो $\int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\alpha$ का एक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\int_{\alpha}^{\alpha+1} \frac{dx}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \log_{e}\left(\frac{9}{8}\right)$ हो।

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