વર્તુળ $C_{1}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન $x-$ અક્ષ પર $4$ લંબાઇનો વ્યાસ છે. રેખા $y =2 x$ એ વર્તુળ $C _{1}$ પર  જીવા $OA$ બનાવે છે. અહી  $C _{2}$ માં $OA$ વ્યાસ છે. જો $C _{2}$ નો બિંદુ  $A$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $P$ અને $y$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે તો $QA : AP$ ની કિમંત મેળવો.

બિંદુ $(1,\sqrt 3 )$ માંથી વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = 4$ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ અને ધન $x$- અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

ઉગમબિદુમાંથી વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} - 2rx - 2hy + {h^2} = 0$ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો.

બિંદુ $\mathrm{P}(-1,1)$ માંથી વર્તુળ $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}+6=0$ પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો સ્પર્શકો વર્તુળને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે અને જો બિંદુ  $D$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે કે જેથી  $A B$ અને $A D$ ની લંબાઈ સમાન થાય છે તો ત્રિકોણ $A B D$ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

લંબચોરસના વિકર્ણો $(0, 0)$ અને $(8, 6)$ ના અંત્ય બિંદુઓ છે. આ વિકર્ણોને સમાંતર હોય તેવા લંબચોરસના પરિવૃતના સ્પર્શકોનું સમીકરણ :

કેન્દ્ર $(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ રેખા $x+y=3$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $P$ અને $Q$ પાસેના સ્પર્શકો બિંદુ $S(\alpha, \beta)$ માં છેદે, તો $4 \alpha-7 \beta=....................$