$\theta \in (0, 4\pi)$ ની એવી કેટલી કિંમતો છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $3(\sin 3\theta)x - y + z = 2$,$3(\cos 2\theta)x + 4y + 3z = 3$,અને $6x + 7y + 7z = 9$ ને કોઈ ઉકેલ નથી?

ધારો કે $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં જો $j+1$ એ $i$ વડે વિભાજ્ય હોય તો $a_{ij} = 1$,અન્યથા $a_{ij} = 0$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ $M$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે
$(B)$ એવો શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ ગણ $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ ખાલી નથી,જ્યાં $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ શ્રેણિક $(M - 2I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે

ધારો કે $S$ એ $\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ દર્શાવે છે કે જેથી સમીકરણોની સિસ્ટમ $\lambda x + y + z = 1$,$x + \lambda y + z = 1$,અને $x + y + \lambda z = 1$ અસંગત છે. તો,$\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|)$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\alpha$ ના કેટલા વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે સમીકરણ સંહતિ
$x+3y+5z=\alpha x$
$5x+y+3z=\alpha y$
$3x+5y+z=\alpha z$
ને અનંત ઉકેલો મળે?

જો $AX=D$ એ એકસાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$ અને $2x+y-z=-5$ દર્શાવે છે,તો $(\operatorname{Adj} A)D=$

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ દ્વારા નીચેની સમીકરણ પ્રણાલી ઉકેલો: $3x - 2y + 3z = 8$,$2x + y - z = 1$,$4x - 3y + 2z = 4$.